مشتق ln (x+۱) برابر با x+۱۱ است. ln، به منظور نمایش یک لگاریتم خاص مورد استفاده قرار میگیرد. این لگاریتم با عنوان لگاریتم طبیعی شناخته میشود. اگر مبنای لگاریتم را برابر با ثابت عددی e یا همان عدد اویلر (۲/۷۱۸۲۸)، قرار دهیم، لگاریتم طبیعی (log۲/۷۱۸۲۸(x)=ln(x)) به وجود میآید. مشتقگیری از لگاریتمهای طبیعی، قواعد مخصوص به خود را دارد. در این مقاله، روشهای گرفتن مشتق ln (x+۱) را به همراه حل چندین مثال و تمرین متنوع آموزش میدهیم. در انتها نیز به اثبات فرمول مشتق ln(x+۱) میپردازیم.
مشتق log چیست ؟
به منظور آشنایی با نحوه محاسبه مشتق ln(x+۱)، ابتدا باید با حالتهای مختلف مشتقگیری از توابع لگاریتمی، مخصوص لگاریتم طبیعی آشنا شوید. به این منظور، تابع لگاریتمی زیر را در نظر بگیرید:
loga[f(x)]
مشتق تابع لگاریتمی بالا، از رابطه زیر به دست میآید:
dxdloga[f(x)]=f(x)ln(a)f′(x)
به عنوان مثال، اگر f(x)=x باشد، مشتق تابع loga(x) برابر میشود با:
dxdloga(x)=xln(a)۱
مشتق ln
برای تعیین مشتق لگاریتم طبیعی (ln)، حالتهای مختلفی به وجود میآید. برای شروع، تابع زیر را در نظر بگیرید:
f(x)=ln(x)
تابع بالا، ln(x) را نمایش میدهد. در این حالت، مشتق f(x) برابر است با:
f′(x)=dxdln(x)
=dxdloge(x)
=xln(e)۱
=xloge(e)۱
=x۱
اگر x دارای یک ضریب ثابت عددی مانند c بود، نتیجه مشتق ln(cx) با مشتق بالا تفاوتی نمیکرد. به عبارت دیگر:
f′(x)=dxdln(cx)=x۱
تمرین ۱: تعیین مشتق ln cx
اگر c یک عدد ثابت باشد، اثبات کنید مشتق ln(cx) با مشتق ln(x) برابر است.
برای اثبات مشتق ln(cx) از ویژگی ضرب در لگاریتم استفاده میکنیم. بر اساس این ویژگی، لگاریتم حاصلضرب دو متغیر، با جمع لگاریتمهای هر یک از آن متغیرها برابر است. به عبارت دیگر:
ln(cx)=ln(c)+ln(x)
مشتق جمع دو عبارت، برابر با جمع مشتق هر یک از آن عبارتها است:
dxdln(cx)=dxdln(c)+dxdln(x)
حاصل عبارت ln(c)، یک عدد ثابت است. بنابراین، مشتق آن (dxdln(c)) برابر با صفر میشود:
dxdln(cx)=۰+dxdln(x)
dxdln(cx)=dxdln(x)
در نتیجه، مشتق ln(cx) با مشتق ln(x) برابری میکند.
مشتق ln (x+۱)
به منظور تعیین مشتق ln (x+۱)، به سراغ حالت کلی مشتقگیری از لگاریتم طبیعی میرویم. فرم کلی تابع لگاریتم طبیعی به صورت زیر نوشته میشود:
f(x)=ln[g(x)]
عبارت داخل لگاریتم (g(x))، تابعی از x است. در این حالت، مشتق ln از رابطه کلی زیر به دست میآید:
f′(x)=g(x)g′(x)
تا زمانی که g(x) برابر با صفر نبوده و امکان مشتقگیری از آن وجود داشته باشد، f′(x) دارای جواب موجه خواهد بود. اکنون، لگاریتم طبیعی ln (x+۱) را در نظر بگیرید. عبارت داخل این لگاریتم (x+۱)، تابعی از متغیر x است. این عبارت را برابر با g(x) قرار میدهیم:
f(x)=ln(x+۱)
g(x)=x+۱
مطابق با رابطه کلی مشتق ln داریم:
f′(x)=g(x)g′(x)
به این ترتیب، برای به دست آوردن مشتق ln(x+۱)، باید مشتق g(x) را به دست بیاوریم:
g′(x)=dxdg(x)
=dxd(x+۱)
=dxdx+dxd۱
=۱+۰
g′(x)=۱
اکنون، g(x)=x+۱ و g′(x)=۱ را درون رابطه مشتق ln (x+۱) قرار میدهیم:
f′(x)=x+۱۱
نکته: یکی از اشتباهات رایج بین دانشآموزان در هنگام مواجه با ln (x+۱) این است که تصور میکنند میتوانند آن را تجزیه کرده و به شکل حاصلجمع دو عبارت لگاریتمی (ln(x)+ln(۱)) دربیاورند. به خطر داشته باشید که این ویژگی در اینجا کاربرد ندارد و برای لگاریتم ضرب دو عبارت قابل اجرا است.
مثال ۱: محاسبه مشتق ln (x+c)
اگر c، یک ثابت عددی باشد، نسبت مشتق ln (x+c) به مشتق ln(x+۱) را به دست بیاورید.
تابع ln (x+c) شباهت زیادی به تابع ln (x+۱) دارد. البته در این جا، به جای عدد ۱، از ثابت عددی c استفاده شده است. برای به دست مشتق ln (x+c)، از فرمول کلی مشتق ln استفاده میکنیم:
f′(x)=g(x)g′(x)
در فرمول بالا، داریم:
g(x)=x+c
به دلیل ثابت بودن c، خواهیم داشت:
g′(x)=۱
g(x) و g′(x) را در رابطه مشتق قرار میدهیم:
f′(x)=x+c۱
میدانیم که مشتق ln (x+۱) برابر است با:
F′(x)=x+۱۱
در نتیجه، نسبت مشتق ln (x+c) به مشتق ln(x+۱) برابر خواهد بود با:
F′(x)f′(x)=x+۱۱x+c۱=x+cx+۱
مثال ۲: محاسبه مشتق ln (۲x+۵)
مشتق تابع مشتق ln (۲x+۵) را تعیین کنید.
برای تعیین مشتق ln (۲x+۵)، از فرمول کلی مشتق ln استفاده میکنیم:
f′(x)=g(x)g′(x)
برای این مثال، داریم:
g(x)=۲x+۵
مشتق این عبارت برابر است با:
g′(x)=۲
با جایگذاری g(x) و g′(x) در رابطه مشتق، به جواب زیر میرسیم:
f′(x)=۲x+۵۲
مثال ۳: محاسبه مشتق ln (x۲+x)
مشتق ln (x۲+x) را با کمک مشتق ln (x+۱) به دست بیاورید.
