قضیه میلمن در مدار – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با برخی از روش‌های ساده‌سازی مدارهای الکتریکی مانند قضایای تونن و نورتون و تقسیم ولتاژ‌ آشنا شدیم. در این آموزش، درباره «قضیه میلمن» (Millman’s Theorem) بحث خواهیم کرد.

قضیه میلمن

قضیه میلمن برای ساده‌ کردن مدارهایی مشابه شکل ۱ به کار می‌رود که منبع ولتاژ‌ دارند.

هرچند از سایر قضایایی که در مدار وجود دارد می‌توان برای ساده‌سازی چنین مداری استفاده کرد، اما قضیه میلمن بسیار ساده‌تر بوده و مدار معادل را مستقیماً نتیجه می‌دهد.

در مدارهایی مانند مدار شکل ۱، منابع ولتاژ را می‌توان با یک منبع معادل، مطابق شکل ۲ جایگزین کرد.

برای پیدا کردن اندازه منبع ولتاژ معادل $$E _ {e q }$$ و مقاومت سری $$R _ { eq }$$، باید هر یک از منابع ولتاژ شکل ۱ را با استفاده از قضیه تبدیل منابع به منبع جریان معادلش تبدیل کرد. مقدار هر منبع جریان را می‌توان با استفاده از قانون اهم تعیین کرد (یعنی $$I _ 1 = E _ 1 / R _ 1$$، $$I _ 2 = E _ 2 / R _ 2$$ و...). پس از آنکه تبدیل منابع به پایان رسید، مدار به صورت شکل ۳ در خواهد آمد.

در مدار شکل ۳ می‌بینیم که همه منابع جریان جهت یکسانی دارند. واضح است که همیشه جهت منابع جریان با یکدیگر برابر نیست و جهت آن‌ها با توجه به پلاریته منبع ولتاژ متناظر تعیین می‌شود.

اکنون می‌توانیم $$n$$ منبع جریان را با یک منبع جریان جایگزین کنیم که مقدار آن برابر است با:

$$\large I _ { e q } = \sum _ {x = 0 } ^ n I _ x = I _ 1 + I _ 2 + I _ 3 + \cdots + I _ n \; \; \; \; \; \; (1)$$

و می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:

$$\large I _ { e q } = \frac { E _ 1 } { R _ 1 } + \frac { E _ 2 } { R _ 2 } +\frac { E _ 3 } { R _ 3 } + \cdots + \frac { E _ n } { R _ n } \; \; \; \; \; (2)$$

اگر جهت هر منبع جریان مخالف جهت نشان داده شده باشد، اندازه آن منبع در فرمول‌های بالا به جای به‌علاوه، علامت منها خواهد داشت. از شکل ۳ می‌توان مشاهده کرد که حذف منابع جریان منجر به مقاومت معادل زیر خواهد شد:

$$\large R _ { e q } = R _ 1 || R _ 2 || R _ 3 || \cdots || R _ n \; \; \; \; \; (3)$$

که به صورت زیر تعیین می‌شود:

$$\large R _ { e q } = \frac { 1 } {G _ { e q } } = \frac { 1 } {\frac {1 } { R _ 1 } + \frac {1 } { R _ 2 } + \frac {1 } { R _ 3 } + \cdots + \frac {1 } { R _ n } } \; \; \; \; \; (4)$$

فرمول کلی ولتاژ معادل، برابر است با:

$$\large E _ { e q} = I _ {e q} R _ { e q } = \frac { 1 } {G _ { e q } } = \frac { \frac {E _ 1 } { R _ 1 } + \frac {E _ 2} { R _ 2 } + \frac { E _ 3 } { R _ 3 } + \cdots + \frac { E _ n } { R _ n } } {\frac {1 } { R _ 1 } + \frac {1 } { R _ 2 } + \frac {1 } { R _ 3 } + \cdots + \frac {1 } { R _ n } } \; \; \; \; \; (5)$$

مثال

از قضیه میلمن برای ساده کردن مدار شکل ۴ به گونه‌ای استفاده می‌کنیم که فقط یک منبع داشته باشیم.

فیلم آموزش مدارهای الکتریکی ۱ – مرور و حل تست در فرادرس

کلیک کنید

از مدار ساده شده برای تعیین جریان مقاومت بار $$R _ L$$‌ کمک می‌گیریم.

حل: با استفاده از معادله (۵) اندازه منبع ولتاژ را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} V _ { a b } = E _ { e q} & = \frac { \frac { - 96 \, \text{V} } { 240 \, \Omega} + \frac {40 \, \text{V}} { 200 \, \Omega } + \frac { - 80 \, \text{V} } { 800 \, \Omega } } {\frac { 1 } { 240 \, \Omega} + \frac {1} { 200 \, \Omega } + \frac { 1 } { 800 \, \Omega }} \\ V _ {ab} & = \frac { - 0.300 } {10.42 \; \text{mS}} = -28.8 \; \text{V} \end {align*}$$

مقاومت معادل برابر است با:

$$\large V _ { a b } = E _ { e q} = \frac { 1} {\frac { 1 } { 240 \, \Omega} + \frac {1} { 200 \, \Omega } + \frac { 1 } { 800 \, \Omega }} = \frac { 1 } { 10.42 \, \text{mS} } = 96 \; \Omega$$

مدار معادل با استفاده از قضیه میلمن در شکل ۵ نشان داده شده است. لازم به ذکر است که پلاریته منبع ولتاژ‌ معادل، مخالف پلاریته مفروض اولیه است. این به آن دلیل است که اندازه منابع ولتاژ $$E _ 1$$ و $$E _ 3$$ به گونه‌ای است که بر پلاریته و اندازه منبع $$E _ 2$$ غلبه می‌کنند.

با توجه به مدار شکل ۵، به سادگی می‌توان جریان گذرنده از مقاومت بار را محاسبه کرد:

$$\large I _ L = \frac { 28.8 \, \text{V} } {96 \, \Omega + 192 \, \Omega } = 0.100 \, \text{A} = 100 \, \text{mA}$$

جهت این جریان به سمت بالا است.

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• تحلیل گره — به زبان ساده
• تحلیل مش — به زبان ساده
• قوانین KVL و KCL — به زبان ساده

^^