فرم جردن در معادلات دیفرانسیل – از صفر تا صد

۵۷۱۴
۱۴۰۲/۰۴/۲۱
۱۳ دقیقه
PDF
فرم جردن در معادلات دیفرانسیل – از صفر تا صدفرم جردن در معادلات دیفرانسیل – از صفر تا صد
آموزش متنی جامع
امکان دانلود نسخه PDF

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد معادلات دیفرانسیل همگن و ناهمگن بحث شد. هم‌چنین در مطلبی مجزا دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی را معرفی کردیم. در این راستا در این مطلب قصد داریم تا روشی تحت عنوان فرم جردن را به منظور حل معادلات دیفرانسیل همگن، توضیح دهیم.

997696

سیستم معادلات دیفرانسیل

به منظور توضیح فرم جردن، در ابتدا سیستمی از nn معادله دیفرانسیل را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

X(t)=AX(t)\large \mathbf { X } ’ \left ( t \right ) = A \mathbf { X } \left ( t \right )

توجه داشته باشید که عبارت فوق نشان‌دهنده چند معادله دیفرانسیل است. بنابراین فرم ماتریسی این معادلات به‌صورت زیر هستند.

$$ \large { \mathbf { X } \left ( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{ c } } { { x _ 1 } \left( t \right ) } \\ { { x _ 2 } \left( t \right ) } \\ \vdots \\ { { x _ n } \left( t \right)} \end {array} } \right],\;\;} \kern-0.3pt { A = \left[ { \begin {array} {*{20} { c } } { { a _ { 11 } } } & { { a _ { 12 } } } & \cdots &{ { a _ { 1 n } } } \\ { { a _ { 21 } } } & { { a _ { 22 } } } & \cdots &{ { a _ { 2n } } } \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ { { a _ {n 1 } } } & { { a _ { n 2 } } } & \cdots & { { a _{ n n } } } \end {array}} \right] } $$

پاسخی عمومی برای معادلات فوق، باید از nn تابع خطی مستقل تشکیل شده باشد. زمانی که می‌خواهیم پاسخ معادله را با استفاده از مفهوم بردار ویژه و مقدار ویژه بیابیم، در وهله اول این‌طور به نظر می‌رسد که تعداد بردار‌های ویژه کمتر از nn است. در چنین مواردی می‌توان با استفاده از مفهوم فرم جردن پاسخی عمومی را برای این مجموعه معادلات حدس زد.

فرم جردن یک ماتریس

فرم جردن یک ماتریس، به حالتی از ماتریس گفته می‌شود که عناصر قرار گرفته روی قطر، ماتریس‌هایی یا بلاک‌هایی مربعی بوده و مابقی عناصر برابر با صفر باشند.

توجه داشته باشید که مقادیر ویژه ماتریس‌ها باید روی قطر قرار داشته باشند. مقادیر ویژه λi{ \lambda _ i } ممکن است برای یکی از ماتریس‌های روی قطر، برابر باشند. در ادامه شکل کلی یک ماتریس جردن نشان داده شده است.

Jordan-form

همان‌طور که در بالا نیز مشاهده می‌کنید، مقادیر نشان داده شده با رنگ‌های یکسان، نشان‌دهنده بلاک‌های ماتریس جردن بوده که روی قطر ماتریس اصلی قرار گرفته‌اند. هم‌چنین توجه داشته باشید که لزومی ندارد تمامی ماتریس‌های قرار گرفته روی قطر، مرتبه‌ای برابر داشته باشند.

بردار‌های ویژه و ماتریس جردن

یک بلاک با مرتبه kk از یک ماتریس جردن را در نظر بگیرید که مقدار ویژه مرتبط با آن برابر با λ\lambda باشد. این بلاک دارای kk بردار ویژه است که با V1,V2,V3,...,Vk{\mathbf { V } _ 1 } , { \mathbf { V } _ 2 } , { \mathbf { V } _ 3 } , ... , { \mathbf { V } _ k } نام‌گذاری می‌شوند.

