صفر به توان صفر — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد نحوه به توان رساندن اعداد مختلف در ریاضی صحبت کردیم. اما احتمالا با این سوال مواجه شده باشید که حاصل صفر به توان صفر برابر با چه عددی است؟ در این مطلب قصد داریم تا مقدار مطلق این عدد و مقدار حدی آن را مورد بررسی قرار دهیم.

صفر به توان صفر

احتمالا به توان رساندن دو عدد صحیح، عملی بدیهی برای شما محسوب می‌شود. همان‌طور که می‌دانید هر عدد به توان صفر برابر با $$1$$ است. از طرفی اگر صفر را به توان هر عددی برسانید، پاسخ برابر با صفر خواهد بود. اما به‌نظر شما حاصل عددی به شکل زیر برابر با چند است؟

$$0 ^ 0 = ?$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

اگر بخواهیم پاسخی کوتاه به سوال فوق بدهیم می‌توان گفت که مقدار فوق همچون $$\frac { 0 } { 0 }$$ تعریف نشده است. اما جالب است بدانید که در برخی موارد می‌توان از تساوی $$0 ^ 0 = 1$$ استفاده کرد. مسئله صفر به توان صفر در ریاضی را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد.

$$1 ^ 0 = 1 \\ 0 . 1 ^ 0 = 1 \\ 0.01 ^ 0 = 1 \\ … \\ 0 ^ 0 = 1\ ?$$

البته مسئله فوق را می‌توان به شکل زیر نیز مطرح کرد.

$$0 ^ 1 = 0 \\ 0 ^ { 0.1} = 0 \\ 0 ^ { 0.01 } = 0 \\ … \\ 0 ^ 0 = 0 \ ?$$

برای تحلیل هندسی $$0 ^ 0$$ می‌توان تابعی دومتغیره به صورت $$f ( x , y ) = x ^ y$$ را در نظر گرفت. با ترسیم این رویه و بررسی آن در نزدیکی صفر می‌توان به پاسخ صحیح دست یافت. اما با در نظر گرفتن $$y = 0$$ برای این تابع و میل دادن مقدار $$x$$ به سمت صفر داریم:

$$\lim _ { x → 0 } x ^ 0 = 1 \,$$

در حالت دوم اگر به صورت عکس عمل کرده و مقدار $$x = 0$$ بوده و $$y$$ را به سمت صفر میل دهیم نیز خواهیم داشت.

$$\color {white} {\lim_{y→0} 0^y = 0 } \lim _ { y → 0 } 0 ^ y = 0 \color {white} { \lim _ { y → 0 } 0 ^ y = 0 } \,$$

همان‌طور که در مطلب حد توابع دو متغیره نیز بیان شد، اگر حد تابع دومتغیره، در یک نقطه، از دو مسیر متفاوت، مقداری متفاوت را به ما بدهد، در این صورت می‌توان گفت که تابع مذکور در نقطه مدنظر دارای حد نیست. تابع $$x ^ y$$ نیز در نقطه $$( 0 , 0 )$$ همین حالت را دارد. همان‌طور که می‌بینید مقدار تابع از دو مسیر مختلف مقداری متفاوت را به ما داده است. بنابراین این تابع در نقطه $$( 0 , 0 )$$ دارای حد نیست.

بنابراین به نظر می‌رسد مقدار $$0 ^ 0$$ از نظر ریاضیاتی تعریف نشده است. برای نمونه تقریب مقدارِ $$\frac { 1 } { ∞ } = 0$$ صحیح است؛ در حقیقت این مقدار از حد زیر بدست آمده است.

$$\color {white} { \lim _ { x → ∞ } \frac { 1 } { x } = 0 } \lim _ { x → ∞ } \frac { 1 } { x } = 0 \color {white} { \lim _ { x → ∞ } \frac { 1 } { x } = 0 }$$

اما در مورد $$0 ^ 0$$ به درستی می‌توان گفت که مقدار، تعریف نشده است؛ با این حال در بخش‌هایی از ریاضیات فرض $$0 ^ 0 = 1$$ در حل مسائل می‌تواند کمک‌کننده باشد.

ترکیب

فرض کنید $${ n \choose k }$$ نشان‌دهنده ضریبی با مقدار زیر باشد.

$$\color {white} { { n \choose k } = \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } } { n \choose k } = \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } \color {white} {{ n \choose k } = \frac { n ! } { k ! ( n - k ) ! } }$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

یکی از پرکاربردترین فرمول‌های ترکیبی مهم در جبر که در دیگر شاخه‌های ریاضیات نیز ظاهر می‌شود، بسط دوجمله‌ای است. این فرمول به صورت زیر است.

$$\color {white} {( x + y ) ^ n = \sum _ { k = 0 } ^ n } ( x + y ) ^ n = \sum _ { k = 0 } ^ n { n \choose k } x ^ { k } y ^ { n - k } \, \color {white} {( x + y ) ^ n = \sum _ { k = 0 } ^ n }$$

این فرمول به ازای تمامی مقادیر طبیعی $$n$$ و مقادیر حقیقی $$x , y$$ برقرار است. البته زمانی به ازای تمامی مقادیر برقرار است که مقدار $$0 ^ 0$$ برابر با $$1$$ در نظر گرفته شود. برای نمونه به ازای $$n = 2$$ و $$x = 0$$ و $$y = 5$$، فرمول به شکل زیر در می‌آید.

$$( 0 + 5 ) ^ 2 = 0 ^ 0 × 5 ^ 2 + 2 × 0 ^ 1 × 5 ^ 1 + 0 ^ 2 × 5 ^ 0 \,$$

اگر $$0 ^ 0 = 1$$ در نظر گرفته شود، در این صورت سمت راست عبارت فوق برابر با $$5 ^ 2$$ بدست می‌آید که مقدار آن برابر با مقدار سمت چپ است. در این حالت فرمول حتی به ازای $$n = 0$$ نیز قابل تعریف است. در این حالت سمت چپ و راست به صورت زیر در می‌آید.

$$( 0 + 5 ) ^ 0 = 0 ^ 0 × 5 ^ 0 \,$$

چند جمله‌ای‌ها

چند جمله‌ای‌ها (همچون $$1 + x + x‌ ^ 2 + . ..$$)، کاربرد زیادی در مسائل جبری دارند. معمولا چند جمله‌ای‌ها را می‌توان به شکل فشرده که در زیر آمده، بیان کرد:

$$\color {white} {p ( x ) = ∑ _ { k = 0 } ^ n a } p ( x ) = ∑ _ { k = 0 } ^ n a _ k x ^ k \color {white} {p ( x ) = ∑ _ { k = 0 } ^ n a }$$

با توجه به رابطه فوق، این سوال مطرح می‌شود که $$? ( 0 )$$ چگونه محاسبه می‌شود. در حقیقت اگر $$0 ^ 0 = 1$$ در نظر گرفته شود، در این صورت سری فوق به ازای تمامی مقادیر $$x$$، می‌تواند یک چندجمله‌ای را توصیف کند. اگر مقدار $$0 ^ 0$$ تعریف نشده در نظر گرفته شود، باید از تابع دو ضابطه‌ای زیر به منظور تعریف چندجمله‌ای استفاده کرد:

$$p ( x ) = \begin {cases} ∑ _ { k = 0 } ^ n a _ k x ^ k & x ≠ 0 \\ a _ 0 & x = 0 \end {cases} \,$$

همان‌طور که می‌بینید تابع فوق به نسبت تعریف یک ضابطه مشکل‌تر به نظر می‌رسد؛ از این رو استفاده از آن در مسائل نیز به نسبت دیگر مسائل مشکل‌تر خواهد بود.

نتیجه‌گیری

دلیل‌های منطقی برای تعریف $$0 ^ 0 = 1$$ وجود دارد. معمولا در ریاضیات دانشگاهی مقدار $$0 ^ 0$$، تعریف نشده در نظر گرفته می‌شود. دلیل این امر نیز نشان دادن این موضوع است که تابع $$x ^ y$$ در نقطه $$( 0 , 0 )$$ نه مشتق‌پذیر و نه پیوسته است. البته قرار دادن صفر به توان صفر برابر با $$1$$ نیز مشکلی را ایجاد نخواهد کرد.

در صورتی که مطلب فوق برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان
• اعداد توان‌دار — به زبان ساده
• حد در ریاضی — به زبان ساده
• توابع چند متغیره — به زبان ساده
• هر عدد به توان صفر | صفر به توان هر عدد — به زبان ساده و با مثال

^^