قضیه رادون نیکودیم و اثبات آن – به زبان ساده

یکی از قضایای معروف در نظریه اندازه‌ (Measure Theory)، قضیه رادون نیکودیم (Radon-Nikodym Theorem) است. این قضیه درست به مانند قضیه اساسی حسابان (قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال) در فضای اعداد حقیقی است که در فضای اندازه معرفی می‌شود. قضیه رادون نیکدیم و اثبات آن نقش مهمی در نظریه اندازه و همچنین نظریه احتمال دارد زیرا می‌دانیم قوانین احتمال برگرفته از اندازه‌ای است که در بازه ۰ تا ۱ قرار دارد. براساس قضیه رادون-نیکودیم می‌توانیم شرایط پیدا کردن تابع چگالی احتمال را از روی تابع توزیع متغیر تصادفی مشخص کنیم. همچنین نشان دهیم که انتگرال تابع چگالی احتمال، تابع توزیع تجمعی احتمال متغیر تصادفی را می‌سازد.

برای آشنایی بیشتر با نظریه اندازه و اصول آن بهتر است نوشتارهای دیگر از مجله فرادرس با عنوان نظریه اندازه در ریاضیات — مفاهیم و کاربردها و قضیه اساسی حسابان — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن مطالب انتگرال ریمان استیلتیس (Riemann Stieltjes) — مفاهیم و کاربردها و متغیر تصادفی، تابع احتمال و تابع توزیع احتمال نیز خالی از لطف نیست.

قضیه رادون نیکدویم و اثبات آن

قضیه رادون نیکدویم (Radon-Nikodym Theorem) یکی از قضیه‌های مهم در «نظریه اندازه» (Measure Theory) است. یک فضای اندازه‌پذیر (Measurable Space) مثل ($$X, \Sigma$$) را در نظر بگیرید که دو اندازه سیگما-متناهی ($$\sigma$$-Finite) مثل $$\mu$$ و $$\nu$$ روی آن تعریف شده‌اند.

این قضیه بیان می‌دارد که اگر اندازه $$\nu$$ مطلقا پیوسته (Absolute Continuous) نسبت به $$\mu$$ باشد، آنگاه یک تابع اندازه‌پذیر مثل $$f$$ موجود است که نامنفی بوده و برای هر زیر مجموعه‌ای از $$X$$ (مثلا $$A$$)، داریم:

$$\large \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu$$

رابطه ۱- تابع $$f$$، مشتق رادون-نیکدویم اندازه $$\nu$$ برحسب اندازه $$\mu$$

چنین تابعی را مشتق رادون نیکدویم $$\nu$$ نسبت به $$\mu$$ گوییم و به شکل $$\dfrac{d\nu}{d\mu}$$ نشان می‌دهیم.

نکته: اندازه $$\nu$$ را مطلقا پیوسته برحسب $$\mu$$ گویند، اگر برای هر مجموعه اندازه‌پذیر مثل $$A$$ بتوان نشان داد که با صفر بودن اندازه $$\mu$$ روی $$A$$، نتیجه می‌گیریم که اندازه $$A$$ روی $$\mu$$ نیز صفر است، یعنی:

$$\large \mu(A) = 0 \rightarrow \nu(A) = 0$$

و آن را به صورت $$\nu << \mu$$ نشان می‌دهند.

این قضیه به افتخار «جردن رادون» (Johann Radon) که اولین بار این قضیه را در فضای $$R^n$$ در سال ۱۹۱۳ اثبات کرد، نام‌گذاری شده است. همچنین در سال ۱۹30، «اتو نیکودیم» (Otto Nikodym) حالت عمومی را به اثبات رساند.

مشتق رادون نیکودیم

تابع $$f$$ که در رابطه ۱ معرفی شد، به شکل منحصر به فردی قابل تشخیص و تعیین است، مگر در نقاطی که اندازه $$\mu$$ آن‌ها صفر است. به این معنی که اگر $$g$$‌، تابع دیگری باشد که در رابطه ۱ صدق کند، «تقریبا همه جا» (Almost everywhere) داریم $$f=g$$.

