شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم با ضرایب متغیر — از صفر تا صد
۱۴۹۹ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۲۱ تیر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۰ دقیقه
دانلود PDF مقاله
در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد مفاهیم معادلات دیفرانسیل و همچنین معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه دوم صحبت کردیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل، تحت عنوان معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن با ضرایب متغیر را معرفی کرده و نحوه حل آن را نیز توضیح دهیم. توجه داشته باشید که قبل از مطالعه این مطلب لازم است تا مطلب معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب متغیر را مطالعه فرمایید.
توجه داشته باشید که a1(x) و a2(x)، توابعی پیوسته در بازه [a,b] هستند. همچنین معادله همگن مرتبط با معادله فوق، برابر است با:
y′′+a1(x)y′+a2(x)y=0
پاسخ عمومی معادله ناهمگن برابر با پاسخ عمومی معادله همگن مرتبط یا همان y0(x) به همراه پاسخ خصوصی Y(x) در نظر گرفته میشود. در نتیجه پاسخ عمومی یک معادله ناهمگن برابر است با:
y(x)=y0(x)+Y(x)
به منظور بدست آوردن پاسخ عمومی معادله ناهمگن، استفاده از روشهای زیر نیز میتوانند مفید باشد.
حدس زدن پاسخ خصوصی معادله ناهمگن با استفاده از شکل ترم ناهمگن
استفاده از فرمول لیوویل و بدست آوردن پاسخ عمومی معادله همگن
استفاده از روش تغییر متغیرها به منظور بدست آوردن پاسخ عمومی معادله همگن
قبلا در مورد روش تغییر پارامترها صحبت کرده بودیم. با این حال در ادامه به طور اختصاصی این روش را توضیح داده و مثالهایی را از آن ارائه خواهیم داد.
روش تغییر پارامترها
فرض کنید هدف ما حل یک معادله مرتبه دوم ناهمگن است. با فرض اینکه پاسخهای پایه معادله برابر با y1(x) و y2(x) باشند، در این صورت پاسخ عمومی معادله همگن را میتوان به صورت زیر در نظر گرفت.
حال به جای استفاده از C1 و C2 ضرایب را برابر با C1(x) و C2(x) در نظر گرفته و پاسخ عمومی معادله ناهمگن را برابر با تابع زیر در نظر میگیریم.
y=C1(x)Y1(x)+C2(x)Y2(x)
در حقیقت با جایگذاری پاسخ فوق در معادله اصلی این ضرایب بدست خواهند آمد. توجه داشته باشید که پاسخ در نظر گرفته شده در هر دو معادله همگن و ناهمگن صدق میکنند. بنابراین به منظور یافتن ضرایب متغیرِ C1(x) و C2(x)، باید دستگاه معادلات زیر حل شوند.
دترمینان سیستم معادلات فوق تحت عنوان رونسکین دو تابع y1 و y2 شناخته میشود. باید بدانید که رونسکین دو تابع مستقل خطی، مخالف صفر است. از این رو چنین سیستمی همواره دارای پاسخ خواهد بود. نهایتا رابطهای که با استفاده از آن ضرایب محاسبه میشوند، برابر است با:
توجه داشته باشید که f(x) نشاندهنده تابع در حالتی است که معادله به صورت استاندارد نوشته شده باشد. در حقیقت حالت استاندارد زمانی است که ضریبِ مشتق دومِ تابع یا همان a0(x) برابر با ۱ باشد. با استفاده از روابط فوق مشتقات ضرایب بدست آمدند. بنابراین ضرایبِ C1(x) و C2(x) برابرند با:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.