بردار V1{\mathbf { V } _ 1 }، رابطه برداری زیر را ارضا می‌کند. با بدست آمدن V1V _ 1، بردار V2V _ 2 نیز به‌ صورت زیر بدست خواهد آمد.

AV1=λV1,    (AλI)V1=0\large { A { \mathbf { V } _ 1 } = \lambda { \mathbf { V } _ 1 } ,\;\; } \Rightarrow { \left ( { A – \lambda I} \right ) { \mathbf { V } _ 1 } = \mathbf { 0 } }

(AλI)V2=V1\large \left ( { A – \lambda I } \right ) { \mathbf { V } _ 2 } = {\mathbf { V } _ 1 }

به بردار فوق،‌ بردار ویژه عمومی‌ شده مرتبه اول گفته می‌شود. به طور مشابه بردار‌های عمومی‌شده مراتب بالاتر را نیز می‌توان به‌صورت زیر بدست آورد.

(AλI)V3=V2\large \left ( { A – \lambda I } \right ) { \mathbf { V } _ 3 } = { \mathbf { V } _ 2 }
\ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots
(AλI)Vk=Vk1\large \left ( { A – \lambda I } \right ) { \mathbf { V } _ k } = {\mathbf { V } _ { k - 1 } }

در ابتدا دو رابطه زیر را در نظر بگیرید.

(AλI)V1=0    and    (AλI)V2=V1\large { \left ( {A – \lambda I} \right ) { \mathbf { V } _ 1 } = \mathbf { 0 } \;\;\text {and}\;\;} \kern-0.3pt { \left( {A – \lambda I } \right ) { \mathbf { V } _ 2 } = {\mathbf { V } _ 1 } }

با ترکیب دو رابطه فوق، معادله زیر بدست خواهد آمد.

(AλI)2V2=0\large { \left ( { A – \lambda I } \right ) ^ 2 } { \mathbf { V } _ 2 } = \mathbf { 0 }

به همین صورت می‌توان برای بردار VkV _ k، رابطه زیر را بیان کرد:

(AλI)kVk=0{ \left ( { A – \lambda I } \right ) ^ k } { \mathbf { V } _ k } = \mathbf { 0 }

به بردار ویژه V1V _ 1 و مجموعه بردار‌های V2,,Vk{ \mathbf { V } _ 2 } , \ldots , \mathbf { V } _ k، «زنجیره جردن» (Jordan Chain) گفته می‌شود. توجه داشته باشید که این بردار‌ها به‌صورت خطی نسبت به هم مستقل هستند. هر زنجیره جردنی به طول kk، نشان‌دهنده kk پاسخ مستقل خطی از یک معادله همگن است. شکل این پاسخ‌ها به‌صورت زیر هستند.

X1=eλtV1{ \mathbf { X } _ 1 } = { e ^ { \lambda t } } { \mathbf { V } _ 1 }
X2=eλt(t1!V1+V2){ { \mathbf { X } _ 2 } } = { { e ^ { \lambda t } } \left ( { \frac { t }{ { 1 ! } } { \mathbf { V } _ 1 } + { \mathbf { V } _2 } } \right) }
X3=eλt(t22!V1+t1!V2+V3){ { \mathbf { X } _ 3 } } = { { e ^ { \lambda t } } \left ( { \frac { { { t ^2 } } } { { 2! } } { \mathbf { V } _ 1 } + \frac { t } { { 1! } }{\mathbf { V } _ 2 } + { \mathbf { V } _ 3 } } \right ) }
\ldots \ldots \ldots\ldots\ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots
Xk=eλt(tk1(k1)!V1++t1!Vk1+Vk){ { \mathbf { X } _ k } } = { { e ^ { \lambda t}}\left( {\frac{{{t^{k – 1 } } } } { { \left ( { k – 1 } \right ) ! } } { \mathbf{V}_1} + \cdots }\right.} + { \left.{ \frac { t } { { 1 ! } } { \mathbf { V } _{ k – 1 } } + {\mathbf { V } _ k } } \right ) }

تعداد پاسخ‌ها برابر با مجموع طول زنجیر‌های هر بلاک هستند. مجموعه طول تمامی این زنجیر‌ها برابر با nn یا همان مرتبه ماتریس است. این توابع مستقل خطی، مجموعه پاسخ‌های معادله همگن را تشکیل می‌دهند.