برای محاسبه مشتق ln (x۲+x)، دو روش وجود دارد. روش اول، استفاده از فرمول کلی مشتق ln است. روش دوم، بازنویسی عبارت ln(x۲+x) به صورت x(x+۱) و استفاده از خصوصیات لگاریتم است. بر اساس صورت سوال، روش دوم را در پیش میگیریم. به این ترتیب، داریم:
f(x)=ln(x۲+x)=ln[x(x+۱)]
با استفاده از قانون ضرب در لگاریتم، میتوانیم عبارت بالا را به صورت زیر باز کنیم:
f(x)=ln(x)+ln(x+۱)
مشتق تابع بالا برابر است با:
f′(x)=dxdln(x)+dxdln(x+۱)
میدانیم که:
dxdln(x)=x۱
و
dxdln(x+۱)=x+۱۱
در نتیجه:
f′(x)=x۱+x+۱۱
f′(x)=x(x+۱)x+۱+x
f′(x)=x۲+x۲x+۱
اثبات مشتق ln(x+۱)
اثبات مشتق ln (x+۱) با استفاده از قواعد مشتق زنجیرهای انجام میگیرد. در مطلب «مشتق ln – به زبان ساده + مثال و حل تمرین»، با استفاده از قضیه حد و پیوستگی اثبات کردیم که اگر f(x)=ln(x) باشد، مشتق آن برابر با عبارت زیر میشود:
f′(x)=Δx→۰limΔxf(x+Δx)−f(x)=x۱
فرم کلی تابع ln (x+۱)، به صورت ln[f(x)] است. برای اثبات مشتق ln[f(x)]، از قاعده مشتق زنجیرهای استفاده میکنیم. بر اساس این قاعده، تابع بیرونی را برابر با g(x) در نظر میگیریم:
g(x)=ln(x)
تابع درونی را نیز برابر با h(x) قرار میدهیم:
h(x)=f(x)
به این ترتیب داریم:
ln[f(x)]=g[h(x)]
بر اساس قواعد مشتق زنجیرهای، خواهیم داشت:
dxdg[h(x)]=g′[h(x)].h′(x)
اکنون، بر اساس دانستههای قبلی، عبارتهای سمت راست را به دست میآوریم:
g′(x)=dxdln(x)=x۱
↓
g′[h(x)]=h(x)۱=f(x)۱
و
h′(x)=f′(x)
در نتیجه:
dxdg[h(x)]=f(x)۱f′(x)
dxdln[f(x)]=f(x)f′(x)
به این ترتیب، اگر f(x)=x+۱ در نظر بگیریم، خواهیم داشت:
dxdln(x+۱)=(x+۱)dxd(x+۱)
dxdln(x+۱)=(x+۱)۱
مشتق معکوس ln (x+۱)
تابع معکوس ln (x+۱) از رابطه زیر به دست میآید:
f(x)=ln(x+۱)
به جای f(x)، متغیری مانند y را در نظر میگیریم:
y=ln(x+۱)
برای به دست آوردن معکوس تابع، جای x و y را عوض میکنیم:
x=ln(y+۱)
سپس، تابع را بر حسب y بازنویسی میکنیم. به این منظور، عبارتهای دو طرف رابطه را به عنوان توان e در نظر میگیریم:
ex=eln(y+۱)
به این ترتیب داریم:
ex=y+۱
y=ex−۱
در نتیجه، معکوس تابع f(x) به دست میآید:
f(x)−۱=ex−۱
تابع بالا، یک تابع نمایی است. مشتق e، به صورت زیر محاسبه میشود:
dxdex=ex
به این ترتیب، مشتق معکوس ln (x+۱) برابر است با:
dxd(ex−۱)=dxdex−dxd۱
dxd(ex−۱)=ex−۰
dxd(ex−۱)=ex
در نتیجه، مشتق معکوس ln (x+۱) برابر با ex است.
سوالات متداول در رابطه با مشتق ln (x+۱)
در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه مشتق ln(x+۱) به صورت خلاصه پاسخ میدهیم.
ln (x+۱) چه نوع تابعی است ؟
ln (x+۱)، یک تابع لگاریتمی (لگاریتم طبیعی) است.
فرم کلی تابع ln (x+۱) چگونه است ؟
فرم کلی تابع ln (x+۱)، به صورت f(x)=ln[g(x)] است.
فرمول مشتق ln (x+۱) چیست ؟
فرمول مشتق تابع f(x)=ln (x+۱) مطابق با فرم کلی آن و به صورت f(x)=g'(x)/g(x) نوشته میشود.
مشتق ln(x+۱) چیست ؟
مشتق ln (x+۱) برابر با کسر (x+۱)/۱ است.
معکوس ln (x+۱) چیست ؟
معکوس ln (x+۱) برابر با ex-۱ است.
مشتق معکوس ln (x+۱) چیست ؟
مشتق معکوس ln (x+۱) برابر با ex است.