فرمول محیط مثلث چیست؟ انواع فرمول ها + حل مثال های متنوع

فرمول محیط مثلث به صورت P = a+b+c نوشته می‌شود. P، محیط و عبارت‌های دیگر، اندازه ضلع‌های دیگر را نشان می‌دهند. البته برای هر یک از انواع مثلث نظیر مثلث متساوی الاضلاع، مثلث متساوی الساقین و مثلث قائم الزاویه، فرمول‌های مخصوص محاسبه محیط وجود دارند. در این مطلب، فرمول محیط مثلث های مختلف را به زبان ساده و به همراه حل چندین مثال متنوع آموزش می‌دهیم.

محیط مثلث چیست ؟

محیط مثلث، مجموع اندازه ضلع‌های تشکیل دهنده آن است. در ریاضیات، به اندازه دور هر شکل، محیط آن شکل می‌گویند.

به عنوان مثال، اگر یک مثلث مانند مثلث (الف ب پ) رسم کنید. سپس، قلم خود را بر روی یک نقطه از مثلث قرار داده و آن را در یک جهت حرکت دهید.

به حرکت قلم بر روی مثلث ادامه دهید تا دوباره به نقطه شروع بازگردید. با این کار، قلم شما به اندازه محیط مثلث حرکت کرده است.

محیط مثلث چگونه بدست می آید ؟

محیط مثلث، از جمع اندازه ضلع‌های مثلث به دست می‌آید. ضلع‌ها، پاره‌خط‌های تشکیل دهنده مثلث هستند. به عنوان مثال، بار دیگر مثلث (الف ب پ) را در نظر بگیرید.

بر اساس تعریف، محیط مثلث بالا برابر است با:

(پ الف) + (ب پ) + (الف ب) = محیط مثلث

فرمول محیط مثلث چیست ؟

مثلث ABC را در نظر بگیرید. این مثلث از ضلع‌های BC ،AB و AC تشکیل می‌شود.

اندازه ضلع AB را با حرف c، اندازه ضلع BC را با حرف a و اندازه ضلع AC را با حرف b مشخص می‌کنیم.

مطابق با تعریف، محیط مثلث از جمع اندازه ضلع‌های آن به دست می‌آید. این تعریف را می‌توان به صورت فرمول زیر نوشت:

$$P = a + b + c$$

• P: محیط مثلث ABC
• a: اندازه ضلع BC
• b: اندازه ضلع AC
• c: اندازه ضلع AB

رابطه بالا، فرمول کلی محیط مثلث است. در صورت داشتن اندازه هر سه ضلع، اندازه محیط تمام مثلث بر اساس این فرمول محاسبه می‌شود. البته مثلث‌های خاص نظیر مثلث متساوی الاضلاع، مثلث متساوی الساقین و مثلث قائم الزاویه، فرمول مخصوص به خود را دارند. در ادامه به معرفی فرمول محیط این مثلث‌ها نیز خواهیم پرداخت.

مثال 1: محاسبه محیط مثلث مختلف الاضلاع

تصویر زیر، یک مثلث مختلف الاضلاع را نمایش می‌دهد. در این نوع مثلث، اندازه تمام ضلع‌ها با یکدیگر تفاوت دارد. محیط مثلث مختلف الاضلاع را با استفاده از فرمول محیط مثلث حساب کنید.

فرمول محیط مثلث مختلف الاضلاع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$P = a + b + c$$

• P: محیط مثلث مختلف الاضلاع
• a: اندازه ضلع اول برابر 7
• b: اندازه ضلع دوم برابر 3
• c: اندازه ضلع سوم برابر 5

اندازه ضلع‌ها را درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$P = 7 + 5 + 3$$

$$P = 12 + 3$$

$$P = 15$$

محیط مثلث برابر 15 است.