پاسخ عمومی ماتریس‌های 2×2 , 3×3\large 2 × 2 \ , \ 3 × 3

معمولا سیستم‌های معادلات دیفرانسیل که با آن‌ها مواجه هستیم از مرتبه ۲ یا ۳ هستند.

در این قسمت می‌خواهیم این نمونه از معادلات دیفرانسیل را با استفاده از مفهوم فرم جردن بیابیم. برای این سیستم‌ها در حالت کلی ۸ وضعیت می‌تواند وجود داشته باشد. در جدول زیر این وضعیت‌ها ارائه شده‌اند.

در ادامه در مورد نحوه بدست آوردن بردار‌های ویژه و بردار‌های ویژه عمومی شده بحث خواهیم کرد. ‌هم‌چنین نهایتا پاسخ عمومی را بدست خواهیم آورد.

حالت اول: ماتریس 2×22×2 و دو مقدار ویژه متفاوتِ λ1\lambda_1 و λ2\lambda_2

در این حالت فرم نرمال جردن به‌صورت قطری خواهد بود. هر مقدار ویژه λi{ \lambda _ i } دارای یک بردار ویژه Vi{ \mathbf { V } _ i } است. توجه داشته باشید که این بردار ویژه را می‌توان با حل معادله زیر بر حسب Vi{ \mathbf { V } _ i }، بدست آورد.

(AλiI)Vi=0\large \left ( { A – { \lambda _ i } I } \right ) { \mathbf { V } _ i } = \mathbf { 0 }

در نتیجه پاسخ عمومی نیز به‌صورت زیر بدست خواهد آمد.

X(t)=C1eλ1tV1+C2eλ2tV2\large { \mathbf { X } \left ( t \right) } = { { C _ 1 } { e ^ { { \lambda _1 } t } } { \mathbf { V } _ 1 } + { C _ 2 } { e ^ { { \lambda _ 2 } t } } {\mathbf { V }_ 2 } }

حالت دومماتریس 2×22×2 و یک مقدار ویژه λ1\lambda_1 (k1=2,s1=2k _ 1=2,s _ 1=2)

این ماتریس دارای یک مقدار ویژه λ2\lambda _ 2 با تکرار‌پذیری 22 است. مرتبه ماتریس برای مقدار ویژه λ1\lambda _1 برابر با صفر است. بنابراین تکرارپذیری هندسی برابر است با:

s1=n–rank(Aλ1I)=20=2{ {s _ 1 } }={ n – \text {rank} \left ( { A – { \lambda _1 } I } \right) } = { 2 – 0 = 2 }

بنابراین پاسخ معادله برداری زیر دو بردارِ مستقلِ V1V _ 1 و V2V _ 2 هستند. پاسخ عمومی بدست آمده در نتیجه این بردار‌ها برابرند با:

X(t)=C1eλ1tV1+C2eλ1tV2\large { \mathbf { X } \left( t \right) }={ { C _ 1 } {e ^ { { \lambda _ 1 } t } } { \mathbf { V } _ 1 } + { C _ 2 } { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } { \mathbf { V } _ 2 } }

حالت سوم: ماتریس 2×22 × 2 با 11 مقدار ویژه (k1=2 , s1=1k_1 = 2 \ , \ s_1 = 1)

