مسائل بهینه سازی در فیزیک — به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس نحوه بدست آوردن ماکزیمم یا مینیمم یک تابع را بیان کردیم. در این قسمت می‌خواهیم در مورد کاربرد این مفهوم در فیزیک صحبت کنیم. در حقیقت یکی از کاربرد‌های یافتن ماکزیمم یا مینیمم یک تابع در مسائل بهینه سازی در فیزیک است. در این مطلب مثال‌های مختلفی را در مورد بهینه کردن کمیت‌ها در مسائل مختلف توضیح خواهیم داد.

پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه، مطالب ماکزیمم و مینیمم تابع، حرکت پرتابی، مشتق و مجموعه مقالات الکتریسیته را مطالعه فرمایید.

مسائل بهینه سازی در فیزیک

به منظور اکسترمم کردن یک کمیت در یک رابطه، در ابتدا باید وابستگی آن کمیت را نسبت به متغیر‌های مختلف بیابید. در مرحله بعد با مشتق گیری از کمیت مربوطه نسبت به هریک از متغیر‌ها، می‌توان آن کمیت را بهینه کرد. در ادامه چند مثال ارائه شده که در هریک از آن‌ها یک کمیتِ خاص بهینه شده است.

فیلم آموزش حل مسائل فیزیک با پایتون – بخش یکم در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

مدار الکتریکی زیر را در نظر بگیرید.

برای این که مقاومت موجود در مدار، بیشترین توان را دریافت کند، مقاومت داخلی باتری چقدر باید باشد؟

در این مسئله هدف بهینه کردن توان است. از این رو باید رابطه‌ آن را بر حسب مقاومت یافت. با توجه به مطلب مدار‌های الکتریکی می‌دانید که جریان الکتریکی در چنین مداری برابر است با:

$$\Large I = \frac { \varepsilon } { { R + r } }$$

بنابراین توان منتقل شده به بار، به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large { P = P \left ( R \right ) = { I ^ 2 } R } = { { \left ( { \frac {\varepsilon } { { R + r } } } \right ) ^ 2 } R } = { \frac { { { \varepsilon ^ 2 } R } } { { { { \left ( { R + r } \right ) } ^ 2 } } }.}$$

توان بدست آمده وابسته به مقاومت یا همان R است؛ بنابراین با مشتق‌گیری از آن نسبت به R داریم:

$$\Large \begin{align*} { P ^ { \prime } \left ( R \right ) = { \left ( { \frac { { { \varepsilon ^ 2 } R } } { { { { \left( { R + r } \right ) } ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } } & = { { \varepsilon ^ 2 } \frac { { R ^ { \prime } { { \left ( { R + r } \right ) } ^ 2 } – R{{\left( { { { \left ( { R + r } \right ) } ^ 2 } } \right)}^\prime }} } { { { {\left( {R + r} \right ) } ^ 4 } } } } \\ & = {{\varepsilon ^ 2 } \frac { { { {\left ( { R + r } \right ) } ^ 2 } – 2 R \left ( { R + r } \right ) } } { {{ { \left( {R + r} \right)}^4}}} } \\ & = {{\varepsilon ^2}\frac{{R + r – 2 R } } { { { { \left( { R + r } \right) } ^ 3 } } } } = {{\varepsilon ^ 2 } \frac { { r – R } } { { { { \left ( { R + r } \right ) } ^ 3 } } } } \end {align*}$$

رابطه فوق به ازای R=r، برابر با صفر است. با انتخاب مقادیر بیشتر از r علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند. بنابراین R=r معادل با بیشترین مقدار توان است. نهایتا با قرار دادن R=r، بیشترین میزان توان به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ \Large \require {cancel} { { P _ { \max } } = \frac { { { \varepsilon ^ 2 } r } } { { { { \left ( { r + r } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { { { \varepsilon ^ 2 } \cancel { r } } } {{ 4 { r ^ { \cancel {2}}}}} } = {\frac{{{\varepsilon ^2 } } } {{4 r } } } $$

مثال 2

مطابق با شکل ۱، ساده‌ترین مدار الکتریکی از یک منبع تولید توان و مقاومت الکتریکی تشکیل شده است. بیشترین راندمانِ الکتریکی را در چنین مداری بیابید.

فیلم آموزش فیزیک 2 دانشگاه – جامع و با نکات کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

راندمانِ الکتریکی در یک مدار به صورت نسبتِ توان مصرف شده در بار به کل توان مصرفی در مدار گفته می‌شود. بنابراین راندمان برابر است با:

$$\Large \eta = \frac { { { W _ R } } } { W } = \frac { { { W _R } } } { {{ W _ R } + { W _ r } } }$$

هریک از اجزاء رابطه فوق به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\Large {{W_R} = {I^2}R } = {{\left( {\frac{\varepsilon }{{R + r}}} \right)^2}R } = {\frac{{{\varepsilon ^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}};}$$

$$\Large {{W_r} = {I^2}r } = {{\left( {\frac{\varepsilon }{{R + r}}} \right)^2}r } = {\frac{{{\varepsilon ^2}r}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}};}$$

$$\Large {W = {W_R} + {W_r} } = {\frac{{{\varepsilon ^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} + \frac{{{\varepsilon ^2}r}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} } = {\frac{{{\varepsilon ^2}\cancel{\left( {R + r} \right)}}}{{{{\left( {R + r} \right)}^{\cancel{2}}}}} } = {\frac{{{\varepsilon ^2}}}{{R + r}},}$$

توجه داشته باشید که در روابط بالا ε برابر با نیروی محرکه و I جریان موجود در مدار است. نهایتا راندمان الکتریکی مدار به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large {\eta = \frac{{{W_R}}}{W} } = {\frac{{\frac{{{\varepsilon ^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}}}{{\frac{{{\varepsilon ^2}}}{{R + r}}}} } = {\frac{{R\cancel{\left( {R + r} \right)}}}{{{{\left( {R + r} \right)}^{\cancel{2}}}}} = \frac{R}{{R + r}}}$$

رابطه فوق نشان می‌دهد راندمان مدار وابسته به مقاومت R است. بنابراین با مشتق‌گیری از آن نسبت به R داریم:

$$\Large {\eta^\prime\left( R \right) = {\left( {\frac{R}{{R + r}}} \right)^\prime } } = {\frac{{R^\prime\left( {R + r} \right) – R{{\left( {R + r} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} } = {\frac{{\cancel{R} + r – \cancel{R}}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} } = {\frac{r}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} > 0.}$$

مشتقِ مثبت به معنای آن است که با افزایشِ پیوسته R، مقدار راندمان نیز افزایش پیدا می‌کند. در حقیقت اگر رابطه فوق را به صورت زیر بازنویسی کنیم، می‌بینیم که با بینهایت شدن R مقدار راندمان به ۱ یا همان ٪۱۰۰ میل می‌کند.

$$\Large {\eta \left( R \right) = \frac{R}{{R + r}} } = {\frac{1}{{1 + \frac{r}{R}}} }$$

مثال ۳

مطابق با شکل زیر جسمی با سرعت اولیه v₀ و زاویه α حرکتی پرتابی را انجام می‌دهد. با صرف نظر کردن از مقاومت هوا به ازای چه مقداری از زاویه α، پرتابه بیشترین مسیر را طی می‌کند.

فرض کنید جسم با سرعت اولیه v₀ پرتاب شده است. همان‌طور که پیش‌تر نیز عنوان شد، معادله پرتابه به صورت زیر است.

$$\Large \left\{ \begin{array}{l} x = {v_{x0}}t\\ y = {v_{y0}}t – \frac{{g{t^2}}}{2} \end{array} \right.$$

در رابطه فوق، g برابر با شتاب گرانشی و t زمان است. هم‌چنین سرعت‌های اولیه در راستای x و y به صورت زیر هستند.

$$\Large {v_{x0}} = {v_0}\cos \alpha \ \ \ ,\;\;\;\kern-0.3pt{v_{y0}} = {v_0}\sin\alpha$$

نهایتا جابجایی‌ها را می‌توان به صورت زیر بیان کرد.

$$\Large \left\{ \begin{array}{l} x = {v_0}\cos \alpha \,t\\ y = {v_0}\sin \alpha \,t – \frac{{g{t^2}}}{2} \end{array} \right.$$

وقتی جسم به زمین می‌رسد، مختصات y=۰ می‌شود. بنابراین کل زمان پرواز برابر است با:

$$\Large \begin {align*} {y = 0 } & \Rightarrow {{v_0}\sin\alpha\,t – \frac{{g{t^2}}}{2} = 0 \;\;} \\ & \Rightarrow {t\left( {{v_0}\sin\alpha – \frac{{gt}}{2}} \right) = 0 \;\;} \\ & \Rightarrow {\frac{{gt}}{2} = {v_0}\sin\alpha \;\;}\Rightarrow {t = \frac{{2{v_0}\sin\alpha }}{g} } \end {align*}$$

با قرار دادن زمان بدست آمده در رابطه مربوط به جابجایی افقی، میزان مسافت طی شده در راستای x یا همان برد به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\Large {L = {v_0}\cos\alpha \,t } = {\frac{{2v_0^2\sin\alpha \cos \alpha }}{g} } = {\frac{{v_0^2\sin2\alpha }}{g} }$$

کمیت L تابعی از زاویه پرتاب α است. بنابراین با مشتق‌گیری از رابطه فوق نسبت به α می‌توان فهمید که به ازای چه مقداری از آن، پرتابه بیشترین مسیر را طی می‌کند. مشتق تابع فوق برابر است با:

$$\Large { L ^ {\prime} \left( \alpha \right) = { \left ( {\frac { { v _ 0 ^ 2 \sin 2 \alpha } } { g } } \right)^\prime } } = {\frac{{v_0^2}}{g}{\left( {\sin2\alpha } \right)^\prime } } = {\frac{{2v_0^2}}{g}\cos2\alpha }$$

با صفر قرار دادن رابطه فوق داریم:

$$\Large \begin {align*} {L’\left( \alpha \right) = 0 \;\;} & \Rightarrow {\frac{{2v_0^2}}{g}\cos2\alpha = 0 \;\;} \\ & \Rightarrow {\cos2\alpha = 0 \;\;} \\ & \Rightarrow {2\alpha = \frac{\pi }{2} \;\;}\Rightarrow {\alpha = \frac{\pi }{4} } \end {align*}$$

در زاویه ۴۵ درجه، مقدار مشتق صفر بوده و به ازای مقادیر بیشترین از آن، مشتق عددی منفی است. بنابراین می‌توان گفت این زاویه نشان دهنده ماکزیمم نسبی L است. هم‌چنین بیشترین بردِ پرتابه نیز برابر است با:

$$\Large {{L_{\max }} = L\left( {\frac{\pi }{4}} \right) } = {\frac{{v_0^2}}{g}\sin\frac{\pi }{2} = \frac{{v_0^2}}{g} }$$

مثال ۴

قطره‌ای از باران با جرم اولیه $$\large { m _ 0 }$$ در نتیجه نیروی گرانش به سمت پایین حرکت می‌کند. زمانی که قطره در حال سقوط است، جرم آن مطابق با رابطه زیر کم می‌شود.

$$\Large m \left ( t \right ) = { m _ 0 } – b t$$

در رابطه فوق b برابر با نرخ تبخیر است. لحظه‌ای از سقوط که در آن انرژی جنبشی قطره بیشترین مقدار است را بدست آورید.

انرژی جنبشی قطره در حال سقوط برابر است با:

$$\Large { K = \frac { { m { v^ 2 } } } {2 } } = { \frac { { m{ { \left ( { g t } \right) }^ 2 } } } { 2} } = {\frac { { m { g ^ 2 } {t ^ 2 } } }{ 2} }$$

بدیهی است که انرژی بیان شده در رابطه فوق با زمان تغییر می‌کند. در حقیقت با قرار دادن رابطه جرم در انرژی جنبشی فوق داریم:

$$\Large { K \left ( t \right ) = \frac { { m \left ( t \right ) { g ^ 2} { t ^ 2} } } { 2} } = {\left ( { { m _0 } – b t } \right ) \frac { { { g^ 2} { t ^ 2 }} } { 2 } } = { \frac { { { m _ 0 } { g ^ 2 }{ t^ 2 } } } { 2 } – \frac { { b { g ^ 2 } { t ^ 3 } } } { 2 } }$$

با مشتق‌گیری از رابطه فوق و بدست آوردن نقطه بحرانی، داریم:

$$\Large {K’\left( t \right) = {\left( {\frac{{{m_0} { g ^ 2 } { t ^2 } } }{ 2} – \frac{ { b{ g ^ 2 } { t ^ 3 }}}{2}} \right)^\prime } } = {{ m _ 0 } { g ^ 2} t – \frac{{3b{ g ^ 2 } { t ^ 2 }} } { 2} } = {{ g ^ 2 } t \left( {{ m _ 0 } – \frac{3}{2} b t } \right) }$$

$$\Large {K’\left( t \right) = 0 \;\;}\Rightarrow { {g^2}t\left( {{m_0} – \frac{3}{2}bt} \right) = 0 \;\;}\Rightarrow { { t _ 1 } = 0,\;{t_2} = \frac{{2{m_0}}}{{3b}} }$$

توجه داشته باشید که در زمان t₁=0 انرژی جنبشی در حالت مینیممش قرار دارد. از طرفی انرژی جنبشی ماکزیمم در لحظه $$\large t = { \large \frac { { 2 { m _ 0 } } } {{ 3 b } }\normalsize}$$ برابر است با:

$$\Large {{K_{\max }} } = {\frac { { { m _0 }{ g ^ 2 } { { \left( { \frac{ { 2 { m _ 0 } }} { { 3 b } } } \right) } ^ 2 }} } {2 } – \frac { { b { g ^2 } { { \left( { \frac { { 2 { m _ 0 } }} { { 3 b } } } \right)} ^ 3 } } }{ 2 } } = {\frac{{ 2 m _ 0 ^ 3 {g ^2 } } } { { 2 7 {b ^ 2 }}} }$$

مثال ۵

مطابق با شکل زیر جسمی روی سطحی با ضریب اصطکاک k قرار گرفته است. حداقل نیروی وارد شده به جسم به منظور به حرکت در آمدن آن را بیابید.

مطابق با شکل فوق، ۴ نیرو به جسم وارد می‌شود. نیروی گرانشِ mg، نیروی عمودی N، نیروی اصطکاکِ F_fr و نیروی خارجی F، این چهار نیرو هستند. با توجه به شکل می‌توان دید که زاویه α می‌تواند در بازه $$\large 0 \le \alpha \le { \large \frac { \pi } { 2 } \normalsize}$$ قرار گیرد. معادله برداری نیرو‌ها را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\Large { m \overrightarrow a } = \overrightarrow{F} + {m \overrightarrow g} + \overrightarrow {F_\text{fr}} + \overrightarrow{N}$$

در حالتی که جسم در حالت سکون قرار داشته باشد، حاصل تمامی نیرو‌های وارد به آن برابر با صفر است؛ لذا می‌توان گفت:

$$\Large { 0 } = \overrightarrow{F} + {m \overrightarrow g} + \overrightarrow {F_\text{fr}} + \overrightarrow{N}$$

با تجزیه کردن نیرو‌ها در راستای x و y داریم:

$$\Large \left \{ \begin {array} { l } F \cos \alpha – { F _ \text{fr}} = 0 \\ F \sin \alpha – m g + N = 0 \end {array} \right.$$

توجه داشته باشید که در زوایای مختلف، نیروی مورد نیاز به منظور به حرکت در آوردن سیستم متفاوت است. از طرفی ما به دنبال کم‌ترین نیرو هستیم؛ بنابراین باید وابستگی نیروی F به زاویه‌ی α را بیابیم. بدین منظور رابطه دوم که در بالا ارائه شده را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم.

$$\Large N = m g – F \sin \alpha$$

با قرار دادن رابطه بالا در رابطه اول، داریم:

$$\Large \begin{align*} { F \cos \alpha – k \left ( { m g – F \sin \alpha } \right ) = 0\;\;} \Rightarrow \ & { F \cos \alpha + k F \sin \alpha – k m g = 0,\;\;} \\ & { F \left ( { \cos \alpha + k \sin \alpha } \right ) – k m g = 0,\;\;} \\ & { F = F \left ( \alpha \right ) = \frac { { k m g } } { { \cos \alpha + k \sin \alpha } } } \end{align*}$$

از رابطه فوق نسبت به زاویه α مشتق می‌گیریم.

$$\Large\begin {align*} {F’\left( \alpha \right) } = {{\left( {\frac{{kmg}}{{\cos \alpha + k\sin \alpha }}} \right)^\prime } } & = { – \frac{{kmg}}{{{{\left( {\cos \alpha + k\sin \alpha } \right)}^2}}} \cdot {\left( {\cos \alpha + k\sin \alpha } \right)^\prime } } \\ & = { – \frac{{kmg}}{{{{\left( {\cos \alpha + k\sin \alpha } \right)}^2}}} \cdot \left( { – \sin\alpha + k\cos \alpha } \right) } \\ & = {\frac{{kmg\left( {\sin\alpha – k\cos \alpha } \right)}}{{{{\left( {\cos \alpha + k\sin \alpha } \right)}^2}}}} \end {align*}$$

با صفر قرار دادن مشتق، داریم:

$$\Large \begin {align*} { \sin \alpha – k \cos \alpha = 0 \; \; } & \Rightarrow {\tan \alpha – k = 0 \; \; } \\ & \Rightarrow {\tan \alpha = k \; \; } \\ & \Rightarrow {\alpha = \arctan k } \end {align*}$$

اگر مقادیر α بیشتر از $$\large \alpha = \arctan k$$ انتخاب شوند، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر خواهد کرد. بنابراین این مقدار از زاویه معادل با مینیمم تابع F است. از طرفی با جایگذاری زاویه بدست آمده در رابطه F، مقدار مینیمم برابر می‌شود با:

$$\Large { F _ { \min } } = { \frac { { k m g } } { { \cos \left ( { \arctan k } \right ) } + { k \sin \left ( { \arctan k } \right ) } } }$$

همان‌طور که دیدید با استفاده از مفاهیم مشتق، نقطه بحرانی و ماکزیمم و مینیمم می‌توان مقادیر یک کمیت را در مسائل فیزیکی بهینه کرد. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی و فیزیک آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• جسم سیاه در فیزیک -- به زبان ساده
• مشتق - به زبان ساده
• نظریه جنبشی گاز‌ها — از صفر تا صد

^^