معمولا برای نمایش تابع $$f$$ از نمایش دیفرانسیل استفاده کرده و می‌نویسیم:

$$\large f = \dfrac{d\nu}{d\mu}$$

و $$f$$ را «مشتق رادون-نیکودیم» (Radon–Nikodym derivative) اندازه $$\nu$$ برحسب $$\mu$$ می‌نامیم. این تابع در نظریه اندازه، هم ارز با مشتق در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، به این معنی که نرخ تغییرات یک اندازه را برحسب اندازه دیگر بیان می‌کند. جالب است که بیشتر خواصی که برای رابطه بین انتگرال و مشتق در حسابان مطرح است، توسط قضیه مشتق رادون-نیکودیم نیز برای اندازه‌ها قابل تعمیم است.

از طرفی قضیه‌ای مشابه برای اندازه‌های علامت‌دار (Signed Measure) و اندازه‌های مختلط (Complex Measures) نیز می‌توان ارائه داد. یعنی برای هر اندازه نامنفی و سیگما-متناهی ($$\sigma$$-Finite Measure) مثل $$\mu$$ و یک اندازه متناهی علامت‌دار یا مختلط می‌توان پیدا کرد که با شرط $$\nu << \mu$$، آنگاه تابعی $$\mu$$-انتگرال‌پذیر حقیقی یا مختلط مانند $$g$$ می‌توان روی $$X$$ پیدا کرد که برای هر مجموعه $$\mu$$-اندازه‌پذیر مثل $$A$$، داشته باشیم:

$$\large \nu (A)=\int _{A}g\,d\mu$$

مشخص است که قضیه رادون نیکودیم را گاهی قضیه مشتق رادون-نیکودیم نیز می‌نامند.

مثال‌هایی از مشتق رادون نیکودیم

در مثال‌هایی که در ادامه مشاهده می‌کنید، مجموعه $$X$$ فاصله اعداد حقیقی $$[0,1]$$ بوده و میدان سیگما-متناهی نیز از مجموعه سیگما-میدان بورل روی $$X$$ ساخته می‌شود.

• فرض کنید $$\mu$$ یک اندازه طول (اندازه لبگ روی اعداد حقیقی) روی $$X$$ است. $$\nu$$ اندازه‌ای است که برای هر زیرمجموعه‌ای مانند $$Y$$ از $$X$$ دو برابر طول (اندازه $$\nu$$) را نسبت می‌دهد. در نتیجه داریم: $$\dfrac{d\nu}{d\mu}=2$$.
• فرض کنید $$\mu$$ یک اندازه طول (اندازه لبگ روی اعداد حقیقی) روی $$X$$ است. $$\nu$$ اندازه‌ای است که برای هر زیرمجموعه‌ای مانند $$Y$$ از $$X$$ یکی از مقادیر $$\{0.1,0.2, \ldots, ,0.9\}$$ را نسبت می‌دهد که در $$Y$$ هستند. به این ترتیب رابطه $$\nu << \mu$$ برقرار نیست. به این معنی که $$\nu$$ مطلقا پیوسته برحسب $$\mu$$ نخواهد بود، زیرا به ازای یک بازه با طول یا اندازه صفر روی $$\mu$$، مقدار $$\nu$$ غیر صفر است. در نتیجه هیچ مشتق رادون-نیکودیم $$\dfrac{d\nu}{d\mu}$$ وجود ندارد. به بیان دیگر نمی‌توان تابعی متناهی در یک بازه $$(0.1-\epsilon)$$ تا $$(0.1+\epsilon)$$ پیدا کرد که انتگرال آن برای هر $$\epsilon >0$$، برابر با ۱ باشد.
• «واگرایی کولبک-لیبرل» (Kullback-Leibler Divergence) از $$\mu$$ به $$\nu$$ به صورت زیر تعریف می‌شود که برحسب مشتق رادون-نیکودیم نوشته شده است.

$$\large {\displaystyle D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )=\int _{X}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\;d\mu .}$$

کاربردهای مشتق رادون نیکودیم

این قضیه ایده‌های مربوط به «نظریه احتمال» (Probability Theory) از «جرم احتمال» (Probability Mass) و «چگالی احتمال» (Probability Density) تعریف شده در اعداد حقیقی تا اندازه احتمال روی مجموعه‌های دلخواه را در بر می‌گیرد.

فیلم آموزش تئوری احتمالات – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

قضیه مشتق رادون-نیکودیم بیان می‌کند که تحت چه شرایطی می‌توان از یک اندازه احتمال به اندازه احتمال دیگری رسید. حتی قدمی به جلو برداشته و نحوه تغییر و روش شناسایی آن را نیز مشخص می‌کند. به طور خاص، تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی همان مشتق رادون-نیکودیم از تابع توزیع (اندازه لبگ روی متغیرهای تصادفی پیوسته) است.

برای مثال می‌توان از آن برای اثبات وجود امید ریاضی شرطی (Conditional Expectation) برای اندازه احتمال استفاده کرد. مشخص است که امید ریاضی شرطی نیز باید یک مفهوم اصلی در نظریه احتمال باشد، زیرا احتمال شرطی را می‌توان حالت خاصی از آن در نظر گرفت. به این معنی که امید ریاضی متغیر تصادفی «تابع نشانگر» (Indicator Function)، تابع احتمال را مشخص می‌کند.

در میان زمینه‌های دیگر مانند ریاضیات مالی از این قضیه بطور گسترده استفاده می‌شود. چنین تغییر در تفسیر اندازه احتمال زیربنای قیمت‌گذاری منطقی است و برای تبدیل احتمالات به ریسک‌های با احتمال خنثی مورد استفاده است.

خصوصیات مشتق رادون نیکودیم

فرض کنید که $$\mu$$، $$\nu$$ و $$\lambda$$ اندازه‌های سیگما-متناهی روی یک فضای اندازه یکسان باشند. اگر $$\nu << \lambda$$ و $$\mu << \lambda$$ (به این معنی که $$\nu$$ و $$\mu$$‌هر دو نسبت به $$\lambda$$ مطلقا پیوسته باشند) آنگاه روابط زیر برقرار خواهند بود:

• خاصیت جمع‌پذیری برای مشتق رادون-نیکودیم

$$\large {\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.}$$

• خاصیت مشتق زنجیره‌ای (با شرط $$\nu << \mu << \lambda$$)

$$\large {\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.}$$

• جابجایی اندازه‌ها (با شرط $$\mu << \nu$$ و $$\nu << \mu$$)

$$\large {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-almost everywhere}}.$$

• خاصیت تغییر اندازه (با شرط $$\mu << \lambda$$ و $$g$$ یک تابع $$\mu$$-انتگرال‌پذیر)

$$\large \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$$

• خاصیت برای اندازه‌های علامت‌دار یا مختلط $$\nu$$

$$\large {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$$

شرط سیگما-متناهی بودن اندازه‌ها در قضیه رادون نیکودیم

وجود شرط سیگما-متناهی بودن برای اندازه $$\mu$$ و $$\nu$$ بسیار مهم است. و در غیر اینصورت نمی‌توان از این قضیه استفاده کرد. در این قسمت نشان می‌دهیم که اگر این شرط برای $$\mu$$ برقرار نباشد، قضیه رادون نیکودیم برقرار نخواهد بود.

سیگما میدان بورل روی خط اعداد حقیقی را در نظر بگیرید‌ (میدانیم که میدان بورل، شامل تمامی فاصله‌های در مجموعه اعداد حقیقی است). اندازه $$\mu$$ را یک اندازه شمارشی روی مجموعه بورل $$A$$ براساس تعداد عناصر آن در نظر بگیرد. واضح است که چنین اندازه‌ای، سیگما-متناهی نیست.

نکته: اندازه‌ای را سیگما-متناهی می‌گویند اگر بتوان اندازه هر مجموعه‌ای از آن را به صورت مجموع متناهی از اندازه زیر مجموعه‌های آن نوشت. از آنجایی که در سیگما میدان بورل، مجموعه‌هایی با بی‌نهایت عضو وجود دارد نمی‌توانیم آن را به صورت اندازه اجتماع مجموعه‌های متناهی از زیرمجموعه‌های بورل بنویسیم. در نتیجه اندازه شمارشی روی اعداد حقیقی یک میدان سیگما-متناهی نیست.

از آنجایی که اندازه شمارشی $$\mu$$ فقط برای مجموعه تهی ($$\emptyset$$) دارای اندازه صفر است، واضح است که هر اندازه‌ دیگری مثل $$\nu$$ نسبت به آن مطلقا پیوسته است، یعنی $$\mu(A) = 0 \rightarrow \nu(A) = 0$$. پس داریم $$\nu << \mu$$. حال $$\nu$$ را اندازه لبگ (Lebesgue Measure) در نظر بگیرید که طول مجموعه (اندازه یک بازه مثل $$A$$) را روی اعداد حقیقی مشخص می‌کند.

فرض کنید که قضیه رادون-نیکودیم در این شرایط صدق کند. بنابراین تابعی مثل $$f$$ وجود دارد که رابطه زیر برایش برقرار است. توجه دارید که $$A$$ هر مجموعه‌ از میدان بورل اعداد حقیقی است.

$$\large \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu$$

حال مجموعه $$A$$ به صورت یک مجموعه تک عضوی ($$A=\{a\}$$ در نظر بگیرید. واضح است که با توجه به رابطه بالا، خواهیم داشت:

$$\large 0=f(a)$$

ولی چون $$\mu(A) \neq 0$$ و $$A \neq \emptyset$$ پس $$f(a) = 0$$ زیرا $$\nu(A)= 0$$ که تناقض است.

اثبات قضیه رادون نیکودیم

اثبات قضیه رادون نیکودیم در دو بخش انجام می‌شود. البته روشی دیگری برای اثبات بوسیله «فضای هیلبرت» (Hilbert Space) وجود دارد که اولین بار توسط «فن نومن» (von Neumann) ارائه شده است. ولی ما در اینجا به شیوه کلاسیکی که رادون و نیکودیم به آن پرداخته‌اند، اشاره می‌کنیم.

فیلم مجموعه آموزش ریاضیات – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

در بخش اول اثبات برای اندازه‌های متناهی انجام شده سپس در بخش دوم به بررسی اثبات در اندازه‌های سیمگا-متناهی خواهیم پرداخت.

اثبات قضیه رادون نیکودیم برای اندازه‌های متناهی

اندازه‌های $$\mu$$ و $$\nu$$ را متناهی و نامنفی در نظر بگیرید. فرض کنید که $$F$$ یک مجموعه از توابع اندازه‌پذیر به صورت $$f: X \rightarrow [0,\infty)$$ باشد که در شرط زیر صدق می‌کند.

$$\large {\displaystyle \forall A\in {\mathit {\Sigma }}:\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)}$$

واضح است که $$F \neq \emptyset$$ زیرا حداقل شامل تابع صفر است. حال $$f_1 , f_2 \in F$$ را در نظر بگیرید مجموعه $$A$$ نیز یک مجموعه اندازه‌پذیر دلخواه است که دو مجموعه $$A_1$$ و $$A_2$$ تحت آن به صورت زیر تعریف شده‌اند.

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\},\end{aligned}}}$$

در نتیجه خواهیم داشت:

$$\large {\displaystyle \int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu }$$

$$\large \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A)$$

پس حداکثر مقدار $$f_1$$ و $$f_2$$ نیز عضوی از $$F$$ است. یعنی $$\max \{f_1, f_2\} \in F$$.

حال فرض کنید که $$\{f_n\}$$ دنباله‌ای از چنین توابعی در $$F$$ باشند که برایشان خواهیم داشت:

$$\large {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }$$

با جایگزینی $$f_n$$ با حداکثر $$n$$‌ تابع اول $$f_n$$‌، به دنباله‌ای صعودی از $$f_n$$ها خواهیم رسید. $$g$$ را تابعی به شکل زیر در نظر گرفته که شامل مقدارهای $$+\infty$$ یا $$-\infty$$ نیز خواهد بود.

$$\large {\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x) }$$

براساس «قضیه همگرایی یکنوا لبگ» (Lebesgue Monotonic Convergence Theorem)، رابطه زیر بدست خواهد آمد.

$$\large {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)}$$

واضح است که رابطه بالا برای هر $$A \in \Sigma$$ برقرار است، در نتیجه $$g \in F$$. براساس ساختار $$g$$ داریم:

$$\large {\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }$$

حال چون $$g \in F$$، پس:

$$\large {\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }$$

که $$\nu_0$$ یک اندازه نامنفی روی $$\Sigma$$ خواهد بود. فرض کنید که $$\nu_0 \neq 0$$،  چون $$\mu$$ متناهی است، به کمک حالت $$\epsilon- \delta$$ برای تعریف مطلقا پیوسته داریم:

$$\large \nu_0(X) > \epsilon \mu(X)$$

حال فرض کنید که $$(P,N)$$ تفکیک هان (Hahn Measure Decomposition) روی اندازه علامت‌دار $$\nu_0-\epsilon \mu$$ باشد. به یاد داشته باشید که $$A \in \Sigma$$ است و $$\nu_0(A \cap P ) \geq \epsilon \mu(A \cap P)$$ است در نتیجه:

$$\large {\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)\\&=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \end{aligned}}}$$

که در آن ‌$$1_P$$ تابع نشانگر $$P$$ است. توجه داشته باشید که $$\mu(P) >0$$، زیرا اگر $$\mu(P) = 0$$ از آنجایی که $$\nu$$ مطلقا پیوسته تحت $$\mu$$ است، باید $$\nu_0(P) \leq \nu(P) = 0$$‌، در نتیجه $$\nu_0(P) = 0$$ ,

$$\large {\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0}$$

که متناقض با  $$\nu_0(X) > \epsilon \mu(X)$$ است. به این ترتیب، چون

$$\large {\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty }$$

داریم $$g+\epsilon 1_P \in F$$ و در نتیجه رابطه زیر برقرار خواهد بود.

$$\large {\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }$$

که رابطه بالا امکان‌پذیر نیست در نتیجه فرض اولیه که $$\nu_0 \neq 0$$ اشتباه بوده و باید داشته باشیم، $$\nu_0 = 0$$.

حال از آنجایی که $$g$$ یک تابع $$\mu$$-انتگرال‌پذیر است، مجموعه $$\{x \in X : g(x) = \infty\}$$ یک مجموعه با اندازه $$\mu$$ صفر است. پس اگر $$f$$ به صورت زیر تعریف شود، تابع مطلوب ما خواهد بود.

$$\large {\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{if }}g(x)<\infty \\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

برای مشخص کردن یکتا بودن تابع $$f$$ نیز، تابع دیگری مثل $$g: X \rightarrow [0 , \infty)$$ که اندازه‌پذیر بوده و در رابطه زیر صدق می‌کند را در نظر می‌گیریم.

$$\large {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }$$

از آنجایی که $$f$$‌ و $$g$$ اندازه‌پذیر هستند، تفاضل آن‌ها نیز $$\mu$$-اندازه‌پذیر است. پس می‌توان نوشت:

$$\large {\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0.}$$

اگر مجموعه $$A$$ را به صورت $$A =\{x \in X : f(x) >g(x) \}$$ یا $$\{ x \in X: f(x)$$ ‌در نظر بگیریم خواهیم داشت:

$$\large{\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,}$$

و چون $$(g-f)^+ = 0$$ تقریبا همه جا (Almost Everywhere) براساس اندازه $$\mu$$ (و همین رابطه برای $$(g-f)^-$$ نیز برقرار است) نتیجه می‌گیریم که تقریبا همه جا $$f=g$$ که یکتایی تابع $$f$$ را نشان می‌دهد.

اثبات قضیه رادون نیکودیم با در نظر گرفتن مثبت و سیگما-متناهی بودن اندازه‌ها

می‌دانیم که دو اندازه سیگما-متناهی $$\mu$$ و $$\nu$$، می‌توان $$X$$ را به صورت اجتماعی از دنباله مجموعه‌های جدا از هم $$\{B_n\}_n$$ از $$\Sigma$$ نمایش داد که هر کدام دارای اندازه متناهی روی $$\mu$$ و $$\nu$$ باشند. به این ترتیب برای هر یک از حالت‌ها با اندازه متناهی، یک تابع اندازه‌پذیر $$f_n$$ وجود دارد که $$f_n: B_n \rightarrow [0,\infty)$$ بطوریکه

$$\large {\displaystyle \nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }$$

واضح است که رابطه بالا برای هر زیر مجموعه‌ای از $$B_n$$ها، مثل $$A$$ نوشته شده است. مجموع $$f_n$$ به این ترتیب تابع $$f$$ در قضیه رادون-نیکودیم را ایجاد می‌کند بطوری که:

$$\large {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu }$$

از طرفی، چون $$f_n$$ها، یکتا هستند، مجموع آن‌ها نیز یکتا تقریبا همه‌جا، یکتا خواهد بود.

قضیه رادون نیکودیم برای اندازه‌های علامت‌دار و مختلط

برای حالتی که اندازه‌های به صورت علامت‌دار (Signed Measure) باشند، به راحتی به کمک «قضیه تفکیک جردن» (Jordan Decomposition Theorem) می‌توانیم، آن‌ها را به دو اندازه مثبت $$\nu^-$$ و $$\nu^+$$ تفکیک کرده بطوری که $$\nu = \nu^+-\nu^-$$ و قضیه را برای این دو اندازه (با فرض متناهی بودن یکی از آن‌ها) در نظر گرفت. به ترتیب توابعی مثل $$g$$ و $$h$$ وجود دارند که در قضیه رادون-نیکودیم برای اندازه‌های $$\nu^+$$ و $$\nu^-$$ صدق کرده و حداقل یکی از آن‌ها انتگرال‌پذیر $$\mu$$ هستند.

فیلم مجموعه آموزش آمار و احتمالات – از دروس دانشگاهی تا کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

با در نظر گرفتن $$f = g - h$$ شرایط قضیه رادون نیکودیم برقرار شده از حکم برای اندازه‌های علامت‌دار نیز می‌توان استفاده کرد.

اگر $$\nu$$ یک اندازه مختلط (Complex Measure) باشد، باز هم با تفکیک آن به صورت $$\nu = \nu_1 +i\nu_2$$ که هر دو $$\nu_1 , \nu_2$$ اندازه‌های علامت‌دار هستند، می‌توانیم قضیه رادون نیکودیم را به کار ببریم. به این ترتیب دو تابع $$h , g: X \rightarrow [0,\infty)$$ وجود دارند که $$f = g+ih$$. به این ترتیب قضیه رادون-نیکودیم برای حالتی که اندازه $$\nu$$‌ مختلط باشد، صدق خواهد کرد.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با قضیه قضیه رادون نیکودیم و اثبات آن آشنا شدید. همانطور که دیدید، شرط سیمگا-متناهی بودن فضای اندازه $$\mu$$ و $$\nu$$ در اثبات این قضیه نقش مهمی دارد. البته در اثبات نکته‌های ظریفی نیز وجود دارد که بدون اطلاع از آن‌ها روش به کار رفته ناکارآمد خواهد شد. به این ترتیب قضیه رادون نیکودیم رابطه انتگرال و مشتق بین دو اندازه را درست به مانند قضیه اساسی حسابان، مشخص و شرایط احراز آن را تعیین می‌کند.