همانند حالت قبل با محاسبه در خواهیم یافت که مرتبه ماتریس برابر با 11 است. بنابراین تکرار‌پذیری هندسی مقدار ویژه λ1{ \lambda _ 1 } و تعداد بردار‌های ویژه با هم برابر خواهند بود.

s1=n–rank(Aλ1I)=21=1\large { { s _ 1 } } = { n – \text {rank} \left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) } = { 2 – 1 = 1 }

بردار ویژه V1=(V11,V21)T{ \mathbf { V } _ 1 } = { \left ( { { V _{ 1 1 } } , { V _ { 21 } } } \right ) ^ T } را می‌توان با استفاده از معادله زیر نیز تعیین کرد.

(Aλ1I)V1=0\large \left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) { \mathbf { V } _ 1 } = \mathbf { 0 }

ماتریس HH را می‌توان به‌صورت زیر تشکیل داد.

$$ \large H = \left[ {\begin{array} {*{20} { c } }<br /> { { V _ { 11 } } } & { { V _ { 12 } } } \\ { { V _ { 21 } } } & { { V_ { 22 } } } \end {array}} \right] $$

بنابراین فرم جردنِ JJ را می‌توان به‌صورت زیر بدست آورد.

H1AH=J\large { H ^ { – 1 } } A H = J

در رابطه فوق H1H ^ { - 1 } نشان‌دهنده معکوس ماتریس HH است. از این ویژگی می‌توان به‌منظور اعتبار‌سنجی بردار‌های ویژه استفاده کرد. نهایتا پاسخ عمومی در این حالت برابر است با:

X(t)=C1eλ1tV1+C2eλ1t(tV1+V2)\large { \mathbf { X } \left( t \right) } = { {C_1}{e^{{\lambda _1 } t } } { \mathbf { V } _ 1 } } + { { C _2 } { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } \left( { t { \mathbf { V } _ 1 } + { \mathbf { V } _ 2 } } \right ) }

حالت چهارم: ماتریس 3×33 × 3 با 33 مقدار ویژه متفاوتِ λ1 , λ2 , λ3\lambda _ 1 \ , \ \lambda _ 2 \ , \ \lambda _ 3

در این حالت ماتریس جردن به‌صورت قطری است. هر مقدار ویژه λi\lambda _ i، بردار ویژه مخصوص به‌ خودش یا همان Vi{ \mathbf { V } _ i } را خواهد داشت. بدیهی است که این بردار‌های ویژه نیز با استفاده از معادله زیر بدست می‌آیند.

(AλiI)Vi=0\left ( { A – { \lambda _ i } I } \right ) { \mathbf { V } _ i } = \mathbf { 0 }

در این حالت پاسخ معادله دیفرانسیل همگن به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شود.

X(t)=C1eλ1tV1+C2eλ2tV2+C3eλ3tV3{ \mathbf { X } \left( t \right) }={ {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{ \mathbf { V } _ 1 } }+{ { C _ 2} { e ^ { { \lambda _ 2 } t } } {\mathbf { V }_ 2 } } + { { C _ 3 } { e ^ { { \lambda _3 } t } }{ \mathbf { V } _ 3 } }

حالت پنجم: ماتریس 3×33 × 3 با 22 مقدار ویژه متفاوتِ λ1(k1=2,s1=2),λ2(k2=1,s2=1)\lambda _1 ( k _ 1 = 2 , s _ 1 = 2 ) , \lambda _ 2 ( k _ 2 = 1 , s _ 2 = 1 )

در این حالت معادله مشخصه دارای دو ریشه با تکرارپذیری k1=2k _ 1 = 2 است. اگر با استفاده از ریشه تکراری λ1\lambda _ 1 ماتریس Aλ1IA – { \lambda _ 1 } I را تشکیل دهیم، در این صورت مرتبه این ماتریس برابر با 11 خواهد بود. در نتیجه تکرارپذیری هندسی λ1λ _ 1 و تعداد بردار‌های ویژه مرتبط با آن برابرند با:

s1=n–rank(Aλ1I)=31=2{ { s _ 1 } } = { n – \text {rank} \left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) } = { 3 – 1 = 2 }

هر دو بردار ویژه مستقلِ V1{ \mathbf { V } _ 1 } و V2{ \mathbf { V } _ 2 } با استفاده از معادله زیر قابل تعیین می‌شوند.

