مشتق ln(x+1) – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

۴۷۰۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۴ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۱ دقیقه
دانلود PDF مقاله
مشتق ln(x+1) – به زبان ساده + مثال و حل تمرینمشتق ln(x+1) – به زبان ساده + مثال و حل تمرین

مشتق ln (x+۱) برابر با ۱x+۱\frac { ۱ } { x + ۱ } است. ln، به منظور نمایش یک لگاریتم خاص مورد استفاده قرار می‌گیرد. این لگاریتم با عنوان لگاریتم طبیعی شناخته می‌شود. اگر مبنای لگاریتم را برابر با ثابت عددی e یا همان عدد اویلر (۲/۷۱۸۲۸)، قرار دهیم، لگاریتم طبیعی (log۲/۷۱۸۲۸(x)=ln(x))(\log _ { ۲/۷۱۸۲۸ } ( x ) = \ln ( x )) به وجود می‌آید. مشتق‌گیری از لگاریتم‌های طبیعی، قواعد مخصوص به خود را دارد. در این مقاله، روش‌های گرفتن مشتق ln (x+۱) را به همراه حل چندین مثال و تمرین متنوع آموزش می‌دهیم. در انتها نیز به اثبات فرمول مشتق ln(x+۱) می‌پردازیم.

997696

مشتق log چیست ؟

به منظور آشنایی با نحوه محاسبه مشتق ln(x+۱)، ابتدا باید با حالت‌های مختلف مشتق‌گیری از توابع لگاریتمی، مخصوص لگاریتم طبیعی آشنا شوید. به این منظور، تابع لگاریتمی زیر را در نظر بگیرید:

loga[f(x)]\log _ { a } [ f ( x ) ]

مشتق تابع لگاریتمی بالا، از رابطه زیر به دست می‌آید:

ddxloga[f(x)]=f(x)f(x)ln(a)\frac { d } { d x } \log _ a [ f ( x ) ] = \frac { f ' ( x ) } { f ( x ) \ln ( a ) }

به عنوان مثال، اگر f(x)=xf ( x ) = x باشد، مشتق تابع loga(x)\log _ { a } ( x ) برابر می‌شود با:

ddxloga(x)=۱xln(a)\frac { d } { d x } \log _ a ( x ) = \frac { ۱ } { x \ln ( a ) }

مشتق ln

برای تعیین مشتق لگاریتم طبیعی (ln)، حالت‌های مختلفی به وجود می‌آید. برای شروع، تابع زیر را در نظر بگیرید:

f(x)=ln(x)f ( x ) = \ln ( x )

تابع بالا، ln(x) را نمایش می‌‌دهد. در این حالت، مشتق f(x)f ( x ) برابر است با:

f(x)=ddxln(x)f ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \ln ( x )

=ddxloge(x)= \frac { d } { d x } \log _ e ( x )

=۱xln(e)= \frac { ۱ } { x \ln ( e ) }

=۱xloge(e)= \frac { ۱ } { x \log _ { e } ( e ) }

=۱x= \frac { ۱ } { x }

اگر x دارای یک ضریب ثابت عددی مانند c بود، نتیجه مشتق ln(cx) با مشتق بالا تفاوتی نمی‌کرد. به عبارت دیگر:

f(x)=ddxln(cx)=۱xf ^ { \prime } ( x ) = \frac { d } { d x } \ln ( c x ) = \frac { ۱ } { x }

تمرین ۱: تعیین مشتق ln cx

اگر c یک عدد ثابت باشد، اثبات کنید مشتق ln(cx)\ln ( c x ) با مشتق ln(x)\ln ( x ) برابر است.

برای اثبات مشتق ln(cx)\ln ( c x ) از ویژگی ضرب در لگاریتم استفاده می‌کنیم. بر اساس این ویژگی، لگاریتم حاصل‌ضرب دو متغیر، با جمع لگاریتم‌های هر یک از آن متغیرها برابر است. به عبارت دیگر:

ln(cx)=ln(c)+ln(x)\ln ( c x ) = \ln ( c ) + \ln ( x )

مشتق جمع دو عبارت، برابر با جمع مشتق هر یک از آن عبارت‌ها است:

ddxln(cx)=ddxln(c)+ddxln(x)\frac { d } { d x } \ln ( c x ) = \frac { d } { d x } \ln ( c ) + \frac { d } { d x }\ln ( x )

حاصل عبارت ln(c)\ln ( c )، یک عدد ثابت است. بنابراین، مشتق آن (ddxln(c)\frac { d } { d x } \ln ( c )) برابر با صفر می‌شود:

ddxln(cx)=۰+ddxln(x)\frac { d } { d x } \ln ( c x ) = ۰ + \frac { d } { d x }\ln ( x )

ddxln(cx)=ddxln(x)\frac { d } { d x } \ln ( c x ) = \frac { d } { d x }\ln ( x )

در نتیجه، مشتق ln(cx)\ln ( c x ) با مشتق ln(x)\ln ( x ) برابری می‌کند.

مشتق ln (x+۱)

به منظور تعیین مشتق ln (x+۱)، به سراغ حالت کلی مشتق‌گیری از لگاریتم طبیعی می‌رویم. فرم کلی تابع لگاریتم طبیعی به صورت زیر نوشته می‌شود:

f(x)=ln[g(x)]f ( x ) = \ln [ g ( x ) ]

عبارت داخل لگاریتم (g(x)g ( x ))، تابعی از x است. در این حالت، مشتق ln از رابطه کلی زیر به دست می‌‌آید:

f(x)=g(x)g(x)f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }

تا زمانی که g(x)g ( x ) برابر با صفر نبوده و امکان مشتق‌گیری از آن وجود داشته باشد، f(x)f ' ( x ) دارای جواب موجه خواهد بود. اکنون، لگاریتم طبیعی ln (x+۱) را در نظر بگیرید. عبارت داخل این لگاریتم (x+۱x + ۱)، تابعی از متغیر x است. این عبارت را برابر با g(x)g ( x ) قرار می‌دهیم:

f(x)=ln(x+۱)f ( x ) = \ln ( x + ۱ )

g(x)=x+۱g ( x ) = x + ۱

مطابق با رابطه کلی مشتق ln داریم:

f(x)=g(x)g(x)f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }

به این ترتیب، برای به دست آوردن مشتق ln(x+۱)، باید مشتق g(x)g ( x ) را به دست بیاوریم:

g(x)=ddxg(x)g ' ( x ) = \frac { d } { d x } g ( x )

=ddx(x+۱)= \frac { d } { d x } ( x + ۱ )

=ddxx+ddx۱= \frac { d } { d x } x + \frac { d } { d x } ۱

=۱+۰= ۱ + ۰

g(x)=۱g ' ( x ) = ۱

اکنون، g(x)=x+۱g ( x ) = x + ۱ و g(x)=۱g ' ( x ) = ۱ را درون رابطه مشتق ln (x+۱) قرار می‌دهیم:

f(x)=۱x+۱f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x + ۱ }

نکته: یکی از اشتباهات رایج بین دانش‌آموزان در هنگام مواجه با ln (x+۱) این است که تصور می‌کنند می‌توانند آن را تجزیه کرده و به شکل حاصل‌جمع دو عبارت لگاریتمی (ln(x)+ln(۱)\ln ( x ) + \ln ( ۱ )) دربیاورند. به خطر داشته باشید که این ویژگی در اینجا کاربرد ندارد و برای لگاریتم ضرب دو عبارت قابل اجرا است.

مثال ۱: محاسبه مشتق ln (x+c)

اگر c، یک ثابت عددی باشد، نسبت مشتق ln (x+c) به مشتق ln(x+۱) را به دست بیاورید.

تابع ln (x+c) شباهت زیادی به تابع ln (x+۱) دارد. البته در این جا، به جای عدد ۱، از ثابت عددی c استفاده شده است. برای به دست مشتق ln (x+c)، از فرمول کلی مشتق ln استفاده می‌کنیم:

f(x)=g(x)g(x)f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }

در فرمول بالا، داریم:

g(x)=x+cg ( x ) = x + c

به دلیل ثابت بودن c، خواهیم داشت:

g(x)=۱g ' ( x ) = ۱

g(x)g ( x ) و g(x)g ' ( x ) را در رابطه مشتق قرار می‌دهیم:

f(x)=۱x+cf ' ( x ) = \frac { ۱ } { x + c }

می‌دانیم که مشتق ln (x+۱) برابر است با:

F(x)=۱x+۱F ' ( x ) = \frac { ۱ } { x + ۱ }

در نتیجه، نسبت مشتق ln (x+c) به مشتق ln(x+۱) برابر خواهد بود با:

f(x)F(x)=۱x+c۱x+۱=x+۱x+c\frac { f ' ( x ) } { F ' ( x ) } = \frac { \frac { ۱ } { x + c } } { \frac { ۱ } { x + ۱ } } = \frac { x + ۱ } { x + c }

مثال ۲: محاسبه مشتق ln (۲x+۵)

مشتق تابع مشتق ln (۲x+۵) را تعیین کنید.

برای تعیین مشتق ln (۲x+۵)، از فرمول کلی مشتق ln استفاده می‌کنیم:

f(x)=g(x)g(x)f ' ( x ) = \frac { g ' ( x ) } { g ( x ) }

برای این مثال، داریم:

g(x)=۲x+۵g ( x ) = ۲x + ۵

مشتق این عبارت برابر است با:

g(x)=۲g ' ( x ) = ۲

با جایگذاری g(x)g ( x ) و g(x)g ' ( x ) در رابطه مشتق، به جواب زیر می‌رسیم:

f(x)=۲۲x+۵f ' ( x ) = \frac { ۲ } { ۲x + ۵ }

مثال ۳: محاسبه مشتق ln (x۲+x)

مشتق ln (x۲+x) را با کمک مشتق ln (x+۱) به دست بیاورید.

برای محاسبه مشتق ln (x۲+x)، دو روش وجود دارد. روش اول، استفاده از فرمول کلی مشتق ln است. روش دوم، بازنویسی عبارت ln(x۲+x)\ln ( x ^ ۲ + x ) به صورت x(x+۱)x ( x + ۱) و استفاده از خصوصیات لگاریتم است. بر اساس صورت سوال، روش دوم را در پیش می‌گیریم. به این ترتیب، داریم:

f(x)=ln(x۲+x)=ln[x(x+۱)]f ( x ) = \ln ( x ^ ۲ + x ) = \ln [ x ( x + ۱ ) ]

با استفاده از قانون ضرب در لگاریتم، می‌توانیم عبارت بالا را به صورت زیر باز کنیم:

f(x)=ln(x)+ln(x+۱)f ( x ) = \ln ( x ) + \ln ( x + ۱ )

مشتق تابع بالا برابر است با:

f(x)=ddxln(x)+ddxln(x+۱)f ' ( x ) = \frac { d } { d x } \ln ( x ) + \frac { d } { d x } \ln ( x + ۱ )

می‌دانیم که:

ddxln(x)=۱x\frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { ۱ } { x }

و

ddxln(x+۱)=۱x+۱\frac { d } { d x } \ln ( x + ۱ ) = \frac { ۱ } { x + ۱ }

در نتیجه:

f(x)=۱x+۱x+۱f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x } + \frac { ۱ } { x + ۱ }

f(x)=x+۱+xx(x+۱)f ' ( x ) = \frac { x + ۱ + x } { x ( x + ۱ ) }

f(x)=۲x+۱x۲+xf ' ( x ) = \frac { ۲ x + ۱ } { x ^ ۲ + x }

اثبات مشتق ln(x+۱)

اثبات مشتق ln (x+۱) با استفاده از قواعد مشتق زنجیره‌ای انجام می‌گیرد. در مطلب «مشتق ln – به زبان ساده + مثال و حل تمرین»، با استفاده از قضیه حد و پیوستگی اثبات کردیم که اگر f(x)=ln(x)f ( x ) = \ln ( x ) باشد، مشتق آن برابر با عبارت زیر می‌شود:

f(x)=limΔx۰f(x+Δx)f(x)Δx=۱xf ' ( x ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow ۰ } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x } = \frac { ۱ } { x }

فرم کلی تابع ln (x+۱)، به صورت ln[f(x)]\ln [ f ( x ) ] است. برای اثبات مشتق ln[f(x)]\ln [ f ( x ) ]، از قاعده مشتق زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم. بر اساس این قاعده، تابع بیرونی را برابر با g(x)g ( x ) در نظر می‌گیریم:

g(x)=ln(x)g ( x ) = \ln ( x )

تابع درونی را نیز برابر با h(x)h ( x ) قرار می‌دهیم:

h(x)=f(x)h ( x ) = f ( x )

به این ترتیب داریم:

ln[f(x)]=g[h(x)]\ln [ f ( x ) ] = g [ h ( x ) ]

بر اساس قواعد مشتق زنجیره‌ای، خواهیم داشت:

ddxg[h(x)]=g[h(x)].h(x)\frac { d } { d x } g [ h ( x ) ] = g ' [ h ( x ) ] . h ' ( x )

اکنون، بر اساس دانسته‌های قبلی، عبارت‌های سمت راست را به دست می‌آوریم:

g(x)=ddxln(x)=۱xg ' ( x ) = \frac { d } { d x } \ln ( x ) = \frac { ۱ } { x }

\downarrow

g[h(x)]=۱h(x)=۱f(x)g ' [ h ( x ) ] = \frac { ۱ } { h ( x ) }= \frac { ۱ } { f ( x ) }

و

h(x)=f(x)h ' ( x ) = f ' ( x )

در نتیجه:

ddxg[h(x)]=۱f(x)f(x)\frac { d } { d x } g [ h ( x ) ] = \frac { ۱ } { f ( x ) } f ' ( x )

ddxln[f(x)]=f(x)f(x)\frac { d } { d x } \ln [ f ( x ) ] = \frac { f ' ( x ) } { f ( x ) }

به این ترتیب، اگر f(x)=x+۱f ( x ) = x + ۱ در نظر بگیریم، خواهیم داشت:

ddxln(x+۱)=ddx(x+۱)(x+۱)\frac { d } { d x } \ln ( x + ۱ ) = \frac { \frac { d } { d x } ( x + ۱ ) } { ( x + ۱ ) }

ddxln(x+۱)=۱(x+۱)\frac { d } { d x } \ln ( x + ۱ ) = \frac { ۱ } { ( x + ۱ ) }

مشتق معکوس ln (x+۱)

تابع معکوس ln (x+۱) از رابطه زیر به دست می‌آید:

f(x)=ln(x+۱)f ( x ) = \ln ( x + ۱ )

به جای f(x)f ( x )، متغیری مانند y را در نظر می‌گیریم:

y=ln(x+۱)y = \ln ( x + ۱ )

برای به دست آوردن معکوس تابع، جای x و y را عوض می‌کنیم:

x=ln(y+۱)x = \ln ( y + ۱ )

سپس، تابع را بر حسب y بازنویسی می‌کنیم. به این منظور، عبارت‌های دو طرف رابطه را به عنوان توان e در نظر می‌گیریم:

ex=eln(y+۱)e ^ x = e ^ { \ln ( y + ۱ ) }

به این ترتیب داریم:

ex=y+۱e ^ x = y + ۱

y=ex۱y = e ^ x - ۱

در نتیجه، معکوس تابع f(x)f ( x ) به دست می‌آید:

f(x)۱=ex۱f ( x ) ^ { - ۱ } = e ^ x - ۱

تابع بالا، یک تابع نمایی است. مشتق e، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

ddxex=ex\frac { d } { dx } e ^ { x } = e ^ x

به این ترتیب، مشتق معکوس ln (x+۱) برابر است با:

ddx(ex۱)=ddxexddx۱\frac { d } { dx } ( e ^ x - ۱ ) = \frac { d } { dx } e ^ x - \frac { d } { dx } ۱

ddx(ex۱)=ex۰\frac { d } { dx } ( e ^ x - ۱ ) = e ^ x - ۰

ddx(ex۱)=ex\frac { d } { dx } ( e ^ x - ۱ ) = e ^ x

در نتیجه، مشتق معکوس ln (x+۱) برابر با ex است.

سوالات متداول در رابطه با مشتق ln (x+۱)

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه مشتق ln(x+۱) به صورت خلاصه پاسخ می‌دهیم.

ln (x+۱) چه نوع تابعی است ؟

ln (x+۱)، یک تابع لگاریتمی (لگاریتم طبیعی) است.

فرم کلی تابع ln (x+۱) چگونه است ؟

فرم کلی تابع ln (x+۱)، به صورت f(x)=ln[g(x)] است.

فرمول مشتق ln (x+۱) چیست ؟

فرمول مشتق تابع f(x)=ln (x+۱) مطابق با فرم کلی آن و به صورت f(x)=g'(x)/g(x) نوشته می‌شود.

مشتق ln(x+۱) چیست ؟

مشتق ln (x+۱) برابر با کسر (x+۱)/۱ است.

معکوس ln (x+۱) چیست ؟

معکوس ln (x+۱) برابر با ex-۱ است.

مشتق معکوس ln (x+۱) چیست ؟

مشتق معکوس ln (x+۱) برابر با ex است.

بر اساس رای ۱۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *