تابع دایگاما – به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با تابع گاما و کاربردها آن آشنا شدیم. در این آموزش «تابع دایگاما» (Digamma Function) را معرفی می‌کنیم که برابر با مشتق لگاریتم تابع گاما است.

تابع دایگاما

همانطور که گفتیم،‌ تابع دایگاما که با $$\psi$$ نمایش داده می‌شود، به عنوان مشتق لگاریتمی تابع گاما تعریف شده است:

$$\large \begin {equation} \Psi ( z ) \equiv { d \over d z } \ln \Gamma ( z ) = { \Gamma' ( z ) \over \Gamma ( z ) } \end {equation}$$

که در آن، $$\Gamma$$ تابع گاما است. تابع دایگامای $$F$$ به صورت زیر تعریف می‌شود:‌

$$\large \begin {equation} F ( z ) \equiv { d \over d z } \ln z ! \end {equation}$$

و برابر است با:

$$\large \begin {equation} F ( z ) = \Psi ( z + 1 ) . \end {equation}$$

با توجه به بسط سری تابع فاکتوریل، داریم:

$$ \large \begin {eqnarray}<br /> F ( z ) & = & { d \over d z } \lim _ { n \to \infty } [ \ln n ! + z \ln n - \ln ( z + 1 ) - \ln ( z + 2 ) - \ldots - \ln ( z + n ) ] \\<br /> & = & \lim _ { n \to \infty } \left ( { \ln n - { 1 \over z + 1 } - { 1 \over z + 2 } - \ldots - { 1 \over z + n } } \right ) \nonumber \\<br /> \\<br /> & = & - \gamma - \sum _ { n = 1 } ^ \infty \left ( { { 1 \over z + n } - { 1 \over n } } \right ) \\<br /> & = & - \gamma + \sum _ { n = 1 } ^ \infty { z \over n ( n + z ) } \\<br /> & = & \ln z + { 1 \over 2 z } - \sum _ { n = 1 } ^ \infty { B _ { 2 n } \over 2 n z ^ { 2 n } } ,<br /> \end {eqnarray} $$

که در آن، $$\gamma$$ ثابت اویلر-ماسکرونی است و $$B _ { 2 n }$$ اعداد برنولی هستند.

مشتق $$n$$اُم $$\Psi(z)$$ «تابع چندگاما» (Polygamma Function) نامیده و با $$\psi_n(z)$$ نشان داده می‌شود. از آنجا که تابع دایگاما مشتق صفرم $$\Psi ( z )$$ است (یعنی خود تابع)، آن را با $$\psi _ 0 ( z )$$ نیز نمایش می‌دهند.

نمایش انتگرالی تابع دایگاما به صورت زیر است:‌

$$\large \begin {equation} \Psi ( z ) = \int _ 0 ^ \infty \left ( { { e ^ { - t } \over t } - { e ^ { - z t } \over 1 - e ^ { - t } } } \right ) \, d t . \end {equation}$$

برای انتگرال $$z\equiv n$$، داریم:

$$\large \begin {equation} \Psi ( n ) = - \gamma + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } { 1 \over k}=-\gamma + H _ { n - 1 } , \end {equation}$$

که $$\gamma$$ ثابت اویلر-ماسکرونی و $$H_ n$$ یک عدد هارمونیک است.

در ادامه، چد اتحاد مربوط به تابع دایگاما و اثبات آن را ارائه می‌کنیم.

معادله تابعی:

$$\large \psi ( s + 1 ) = \psi ( s ) + \dfrac { 1 } { s }$$

اثبات: تساوی زیر را داریم:

$$\large \Gamma ( s + 1 ) = s \Gamma ( s ) .$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

با لگاریتم گرفتن از دو طرف رابطه بالا، خواهیم داشت:

$$\large \ln \big ( \Gamma ( s + 1 ) \big ) = \ln \big ( \Gamma ( s ) \big ) + \ln ( s ) .$$

در نهایت، با مشتق‌گیری نسبت به $$s$$، به تساوی مورد نظر خواهیم رسید:

$$\large \psi ( s + 1 ) = \psi ( s ) + \dfrac { 1 } { s } .$$

نمایش سری:

$$\large \psi ( s + 1 ) = - \gamma + \sum _ { k = 1 } ^ \infty \left ( \dfrac { 1 } { k } - \dfrac { 1 } { k + s } \right )$$

اثبات: نمایش وایرشتراس تابع گاما را در نظر بگیرید:

$$\large \Gamma ( s ) = \dfrac { e ^ { - \gamma s } } { s } \prod _ { k = 1 } ^ \infty e ^ { s / k } \left ( 1 + \dfrac { s } { k } \right ) ^ { - 1 } .$$

با لگاریتم گرفتن از طرفین رابطه بالا، داریم:

$$\large \ln \big ( \Gamma ( s ) \big ) = - \gamma s -\ln ( s ) + \sum _ { k = 1 } ^ \infty \left ( \dfrac { s } { k } - \ln \Big ( 1 + \dfrac { s } { k } \Big ) \right ) .$$

اکنون از رابطه اخیر نسبت به $$s$$ مشتق می‌گیریم:

$$\large \psi ( s ) = - \gamma - \dfrac { 1 } { s } + \sum _ { k = 1 } ^ \infty \left ( \dfrac { 1 } { k } - \dfrac { 1 } { k + s } \right ) = - \gamma + \sum _ { k = 1 } ^ \infty \left ( \dfrac { 1 } { k } - \dfrac { 1 } { k + s - 1 } \right ) .$$

در نهایت، با قرار دادن $$s + 1$$ به جای $$s$$، خواهیم داشت:

$$\large \psi ( s + 1 ) = - \gamma + \sum _ { k = 1 } ^ \infty \left ( \dfrac { 1 } { k } - \dfrac { 1 } { k + s } \right ) .$$

نمایش انتگرالی:

$$\large \psi ( s + 1 ) = - \gamma + \int _ 0 ^ 1 \dfrac { 1 - x ^ s } { 1 - x } d x$$

اثبات: تساوی زیر را داریم:

$$\large \begin {aligned} \psi ( s + 1 ) & = - \gamma + \sum _ { n = 1 } ^ \infty \left ( \dfrac { 1 } { n } - \dfrac { 1 }{ n + s } \right ) \\ & = - \gamma + \sum _{ n = 1 } ^ \infty \int _ 0 ^ 1 \big ( x ^ { n - 1 } - x ^ { n + s - 1 } \big ) d x \\ & = - \gamma + \int _ 0 ^ 1 \sum _ { n = 1 } ^ \infty \big ( x ^ { n - 1 } -x ^ { n + s - 1 } \big ) d x . \end {aligned}$$

در نهایت، با اعمال تصاعد هندسی خواهیم داشت:

$$\large \psi ( s + 1 ) = - \gamma + \int _ 0 ^ 1 \dfrac { 1 - x ^ s } { 1 - x } d x .$$

با استفاده از رابطه بالا می‌توانیم به سادگی مقادیر تابع دایگاما را به دست آوریم. برای مثال، با قرار دادن $$s = 0$$، مقدار $$\psi ( 1 ) = - \gamma$$ به دست می‌آید.

همچنین، با استفاده از نمایش انتگرالی اعداد هارمونیک، داریم:

$$\large \psi ( s + 1 ) = - \gamma + H _ s .$$

فرمول بازتاب اویلر:

طبق «فرمول بازتاب اویلر» (Euler's Reflection Formula)، رابطه زیر را داریم:

$$\large \psi ( 1 - z ) - \psi ( z ) = \pi \cot \pi z .$$

اثبات: فرمول بازتاب اویلر به صورت زیر است:

$$\large \Gamma ( z ) \Gamma ( 1 - z ) = \frac { \pi } { \sin \pi z } .$$

با لگاریتم گرفتن از عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$\large \ln \big ( \Gamma ( z ) \big ) + \ln \big ( \Gamma ( 1 -z ) \big ) = \log \pi - \log \sin \pi z .$$

و در نهایت با مشتق‌گیری از عبارت اخیر، به رابطه مورد نظر می‌رسیم:

$$\large \begin {aligned} \dfrac { \Gamma ^ { \prime } ( z ) } { \Gamma ( z ) } - \dfrac { \Gamma ^ { \prime } ( 1 - z ) } { \Gamma ( 1 - z ) } & = - \dfrac { \pi \cos \pi z } { \sin \pi z } \\\\ \psi ( z ) - \psi ( 1 - z ) & = - \dfrac { \pi \cos \pi z } { \sin \pi z } \\\\ \psi ( 1 - z ) - \psi ( z ) & = \pi \cot \pi z , \end {aligned}$$

که در آن، $$\phi$$ تابع دایگاما است که مشتق لگاریتم تابع گاما است.

فرمول لژاندر:

$$\large 2 \psi ( 2 s ) = 2 \ln ( 2 ) + \psi ( s ) + \psi \left ( s + \frac 1 2 \right )$$

اثبات: رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\large \sqrt { \pi } \ \Gamma ( 2 s ) = 2 ^ { 2 s - 1 } \Gamma ( s ) \Gamma \left ( s + \frac 1 2 \right ) .$$

با گرفتن لگاریتم، داریم:

$$\large \ln \big ( \sqrt { \pi } \big ) + \ln \big ( \Gamma ( 2 s ) \big ) = ( 2 s - 1 ) \ln ( 2 ) + \ln \big ( \Gamma ( s ) \big ) + \ln \left ( \Gamma \Big ( s + { \small \frac 1 2 } \Big ) \right ) .$$

اکنون با مشتق‌گیری نسبت به $$s$$، به تساوی مورد نظر می‌رسیم:

$$\large 2 \psi ( 2 s ) = 2 \ln ( 2 ) + \psi ( s ) + \psi \left ( s + \frac 1 2 \right ) .$$

کاربرد تابع دایگاما در مجموع و سری

این بخش را با مثال بررسی می‌کنیم.

مثال

تساوی زیر را اثبات کنید:

$$\large \sum _ { n = 0 } ^ \infty \dfrac { 1 } { n ^ 2 + 1 } = \dfrac { \pi + 1 } { 2 } + \dfrac { \pi } { e ^ { 2 \pi } - 1 } .$$

حل: تساوی زیر را داریم:

$$\large S = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty} \frac { 1 } { n ^ 2 + 1 } = \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left ( \frac { 1 } { n - i } - \frac { 1 } { n + i } \right ) .$$

با بازنویسی این عبارت، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} 2 i S & = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left ( \frac { 1 } { n - 1 - i } - \frac { 1 } { n - 1 + i } \right ) \\ & = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left ( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n - 1 + i } \right ) - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left ( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n - 1 - i } \right ) . \end {aligned}$$

با نمایش سری تابع دایگاما، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {aligned} 2 i S & = \psi ( i ) - \psi ( - i ) \\ & = \psi ( i ) - \psi ( 1 - i ) - \dfrac { 1 } { i } \\ & = - \pi \cot ( i \pi ) + i \\ & = \pi i \coth ( \pi ) + i . \end {aligned}$$

با کمی ساده‌سازی، به عبارت نهایی زیر می‌رسیم:

$$\large S = \dfrac { 1 + \pi \coth ( \pi ) } { 2 } \implies S = \dfrac { \pi + 1 } { 2 } + \dfrac { \pi } { e ^ { 2 \pi } - 1 } .$$

توابع چندگاما

تابع چندگامای $$n$$اُم به صورت زیر است:

$$\large \psi _ n ( s ) = \dfrac { d ^ n } { d s ^ n } \psi ( s ) = \psi ^ { ( n ) } ( s ) .$$

ویژگی‌های زیادی از این تابع استخراج می‌شود. برای مثال، با $$n$$ بار مشتق‌گیری از نمایش سری، داریم:

$$\large \psi _ n ( s ) = ( - 1 ) ^ { n + 1 } n ! \sum _ { k = 1 } ^ \infty \dfrac { 1 } { ( k + s - 1 ) ^ { n + 1 } } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } n ! \sum _ { k = 0 } ^ \infty \dfrac { 1 } { ( k + s ) ^ { n + 1 } } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } n ! \zeta ( n + 1 , s )$$

که در آن، $$\zeta ( n + 1 , s )$$ تابع زتای هرویتز است. با قرار دادن $$s = 1$$، می‌توانیم $$\phi _ n ( 1 ) = ( - 1 ) ^ { n + 1 } n ! \zeta ( n + 1)$$ را به دست آوریم.

با توجه به این، همچنین می‌توانیم سری تیلور تابع دایاگاما را محاسبه کنیم:

$$\large \begin {aligned} \psi ( s ) & = \sum _ { n = 0 } ^ \infty \dfrac { \psi ^ { ( n ) } ( 1 ) ( s - 1 ) ^ n } { n ! } \\ & = - \gamma + \sum _ { n = 1 } ^ \infty \dfrac { \psi _ n ( 1 ) ( s - 1 ) ^ n } { n ! } \\ & = - \gamma - \sum _ { n = 1 } ^ \infty ( - 1 ) ^ n \zeta ( n + 1 ) ( s - 1 )^ n \\ \psi ( s + 1 ) & = - \gamma - \sum _ { n = 1 } ^ \infty \zeta ( n + 1 ) ( - s ) ^ n . \end {aligned}$$

می‌توانیم $$n$$ بار از نمایش انتگرالی مشتق بگیریم و عبارت زیر را به دست آوریم:‌

$$\large \psi _ n ( s + 1 ) = \int _ 0 ^ 1 \dfrac { \ln ^ n ( x ) x ^ s } { x - 1 } d x .$$

این کار را می‌توانیم برای معادله تابعی نیز انجام دهیم:

$$\large \psi _ n ( s + 1 ) = \psi _ n ( s ) + ( - 1 ) ^ n n ! z ^ { - n - 1 } .$$