(Aλ1I)V=0\left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) { \mathbf { V } } = \mathbf { 0 }

بلاک سومِ ماتریس جردن تنها از 11 مقدار ویژه یا همان λ2(k2=1,s2=1)λ_2 ( k _ 2 = 1 , s _ 2 = 1 ) تشکیل شده است. بردار ویژه V3{ \mathbf { V } _ 3 } نیز با استفاده از معادله زیر بدست خواهد آمد.

(Aλ2I)V3=0\large ( A − λ _ 2 I ) V _ 3 = 0

در نتیجه پاسخ عمومی معادله دیفرانسیل در این حالت برابر است با:

X(t)=C1eλ1tV1+C2eλ1tV2+C3eλ2tV3{ \mathbf { X } \left( t \right) }={ {C_1}{e^{{\lambda _1}t}} { \mathbf { V } _ 1 } } + { { C _ 2 } { e ^ { { \lambda _ 1 } t } }{ \mathbf { V } _ 2 } } + { { C _ 3 } { e ^ { { \lambda _ 2 } t } } { \mathbf { V } _ 3 } }

حالت ششم: ماتریس 3×33 × 3 با 22 مقدار ویژه متفاوتِ λ1(k1=2,s1=1),λ2(k2=1,s2=1)\lambda _1 ( k _ 1 = 2 , s _ 1 = 1 ) , \lambda _ 2 ( k _ 2 = 1 , s _ 2 = 1 )

این حالت نسبت به حالت قبلی متفاوت بوده و بردار ویژه و مقدار ویژه اول آن متفاوت هستند (λ1,V1\lambda _1 , \mathbf { V } _ 1). این دو مقدار در رابطه زیر صدق می‌کنند.

(Aλ1I)V1=0\left( {A – {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0}

مرتبه ماتریس به ازای مقدار λ1\lambda _ 1 برابر با 22 است. بنابراین ss برابر است با:

rank(Aλ1I)=2s1=n–rank(Aλ1I)=32=1\large {\text {rank} \left ( { A – { \lambda _1 } I } \right) = 2 } \Rightarrow { { { s _ 1 } } = { n – \text {rank}\left( {A – {\lambda _1 } I } \right ) } = { 3 – 2 = 1 } }

بردار مستقل خطی نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

(Aλ1I)V2=V1\large \left ( { A – {\lambda _1 } I } \right ) { \mathbf { V } _ 2 } = { \mathbf { V } _ 1 }

مقدار ویژه دوم یا λ2\lambda_2 (مقدار ویژه مربوط به بلاک دوم ماتریس جردن) نیز منجر به ایجاد یک بردارِ ویژه اضافه یا همان V3\mathbf { V _ 3 } خواهد شد. در نتیجه نهایتا پاسخ عمومی برابر است با:

$$ \require{AMSmath.js} { \mathbf { X } \left( t \right) \text{ = }}\kern0pt{ \underbrace { { C _ 1 } { e ^ { { \lambda _1 } t } }{\mathbf { V } _1} + { C _ 2} { e ^ { {\lambda _ 1 } t } } \left( { t { \mathbf { V } _ 1 } + {\mathbf { V }_ 2 } } \right ) } _ { \substack{<br /> \text {1st Jordan block } } } } + { \underbrace { { C _ 3} { e ^ {{ \lambda _ 2 } t } } { \mathbf { V } _3 } } _ { \substack { \text{2nd Jordan block } } } } $$

حالت هفتم: ماتریس 3×33 × 3 با 11 مقدار ویژه λ1(k1=3,s1=2)λ_1 ( k_1 = 3 , s_1 = 2 )

در این حالت ماتریس جردن دارای دو بلاک با یک مقدار ویژه است. بلاک اول دارای یک بردار ویژه V1{ \mathbf { V } _ 1 } بوده و یک بردار ویژه عمومی شده V2{ \mathbf { V } _ 2 } است. این بردار‌های ویژه را می‌توان با استفاده از دو رابطه زیر بدست آورد.

