معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب متغیر — از صفر تا صد

۱۴۹۹ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۱ تیر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۰ دقیقه
دانلود PDF مقاله
معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب متغیر — از صفر تا صدمعادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب متغیر — از صفر تا صد

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد مفاهیم معادلات دیفرانسیل و هم‌چنین معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم صحبت کردیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل، تحت عنوان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب متغیر را معرفی کرده و نحوه حل آن را نیز توضیح دهیم. توجه داشته باشید که قبل از مطالعه این مطلب لازم است تا مطلب معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب متغیر را مطالعه فرمایید.

997696

معادلات دیفرانسیل ناهمگن با ضرایب متغیر

یک معادله دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب متغیر به صورت زیر است.

y+a1(x)y+a2(x)y=f(x) \large { y ^ { \prime \prime } + { a _ 1 } \left ( x \right ) y ^ { \prime } } + { { a _ 2 } \left ( x \right ) y } = { f \left ( x \right ) }

توجه داشته باشید که a1(x)a_1(x) و a2(x)a_2(x)، توابعی پیوسته در بازه [a,b][a,b] هستند. هم‌چنین معادله همگن مرتبط با معادله فوق، برابر است با:

y+a1(x)y+a2(x)y=0 \large { y ^ { \prime \prime } + { a _ 1 } \left ( x \right ) y ^ { \prime } } + { { a _ 2 } \left ( x \right ) y } = { 0 }

پاسخ عمومی معادله ناهمگن برابر با پاسخ عمومی معادله همگن مرتبط یا همان y0(x)y_0(x) به همراه پاسخ خصوصی Y(x)Y(x) در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه پاسخ عمومی یک معادله ناهمگن برابر است با:

y(x)=y0(x)+Y(x) \large y \left ( x \right ) = { y _ 0 } \left ( x \right ) + Y \left ( x \right )

به منظور بدست آوردن پاسخ عمومی معادله ناهمگن، استفاده از روش‌های زیر نیز می‌توانند مفید باشد.

  • حدس زدن پاسخ خصوصی معادله ناهمگن با استفاده از شکل ترم ناهمگن
  • استفاده از فرمول لیوویل و بدست آوردن پاسخ عمومی معادله همگن
  • استفاده از روش تغییر متغیر‌ها به منظور بدست آوردن پاسخ عمومی معادله همگن

قبلا در مورد روش تغییر پارامتر‌ها صحبت کرده بودیم. با این حال در ادامه به طور اختصاصی این روش را توضیح داده و مثال‌هایی را از آن ارائه خواهیم داد.

روش تغییر پارامتر‌ها

فرض کنید هدف ما حل یک معادله مرتبه دوم ناهمگن است. با فرض این‌که پاسخ‌های پایه معادله برابر با y1(x)y_1(x) و y2(x)y_2(x) باشند، در این صورت پاسخ عمومی معادله همگن را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

y0(x)=C1y1(x)+C2y2(x) \large { { y _ 0 } \left ( x \right ) } = { { C _ 1 } { y _ 1 } \left ( x \right ) + { C _ 2 }{ y _ 2 } \left ( x \right )‌ }

حال به جای استفاده از C1 C _ 1 و C2 C _ 2 ضرایب را برابر با C1(x) C _ 1 ( x ) و C2(x) C _ 2 ( x ) در نظر گرفته و پاسخ عمومی معادله ناهمگن را برابر با تابع زیر در نظر می‌گیریم.

y=C1(x)Y1(x)+C2(x)Y2(x) \large {y = { C _1 } \left ( x \right ) { Y _ 1 } \left ( x \right ) } + { { C _ 2 } \left( x \right){ Y _ 2 } \left ( x \right ) }

در حقیقت با جایگذاری پاسخ فوق در معادله اصلی این ضرایب بدست خواهند آمد. توجه داشته باشید که پاسخ در نظر گرفته شده در هر دو معادله همگن و ناهمگن صدق می‌کنند. بنابراین به منظور یافتن ضرایب متغیرِ C1(x) C _ 1 ( x ) و C2(x) C _ 2 ( x ) ، باید دستگاه معادلات زیر حل شوند.

{C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)=0 C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)=f(x) \large \left\{ \begin{array}{l} { C^{\prime} _ 1(x) } { y_1(x) } + { C ^ {\prime } _ 2(x) } y_2(x) = 0 \\~\\ { { C^{\prime} _ 1(x)}{y_1^{\prime}(x) } + { C ^ { \prime} _ 2 ( x ) } { y_2^{\prime}(x) }} = {f(x) {\large }} \end{array} \right.

دترمینان سیستم معادلات فوق تحت عنوان رونسکین دو تابع y1y _ 1 و y2y _ 2 شناخته می‌شود. باید بدانید که رونسکین دو تابع مستقل خطی، مخالف صفر است. از این رو چنین سیستمی همواره دارای پاسخ خواهد بود. نهایتا رابطه‌ای که با استفاده از آن ضرایب محاسبه می‌شوند، برابر است با:

C1(x)=y2(x)f(x)Wy1,y2(x) ,    C2(x)=y1(x)f(x)Wy1,y2(x)\large { { C ^ { \prime } _ 1 } \left ( x \right ) = – \frac { {{y _ 2 } \left ( x \right ) f \left ( x \right ) }} { { { W_ {{ y _ 1 } , { y _ 2} } } \left ( x \right ) } } \ ,\;\;} \kern-0.3pt { { C ^ { \prime } _ 2 } \left( x \right) = \frac { { { y_ 1 } \left( x \right)f\left( x \right ) }}{{ { W _{ { y _ 1 } , { y _ 2} } } \left( x \right ) } } }

توجه داشته باشید که f(x)f(x) نشان‌دهنده تابع در حالتی است که معادله به صورت استاندارد نوشته شده باشد. در حقیقت حالت استاندارد زمانی است که ضریبِ مشتق دومِ تابع یا همان a0(x)a_0(x) برابر با ۱۱ باشد. با استفاده از روابط فوق مشتقات ضرایب بدست آمدند. بنابراین ضرایبِ C1(x) C _ 1 ( x ) و C2(x) C _ 2 ( x ) برابرند با:

C1(x)=y2(x)f(x)Wy1,y2(x)dx+A1 C2(x)=y1(x)f(x)Wy1y2(x)dx+A2\large { { {C _ 1 }\left( x \right) }={ – {\Large {\int}} {\frac{{{y_2}\left( x \right)f\left( x \right)}}{ { { W _ { { y _1 } , { y _ 2 }} }\left( x \right)}}dx} }+{ { A _1 } } }\kern-0.3pt \\~\\ \large{ { { C _2}\left( x \right) }={ {\Large {\int}} {\frac { {{ y _1 }\left( x \right)f\left( x \right ) } } { { {W _ { { y_ 1 }{ y _ 2} } }\left( x \right ) } }d x } }+{ {A _ 2} } }

در دو رابطه فوق ضرایب AA ثابت هستند. بنابراین نهایتا پاسخ معادله دیفرانسیل ناهمگن با ضرایب متغیر مطابق با رابطه زیر بدست خواهند آمد.

       y(x)=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)=[y2(x)f(x)Wy1,y2(x)dx+A1]y1(x)+[y1(x)f(x)Wy1,y2(x)dx+A2]y2(x)=A1y1(x)+A2y2(x)+Y(x)\ \ \ \ \ \ \ \large \begin {align*} { y \left( x \right) } & = { {C_1}\left( x \right){y_1}\left( x \right) + {C_2}\left( x \right ) { y _2 } \left( x \right) } \\\\ & = { { \left [ { – \int { \frac { { {y _ 2 } \left( x \right)f\left( x \right ) } }{ { { W _ { { y_ 1 } , { y _ 2} } } \left( x \right ) } } dx } + {A_1}} \right] \cdot}\kern0pt{ {y_1} \left ( x \right) }} + { { \left[ {\int {\frac { { { y _1 } \left( x \right)f\left( x \right ) } }{ { {W _ { {y _1 } ,{ y _2 } } } \left ( x \right ) } } d x } + { A _ 2 } } \right] \cdot} \kern0pt { { y _ 2 } \left( x \right) } } \\\\ & = { { { A_ 1 } {y _ 1} \left( x \right) + { A _2 } { y _2 } \left( x \right) } + { Y \left( x \right) } } \end {align*}

در رابطه بالا Y(x) Y ( x ) نشان دهنده پاسخ خصوصی معادله بوده و مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

Y(x)=y2(x)y1(x)f(x)Wy1,y2(x)dxy1(x)y2(x)f(x)Wy1,y2(x)dx \large { Y \left( x \right) } = { { y _ 2 } \left ( x \right)\int {\frac { {{ y _1 }\left( x \right)f\left ( x \right ) } }{ {{ W _{ { y _ 1 } ,{ y _ 2 } } }\left ( x \right ) }} d x } } – { { y _ 1 }\left ( x \right ) \int {\frac { { {y _ 2 }\left( x \right)f\left( x \right)}}{{{W_{{y_1},{y _ 2 }} }\left( x \right)}}dx} }

در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که پیشنهاد می‌شود آن را مطالعه فرمایید.

مثال ۱

پاسخ خصوصی معادله دیفرانسیل زیر را برای xxهای مثبت بدست آورید.

x2y2xy+2y=x2+1 \large { x ^2 } y ^ { \prime\prime} – 2 x y ^{\prime } + 2 y = x^2+1

در ابتدا معادله دیفرانسیل همگنِ مرتبط را به صورت زیر بیان می‌کنیم.

x2y2xy+2y=0 \large { x ^2 } y ^ { \prime\prime} – 2 x y ^{\prime } + 2 y =0

در مرحله بعد باید با استفاده از روش‌های حل معادلات دیفرانسیل همگن، یکی از پاسخ‌های معادله همگن را یافت. بنابراین یکی از این پاسخ‌ها برابر است با:

y1=x\large y _ 1 = x

با تعیین شدن y1y_1 می‌توان با استفاده از مفهوم رونسکین، پاسخ دوم که نسبت به y1y_1 نیز مستقل خطی است را پیدا کرد.

$$ \large { { W _ {{ y _1 } {y _2 } } }\left( x \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> { {y_1 } } & {{ y _ 2} }\\<br /> { { y ^ { \prime } _ 1 } } & { { y ^ { \prime } _ 2 } }<br /> \end{array}} \right| }<br /> = { { C_ 1 } \exp \left( { – \int {\frac { { { a _ 1 } \left( x \right ) }} { {{ a _2 } \left( x \right)}}dx} } \right) } $$

عبارت فوق به صورت زیر ساده می‌شود.

y2y1y2y1=C1e(2xx2)dx=C1e2dxx=C1e2lnx=C1elnx2=C1x2 \large \begin {align*} { y ^{\prime} _ 2 } { y _ 1 } – { y _ 2 } { y ^{\prime} _ 1 } & = {{C_1}{e^{ – \int {\left ( { \large \frac { { – 2 x } }{ { { x ^2 } }} \normalsize} \right ) d x } } } } \\\\ & = { {C _1 } {e ^ { 2 \int { \large \frac { { dx } } {x }\normalsize} } } } = { { C _1 }{ e ^ { 2 \ln \left| x \right|}} } \\\\ & = { { C _ 1 } {e ^ { \ln { x ^ 2 } } } } = { { C_1 } { x ^2 } } \end {align*}

با تقسیم کردن آن به y12y_1^2 می‌توان عبارت فوق را به صورت زیر بازنویسی کرد.

y2y1y2y1y12=C1x2y12=C1x2x2=C1      (y2y1)=C1 \large \begin {align*} \frac { { { y ^{\prime} _ 2 }{ y_1} – { y _ 2 } { y ^ { \prime } _ 1 } }} {{y_1^ 2 } } & = { \frac { { { C _ 1 } { x ^2 } } }{ { y_ 1 ^ 2 }} } \\ & = { \frac { { {C _ 1 } { x ^ 2 } } }{ { {x ^ 2 }}} = {C_1} \;\;} \\ & \ \ \Rightarrow { { \left( {\frac { { {y _2 } }} { { { y_ 1 } } } } \right)^\prime } = {C_1} } \end {align*}

نهایتا تابع مستقلِ y2y_2 برابر است با:

y2y1=C1x+C2 y2=y1(C1x+C2)=x(C1x+C2)=C1x2+C2x \large \begin {align*} \frac { { {y _ 2 } }} { { {y_1}}} & = { C _1 } x + {C_2} \ \\\\ & \Rightarrow { { y _ 2} = { y _ 1} \left( { { C_ 1 } x + {C_2}} \right) } \\\\ & = { x\left( {{C_1}x + {C_2}} \right) }={ { C _ 1 }{ x ^ 2} + {C_2}x } \end {align*}

بنابراین پاسخ عمومی معادله همگن برابر است با:

y0(x)=C1x2+C2x \large { y_ 0 } \left ( x \right ) = { C _1 } { x ^ 2 } + { C _ 2} x

بر اساس رای ۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *