ریاضی، علوم پایه ۵۵۰ بازدید

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با اتحادهای مهم آشنا شدیم و دیدیم که یکی از کاربردهای مهم اتحادها تجزیه عبارت‌های جبری است. همچنین، با برخی از اتحادهای مهم، از قبیل اتحاد مزدوج، اتحاد جمله مشترک، اتحاد چاق و لاغر و اتحاد مکعب آشنا شدیم. در این آموزش، مطالبی را درباره اتحاد نوع اول بیان می‌کنیم و مثال‌هایی از آن را حل خواهیم کرد.

اتحاد چیست؟

اتحاد در جبر به یک برابری و تساوی گفته می‌شود که برای هر مقدار عددی و متغیری برقرار است. برای مثال، اتحاد زیر برای همه $$x$$ها و $$y$$ها برقرار است:
$$ \large ( x + y ) ^ 2 = x ^ 2 + 2 x y + y ^ 2 $$
از آنجا که اتحاد برای همه مقادیر و متغیرها برقرار است، می‌توان در موارد مختلف از یکی از دو طرف تساوی استفاده کرد. مثلاً، می‌توان به‌جای $$ (x+y)^ 2 $$، عبارت جبری $$ x ^ 2 + 2 x y + y ^ 2 $$ را قرار داد و بالعکس.
یکی از کاربردها اتحادها این است که با استفاده از آن‌ها می‌توان به‌راحتی حل بسیاری از مسائل پیچیده را آسان کرد، عبارت‌های جبری را تجزیه کرد و… .

در ادامه، با اتحاد نواع اول آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را از کاربرد آن بررسی خواهیم کرد.

اتحاد نوع اول

اتحاد نوع اول که در اصل نام آن اتحاد مربع دوجمله‌ای است، برای دو جمله $$ a $$ و $$ b $$ به‌صورت زیر بیان می‌شود. اتحاد نوع اول

در کنار اتحاد نوع اول، اتحاد نوع دوم نیز معرفی می‌شود که تفاوت آن در علامت‌هاست:

$$ \large ( a – b ) ^ 2 = a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 $$

اثبات اتحاد نوع اول

برای اثبات اتحاد نوع اول، یک راه ساده این است که سمت چپ اتحاد، یعنی عبارتی را که به توان دو رسیده است، ساده کنیم. بدین ترتیب، خواهیم داشت:

$$ \large \begin{aligned} ( a + b ) ^ 2 & = ( a + b ) ( a + b ) \\ & = a ( a + b ) + b ( a + b ) \\ & = a ^ 2 + a b + b a +b ^ 2 \\ & = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 \end{aligned} $$

می‌بینیم که طرف اول و دوم اتحاد با هم برابرند و بنابراین، اثبات کامل می‌شود.

اثبات اتحاد نوع اول با شکل

برای اثبات اتحاد نوع اول با شکل، فرض کنید مربعی به ضلع $$ ( a + b ) $$ داریم. این مربع در شکل زیر نشان داده شده است.

اثبات اتحاد نوع اول

همان‌طور که می‌دانیم، مساحت یک مربع با به توان دو رساندن اندازه ضلع آن به‌دست می‌آید که برای این مربع برابر است با

$$ \large ( a + b ) ^ 2 $$

اما، همان‌طور که مشاهده می‌کنیم، مساحت این مربع خود از چهار مساحت تشکیل شده است:‌

  • مربعی به ضلع $$ a $$
  • مستطیلی به عرض $$ b $$ و طول $$ a $$
  • مربعی به ضلع $$ b $$
  • مستطیلی به عرض $$ b $$ و طول $$ a $$

مجموع مساحت‌های این چهار شکل، برابر است با

$$ \large a ^ 2 + a b + ab + b ^ 2  = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 $$

از آنجا که مساحت مربع برگ برابر با مساحت این چهار شکل است، خواهیم داشت:‌

$$ ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 $$

مثال‌های اتحاد نوع اول

در این بخش، مثال‌هایی را از اتحاد نوع اول بیان می‌کنیم.

مثال اول اتحاد نوع اول

فرض کنید $$ r $$ یک عدد حقیقی است، به‌گونه‌ای که $$ { r } ^ { 2 } – 6 r + 5 = 0 $$. مقدار $$ ( r – 3 ) ^ 2 $$ را محاسبه کنید.

حل: یک راه ساده این است که عبارت را به‌فرم اتحاد نوع اول در آوریم. برای این کار، می‌توانیم یک عدد $$ 4 $$ را به دو طرف معادله اضافه کنیم. چون به هر دو طرف معادله عدد $$ 4 $$ را اضافه کرده‌ایم، تغییری در جواب آن حاصل نمی‌شود.

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {align}
(r^ 2 – 6 r + 5 )+ 4 & = 0 + 4 \\
r ^ 2 – 6 r + 9 & = 4 \\
( r – 3 ) ^ 2 & = 4 \\
\end {align} $$

در نتیجه، مقدار عبارت خواسته‌شده برابر با $$ 4 $$ است.

مثال دوم اتحاد نوع اول

مقدار عبارت عددی زیر را محاسبه کنید:

$$ \large 73 ^ 2 + 2 \times 27 \times 73 + 27 ^ 2 $$

حل: فرض می‌کنیم $$ a = 73 $$ و $$ b = 27 $$ باشد. در این‌‌صورت، خواهیم داشت:

$$ \large a ^ 2 + 2 \times b \times a + b ^ 2 = ( a + b) ^ 2 = 100 ^ 2 = 10000 $$

مثال سوم اتحاد نوع اول

عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$ \large n ^ 4 + 4 $$

حل: باید این عبارت را به مربع کامل تبدیل کنیم. بدین منظور، جمله $$ 4 n ^ 2 $$ را به عبارت اضافه و از آن کم می‌کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large n ^ 4 + 4 n ^ 2 + 4 – 4 n ^ 2 = ( n ^ 2 + 2 ) ^ 2 – 4 n ^ 2 $$

اکنون از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم و می‌نویسیم:

$$ \large ( n ^ 2 + 2 ) ^ 2 – 4 n ^ 2 = ( n ^ 2 + 2 ) ^ 2 – ( 2 n ) ^ 2 = ( n ^ 2 + 2 + 2 n ) ( n ^ 2 + 2 – 2 n ) $$

مثال چهارم اتحاد نوع اول

آیا اعداد حقیقی و متمایز $$ a $$ و $$ b $$ و $$c $$ و $$ d $$ وجود دارند که در معادله زیر صدق کنند:‌

$$ \large { a ^ 2 + b ^ 2 + c ^2 + d ^ 2 = a b + b c + c d + d a } $$

حل: ابتدا، عدد $$ 2 $$ را در این معادله ضرب می‌کنیم، سپس سمت راست آن را به سمت چپ می‌آوریم:

$$ \large 2 ( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 ) – 2 ( a b + b c + c d + d a ) = 0 $$

جملات را به‌صورت زیر در کنار هم قرار می‌دهیم:

$$ \large ( a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 ) + ( b ^ 2 – 2 b c + c ^ 2 ) + ( c ^ 2 – 2 c d + d ^ 2 ) + ( d ^ 2 – 2 d a + a ^ 2 ) = 0 $$

اکنون از اتحاد نوع اول استفاده می‌کنیم و تساوی زیر را خواهیم داشت:

$$ \large ( a – b ) ^ 2 + ( b – c ) ^ 2 + ( c – d ) ^ 2 + ( d – a ) ^ 2 = 0 $$

همان‌طور که می‌بینیم، طرف چپ تساوی مجموع چهار مربع کامل است. مربع کامل نیز تنها می‌تواند مثبت یا صفر باشد. بنابراین، برای آنکه تساوی برقرار باشد، باید چهار مربع کامل برابر با صفر باشند:

$$ \large ( a – b ) ^ 2 = ( b – c ) ^ 2 = ( c – d ) ^ 2 = ( d – a ) ^ 2 = 0 $$

در نتیجه، باید داشته باشیم:

$$ \large a − b = b − c = c − d = d − a = 0 $$

این یعنی اینکه $$ a = b = c = d $$ که متناقض با مجزا بودن $$ a $$ و $$ b $$ و $$ c $$ و $$ d $$ است. در نتیجه، پاسخ به سؤال، خیر است.

مثال پنجم اتحاد نوع اول

تساوی‌های زیر داده شده‌اند:

$$ \large \begin {aligned} a + b & = c + 6 \\ a b – a c & = b c – 1 \\ \end {aligned} $$

مقدار $$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از مقادیری که داده شده، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {array} {lll} a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 & ={ ( a + b + c ) } ^ 2 – 2 ( a b + b c + ac ) \\ & = { ( ( c +6 ) + c ) }^ 2 – 2 ( ( b c + a c – 1 ) + b c + a c ) \\ & = { ( 2 c + 6 ) } ^ 2 – 2 ( 2 b c + 2 a c – 1 ) \\ & = { ( 4 c ^ 2 + 2 4 c + 3 6 ) } – 2 ( 2 c (b + a ) – 1 ) \\ & = { ( 4 c ^ 2 + 2 4 c+ 3 6) } – 2 ( 2 c ( c + 6 ) – 1 ) \\ & = { ( 4 c ^ 2 + 2 4 c + 3 6 ) } – ( 4 c ^ 2+ 2 4 c – 2 ) \\ & = 36 – ( – 2 ) = 36 + 2 = 38 \end {array} $$

مثال ششم اتحاد نوع اول

با استفاده از اتحاد نوع اول و دوم، تساوی زیر را اثبات کنید.

$$ \large ( x – y ) ^ 2 + ( x + y ) ^ 2 = 2 ( x ^ 2 + y ^ 2 ) $$

حل: از دو اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$ \large ( x – y ) ^ 2 = x ^ 2 – 2 x y + y ^ 2 $$

$$ \large ( x + y ) ^ 2 = x ^ 2 + 2 x y + y ^ 2 $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \large \require {cancel} \begin {align*} ( x – y ) ^ 2 + ( x+ y ) ^ 2 & = x ^ 2 \cancel {- 2 x y} + y ^ 2 + x ^ 2 + \cancel { 2 x y } + y ^ 2\\ & = 2 x ^ 2 + 2 y ^ 2 = 2 ( x ^ 2 + y ^ 2 ) \end {align*} $$

مثال هفتم اتحاد نوع اول

با استفاده از اتحاد نوع اول، مقدار عددی $$  110^ 2 $$ را محاسبه کنید.

حل: این عدد را می‌توان با استفاده از اتحاد جمع دوجمله‌ای یا همان اتحاد نوع اول به صورت زیر نوشت و محاسبه کرد:

$$ \large \begin {align*} ( 110 ) ^ 2 & = ( 100 + 10 ) ^ 2 = 100 ^ 2 + 2 ( 100 ) ( 10 ) + 10^ 2 \\ & = 10000+2000+ 100 = 12100 \end {align*} $$

مثال هشتم اتحاد نوع اول‌

اگر $$ x + y = 10$$ و $$ x y = 5 $$ باشد، حاصل $$ x ^ 2 + y ^ 2 $$ را به دست آورید.

حل: اتحاد نوع اول به‌صورت زیر است:

$$ \large ( x + y ) ^ 2 = x ^2 + 2 x y + y ^ 2 $$

طبق این رابطه، می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$ \large x ^ 2 + y ^ 2 = ( x + y ) ^ 2 – 2 x y $$

بنابراین، مقدار مورد نظر این‌گونه به‌دست می‌آید:

$$ \large x ^ 2 + y ^ 2 = ( 10) ^ 2 – 2 ( 5 ) = 100 -10 = 90 $$

مثال نهم اتحاد نوع اول‌‌

اگر $$ x + \frac 1 x = 5 $$ باشد، آنگاه مقدار عبارت $$ x ^ 4 + \frac {1} { x ^ 4 } $$ را به‌دست آورید.

حل: اتحاد نوع اول زیر را برای دو جمله $$ x $$ و $$ \frac 1 x $$ داریم:

$$ \large ( x + \frac 1 x ) ^ 2 = x ^ 2 + 2 ( x ) ( \frac 1 x ) + (\frac 1 x ) ^ 2 = x ^ 2 +2 + \frac 1 { x ^ 2 } = x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } + 2 $$

مقدار $$ x + \frac 1 x = 5 $$ را می‌دانیم و در تساوی بالا قرار می‌دهیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \large ( 5) ^ 2 = 25 = x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } + 2 $$

بنابراین، تساوی زیر را داریم:

$$ \large x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } = 23 $$

اکنون دو طرف تساوی بالا را به توان دو می‌رسانیم و می‌نویسیم:

$$ \large \left ( x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } = 23 \right ) ^ 2 \Rightarrow \left ( x ^ 2 + \frac 1 { x ^ 2 } \right )^ 2 = 23 ^ 2 $$

با به توان دو رساندن عبارت سمت چپ، داریم:

$$ \large (x ^ 2)^ 2 + 2 ( x ^ 2 ) ( \frac 1 { x ^ 2 } ) + ( \frac 1 { x ^ 2 } ) ^ 2 = 529 \\
\large \Rightarrow x ^ 4 + 2 + \frac 1 { x ^ 4 } = 529 \\
\large \Rightarrow x ^ 4 + \frac 1 { x ^ 4 } = 529 – 2 = 527 $$

مثال دهم اتحاد نوع اول‌

مقدار $$ 6 ^ 4 $$ را با استفاده از اتحاد نوع اول محاسبه کنید.

حل: این عبارت را می‌توان به‌شکل زیر نوشت:

$$ \large 6 ^ 4 = (( 3 + 3 ) ^ 2 ) ^ 2 $$

در واقع عبارت بالا این‌گونه است، که در آن، $$ a = 3 $$ و $$ b = 3 $$:

$$ \large (( a + b ) ^ 2 ) ^ 2 $$

با استفاده از اتحاد نوع اول، عبارت داخلی برابر است با

$$ \large ( 3+ 3) ^2 = 3 ^ 2 + 2 ( 3 ) ( 3 ) + 3 ^ 2 = 36 $$

بنابراین، داریم:

$$ \large 64 ^ 4 = 36 ^ 2 $$

باز هم می‌توانیم از اتحاد نوع اول استفاده کنیم و بنویسیم:

$$ \large \begin {align} 36 ^ 2 & = ( 30 + 6 ) ^ 2 = 3 0^ 2 + 2 ( 30 ) ( 6 ) + 6 ^ 2 \\ & = 900+ 360+ 36 \\ & = 1296
\end {align} $$

بنابراین، جواب این مثال $$ 1296 $$ است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی

آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزش‌های ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانش‌آموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثال‌های حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و… پرداخته شده است. کار با داده‌های آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش داده‌ها ارائه شده است.

جمع‌بندی

در این مثال، با اتحاد نوع اول آشنا شدیم. همچنین، اثبات آن را به دو روش بیان کردیم. در پایان نیز مثال‌های متنوعی را از کاربرد این اتحاد حل کردیم.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۱۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.