(Aλ1I)V1=0,    (Aλ1I)V2=V1\large {\left( {A – {\lambda _1}I} \right){\mathbf{V}_1} = \mathbf{0},\;\;} \kern-0.3pt {\left ( { A – {\lambda _1}I} \right){\mathbf { V } _ 2 } = {\mathbf { V } _ 1} }

معادله اول دارای دو پاسخ برای بردار‌های ویژه است. در حقیقت بردار ویژه دوم، مربوط به بلاک دوم ماتریس جردن است. پاسخ عمومی را می‌توان مطابق با رابطه زیر بیان کرد:

X(t) = C1eλ1tV1+C2eλ1t(tV1+V2)1st Jordan block ‌+C3eλ1tV32nd Jordan block \large { \mathbf { X } \left( t \right) \text{ = }}\kern0pt{ \underbrace { { C _ 1} { e ^ { { \lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + { C _ 2 } { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } \left ( { t { \mathbf{V}_1} + {\mathbf { V }_ 2 } } \right) } _ { \substack { \text {1st Jordan block }‌ } } } + { \underbrace { { C _3 } { e ^ { { \lambda _1 } t } } { \mathbf { V } _ 3 } } _ { \substack { \text {2nd Jordan block } } } }

حالت هشتم: ماتریس 3×33 × 3 با 11 مقدار ویژه λ1(k1=3,s1=۱)λ_1 ( k_1 = 3 , s_1 = ۱ )

در این حالت، اوپراتور خطی AA دارای یک مقدارِ λ1{ \lambda _1 } با تکرار‌پذیری k1=3k_1=3 است. مرتبه ماتریسِ (Aλ1I)\left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) برابر با 22 است. هم‌چنین مرتبه ماتریسِ (Aλ1I)\left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) نیز برابر با 22 است. بنابراین معادله زیر تنها یک بردار ویژه‌ی V1{ \mathbf { V } _ 1 } را خواهد داشت. دو بردار مستقل دیگر را می‌توان با استفاده از دو معادله زیر بدست آورد.

(Aλ1I)V2=V1,    (Aλ1I)V3=V2\large \begin {gather*} { \left ( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) { \mathbf { V } _ 2 } = {\mathbf { V } _ 1 } ,\;\;} \kern-0.3pt { \left( { A – { \lambda _ 1 } I } \right ) { \mathbf { V } _ 3 } = { \mathbf { V } _ 2 } } \end {gather*}

در نتیجه پاسخ عمومی برابر است با:

X(t)=C1eλ1tV1+C2eλ1t(tV1+V2)+C3eλ1t(t22!V1+tV2+V3)\large { \mathbf { X } \left( t \right) }={ {C_1 } { e^ { {\lambda _1}t}}{ \mathbf{V}_1} } + { {C _ 2} { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } \left( {t{\mathbf { V } _ 1 } + { \mathbf{V}_2}} \right) } + { { C _ 3 } { e ^ { { \lambda _ 1 } t } } \left( {\frac { { { t ^2 } } }{ { 2 ! } } { \mathbf { V } _ 1 } + t { \mathbf { V } _2 } + {\mathbf { V} _ 3 } } \right) }

در آینده و در مطلبی مجزا مثال‌هایی را از حالت‌های ارائه شده در بالا، ارائه خواهیم داد.

بر اساس رای ۲۱ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر پرسشی درباره این مطلب دارید، آن را با ما مطرح کنید.
منابع:
Math24
PDF
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *