مجموعه تک عضوی چیست؟ + ویژگی های مجموعه یکانی، حل تمرین و مثال

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مجموعه و مفاهیم آن آشنا شدیم. همچنین، دیدیم که مجموعه تهی چیست و چگونه آن را نشان می‌دهیم. در این آموزش، مطالبی را درباره مجموعه تک عضوی بیان می‌کنیم.

پیش از آنکه ببینیم مجموعه تک عضوی چیست و چه ویژگی‌هایی دارد، ابتدا تعریف مجموعه و سپس عضو مجموعه را یادآوری می‌کنیم.

مجموعه چیست؟

در ریاضیات، «مجموعه» (Set) به گروه و دسته‌ای از اعضای متمایز (جدا از هم) می‌گویند که یک ویژگی مشترک داشته باشند و این ویژگی را می‌توان به راحتی توصیف و تعریف کرد. اگر به اطرافمان نگاه کنیم، با این تعریف، نمونه‌های زیادی از مجموعه‌ها را خواهیم دید.

برای مثال، اگر دقت کرده باشید، لباس‌فروشی‌ها معمولاً لباس‌هایی را که ویژگی‌های مشترکی دارند، در کنار یکدیگر قرار می‌دهند. مثلاً دسته شلوارهای کتان یا دسته پیراهن‌های آستین‌بلند. اگر بخواهیم این‌ها را با تعریفی بهتر بگوییم، این‌گونه خواهد بود:

• مجموعه شلوارهای کتان با ویژگی مشترک شلوار بودن و کتان بودن
• مجموعه پیراهن‌های آستین‌بلند با ویژگی مشترک پیراهن بودن و آستین‌بلند بودن

به‌عنوان یک مثال دیگر، مجموعه‌ای از اعداد زوج که بزرگ‌تر از ۳ و کوچک‌تر از ۱۰ باشند، به‌صورت زیر خواهد بود:

{8 ,6 ,4} = A

همان‌گونه که می‌بینیم، اعداد را درون دو «قلاب» یا «آکولاد» به شکل “{‌ }” قرار داده‌ایم. در ریاضیات از این نماد برای نشان دادن مجموعه استفاده می‌شود.

عضو مجموعه چیست؟

در تعریف مجموعه، بیان کردیم که دسته‌ای از اشیاست که خصوصیت مشترکی دارند. هریک از این «شیء»های جدا از هم و منحصر به فرد، «عضو» (Element) مجموعه می‌نامیم. برای مثال، مجموعه چند نوشت‌افزار شامل کاغذ، چسب، مدادرنگی و قیچی را در نظر بگیرید. هرکدام از این اشیا عضو مجموعه هستند. همه این‌ها ویژگی مشترک نوشت‌افزار بودن را دارند و متمایز و جدا از یکدیگرند.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

به‌عنوان یک مثال دیگر، مجموعه‌ای از اعداد فرد که بزرگ‌تر از ۳ و کوچک‌تر از ۱۰ باشند را در نظر بگیرید:

{9 ,7 ,5} = B

اعضای این مجموعه، اعداد ۵، ۷ و ۹ هستند.

اگر بخواهیم نشان دهیم که عضوی متعلق به یک مجموعه است، از نماد $$\in$$ استفاده می‌کنیم. در طرف مقابل، برای آنکه نشان دهیم چیزی عضو مجموعه نیست، نماد $$\notin$$ را به‌کار می‌بریم. برای مثال، مجموعه زیر را در نظر بگیرید:

{14 ,12 ,5 ,0} = C

در مجموعه C، عدد $$0$$ عضو مجموعه است، و آن را به‌صورت $$0 \in C$$ نشان می‌دهیم. یا مثلاً عدد $$11$$ عضو مجموعه نیست و به‌صورت $$11 \notin C$$ نشان داده می‌شود.

مجموعه تک عضوی چند عضو دارد؟

مجموعه تک عضوی، همان‌طور که از نامش پیداست، مجموعه‌ای است که فقط یک عضو دارد.

مجموعه تک عضوی چند زیر مجموعه دارد؟

ابتدا ببینیم زیرمجموعه چیست و چه تعریفی دارد. در نظریه مجموعه‌ها، مجموعه A به‌عنوان زیرمجموعه‌ای از مجموعه B تعریف می‌شود، اگر همه اعضای مجموعه A در مجموعه B وجود داشته باشند. این تعریف را به صورت ریاضیاتی با نماد X ⊆ Y نشان می‌دهیم.

می‌خواهیم همه زیرمجموعه‌های مجموعه {3 ,2 ,1} = C را بنویسیم. این زیرمجموعه‌ها در زیر آورده شده‌اند:

• {1} = D
• {2} = E
• {3} =F
• {2 ,1} = G
• {3 ,1} = M
• {3 ,2} = N
• {3 ,2 ,1} = P
• $$\varnothing$$

شاید تعجب کرده باشید که چرا مجموعه تهی را به عنوان یک زیرمجموعه از C فهرست کرده‌ایم. هیچ عضوی در مجموعه تهی وجود ندارد، بنابراین هیچ در مجموعه تهی نمی‌تواند وجود داشته باشد که در مجموعه کامل موجود نباشد. بنابراین مجموعه تهی زیرمجموعه‌ای از هر مجموعه است. ممکن است از خود بپرسید: آیا یک مجموعه زیر‌مجموعه‌ای از خودش است؟ پاسخ مثبت است: هر مجموعه‌ای شامل خودش به عنوان یک زیر‌مجموعه است.

برای آشنایی کامل با تعریف زیرمجموعه، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «زیر مجموعه چیست و علامت زیر مجموعه چیست ؟ — با مثال» مراجعه کنید.

حال به پرسش خودمان برمی‌گردیم. هر مجموعه تک عضوی دو زیر مجموعه دارد: یکی خودش و دیگری تهی.

برای مثال، زیرمجموعه‌های مجموعه تک عضوی {2}، به‌صورت زیر هستند:

• {2}
• $$\emptyset$$

یا زیرمجموعه‌های مجموعه تک عضوی $$\{\emptyset \}$$ به‌صورت زیر هستند:

• $$\{\emptyset \}$$
• $$\emptyset$$

آیا مجموعه تهی تک‌ عضوی است؟

مجموعه تهی، هیچ عضوی ندارد و تعداد اعضای آن، صفر است. به همین دلیل، مجموعه تهی یک مجموعه تک عضوی نیست. اگر با نمادهای ریاضی بحث کنیم، باید بگویی که مجموعه تهی {} یا ∅ عضوی ندارند و تک‌عضوی نیستند.

اما مجموعه‌ای که خود شامل مجموعه تهی باشد، می‌تواند یک مجموعه تک عضوی باشد. برای مثال، مجموعه $$\{\emptyset\}$$ یک مجموعه تک‌عضوی است که عضو آن $$\emptyset$$ است. این مجموعه معادل $$\{\{\}\}$$ است. به عبارت دیگر، $$\{\{\}\} = \{\emptyset \}$$ یک عضو دارد.

دقت کنید که مجموعه $$\{\}$$ تهی است و تعداد اعضای آن صفر است. اما $$\{\{\}\}$$ یک مجوعه تک‌عضوی است و یک عضو دارد.

منظور از مجموعه یکانی چیست؟

نام دیگر مجموعه تک عضوی، مجموعه یکانی است. بدین ترتیب، هرجا دیدیم که به مجموعه‌ای یکانی می‌گویند، بدین معنی است که آن مجموعه فقط یک عضو دارد.

چند مثال از مجموعه تک عضوی

مجموعه‌های زیر، مثال‌هایی از مجموعه یکانی یا تک عضوی هستند:

• مجموعه اعداد صحیح بزرگ‌تر از 10 و کوچک‌تر از 12: $$\{11\}$$
• مجموعه اعداد اول زوج: $$\{2\}$$
• مجموعه $$\{ x | x \in \mathbb{Z} , x -1 = -2 \}$$
• مجموعه {{{{}}}}
• مجموعه {0}

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مباحث پایه ریاضی می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.