مثال 2: بدست آوردن اندازه ضلع سوم مثلث متساوی الساقین

تصویر زیر، یک مثلث متساوی الساقین و اندازه دو ضلع آن را نمایش می‌دهد. اگر محیط این مثلث برابر 25 سانتی‌متر باشد، اندازه ضلع سوم آن چند سانتی‌متر است؟

فرمول محیط مثلث (تمام انواع مثلث)، برابر است با:

$$P = a + b + c$$

• P: محیط مثلث برابر 25
• a: اندازه ضلع اول برابر 10
• b: اندازه ضلع دوم برابر 10
• c: اندازه ضلع سوم

اگر اندازه‌های معلوم را در فرمول بالا قرار دهیم و آن را بر حسب c حل کنیم، اندازه ضلع سوم مثلث متساوی الساقین به دست می‌آید:

$$25 = 10 + 10 + c$$

$$25 = 20 + c$$

$$c = 25 - 20$$

$$c = 5$$

اندازه ضلع سوم مثلث برابر 5 سانتی‌متر است.

فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الاضلاع، مثلثی است که ضلع‌های آن با هم برابرند.

در مثلث متساوی الاضلاع، اندازه ضلع‌ها با اندازه محیط متناسب است. در حالت کلی، رابطه محیط مثلث به صورت زیر نوشته می‌شود:

ضلع سوم + ضلع دوم + ضلع اول = محیط مثلث

به دلیل برابر بودن اندازه ضلع‌ها در مثلث متساوی الاضلاع، رابط محیط به شکل زیر تغییر می‌کند:

ضلع اول + ضلع اول + ضلع اول = محیط مثلث متساوی الاضلاع

اندازه‌ی یک ضلع × 3 = محیط مثلث متساوی الاضلاع

به عبارت دیگر، محیط مثلث متساوی الاضلاع، سه برابر اندازه یک ضلع آن است. اگر اندازه یک ضلع را برابر a در نظر بگیریم، فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع برابر خواهد بود با:

$$P = 3a$$

• P: محیط مثلث متساوی الاضلاع
• a: اندازه یک ضلع مثلث

به این ترتیب، با داشتن اندازه یک ضلع، محیط مثلث و با داشتن محیط مثلث اندازه هر یک از ضلع‌ها به دست می‌آید.

مثال 3: مقایسه اندازه محیط مثلث های متساوی الاضلاع

محیط هر یک از مثلث‌های متساوی الاضلاع زیر را به دست بیاورید. اندازه محیط‌ها را با هم مقایسه کنید. آیا رابطه‌ای بین محیط‌های مثلث‌های متساوی الاضلاع وجود دارد؟

هر سه مثلث بالا، متساوی الاضلاع هستند. محاسبات را نوشتن فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع برای مثلث ۱ شروع می‌کنیم:

$$P_1 = 3a_1$$

• P₁: محیط مثلث متساوی الاضلاع 1
• a₁: اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع 1 برابر 5

$$P_1 = 3 \times 5$$

$$P_1 = 15$$

فرمول محیط مثلث ۲ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$P_2 = 3a_2$$

• P₂: محیط مثلث متساوی الاضلاع 2
• a₂: اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع 2 برابر 4

$$P_2 = 3 \times 4$$

$$P_2 = 12$$

فرمول محیط مثلث ۳ نیز برابر است با:

$$P_3 = 3a_3$$

• P₂: محیط مثلث متساوی الاضلاع 3
• a₂: اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع 3 برابر 2

$$P_3 = 3 \times 2$$

$$P_3 = 6$$

برای مقایسه مثلث‌ها، نسبت محیط آن‌ها را تعیین می‌کنیم:

$$\frac {P_1} {P_2} = \frac {15} {12} = \frac {5} {4}$$

$$\frac {P_1} {P_3} = \frac {15} {6} = \frac {5} {2}$$

$$\frac {P_2} {P_3} = \frac {12} {6} = 2$$

نسب اندازه ضلع‌ها را هم می‌نویسیم:

$$\frac {a_1} {a_2} = \frac {5} {4}$$

$$\frac {a_1} {a_3} = \frac {5} {2}$$

$$\frac {a_2} {a_3} = \frac {4} {2} = 2$$

همان طور که مشاهده می‌کنید، نسب محیط مثلث‌های متساوی الاضلاع، همان نسبت اندازه ضلع‌های آن‌ها است.

مثال 4: بدست آوردن اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع

محیط یک مثلث متساوی الاضلاع برابر 27 سانتی‌متر است. اندازه ضلع‌های این مثلث را تعیین کنید.

به منظور به دست آوردن اندازه ضلع‌های این مثلث، فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع را می‌نویسیم:

$$P = 3a$$

• P: محیط مثلث متساوی الاضلاع برابر 27 سانتی‌متر
• a: اندازه یک ضلع مثلث

با قرار دادن اندازه محیط در فرمول بالا و حل کردن آن بر اساس a، اندازه ضلع‌ها به دست می‌آید:

$$27 = 3a$$

$$a = \frac {27} {3}$$

$$a = 9$$

اندازه هر ضلع مثلث برابر 9 سانتی‌متر است.

فرمول محیط مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین، مثلثی با دو ضلع برابر است. به ضلع‌های برابر این مثلث، «ساق» و به ضلع سوم آن، «قاعده» می‌گویند.

بر اساس تعریف، محیط مثلث متساوی الساقین از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

ضلع سوم + ضلع دوم + ضلع اول = محیط مثلث

ساق + قاعده + ساق = محیط مثلث متساوی الساقین

اگر اندازه ساق‌ها را برابر a و اندازه قاعده را بر b، در نظر بگیریم، فرمول محیط مثلث متساوی الساقین برابر خواهد بود با:

$$P = a + b + a$$

• P: محیط مثلث متساوی الساقین
• a: اندازه ساق
• b: اندازه قاعده

فرمول بالا را می‌توانیم به صورت زیر ساده‌نویسی کنیم:

$$P = 2a + b$$

مثال 5: بدست آوردن اندازه هر ساق مثلث متساوی الساقین

محیط مثلث نمایش داده شده در تصویر زیر برابر 40 سانتی‌متر است. اندازه هر ساق آن را تعیین کنید.

فرمول محیط مثلث متساوی الساقین برابر است با:

$$P = 2a + b$$

• P: محیط مثلث متساوی الساقین برابر 40
• a: اندازه ساق
• b: اندازه قاعده برابر 14

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم آن را بر حسب a (اندازه ساق) حل می‌کنیم:

$$40 = 2a + 14$$

$$2a = 40 - 14$$

$$2a = 26$$

$$a = \frac {26} {2}$$

$$a = 13$$

اندازه هر ساق مثلث متساوی الساقین برابر 13 است.

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم الزاویه، مثلثی با یک زاویه راست یا قائمه (90 درجه) است. ضلع‌های مجاور زاویه راست با عنوان «ساق» و ضلع مقابل آن زاویه با عنوان «وتر» شناخته می‌شود.

مثلث‌های قائم الزاویه، می‌توانند مختلف الاضلاع یا متساوی الساقین باشند. در صورت متفاوت بودن اندازه ضلع‌ها، فرمول محیط مثلث قائم الزاویه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$P = a + b + c$$

• P: محیط مثلث قائم الزاویه
• a: اندازه یکی از ساق‌‌ها
• b: اندازه ساق دیگر
• c: اندازه وتر

مثلث قائم الزاویه از قضیه فیثاغورس پیروی می‌کند. مطابق با این قضیه، رابطه زیر بین اندازه ساق‌ها و وتر برقرار است:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

• c: وتر
• a: یکی از ساق‌ها
• b: ساق دیگر

به عبارت دیگر، با داشتن اندازه دو ضلع مثلث قائم الزاویه، امکان محاسبه اندازه ضلع سوم و محیط فراهم می‌شود.

مثال 6:‌ محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه با دو ضلع

محیط مثلث قائم الزاویه زیر را حساب کنید.

در مثلث قائم الزاویه بالا، اندازه وتر و یکی از ساق‌ها داده شده است. به منظور تعیین محیط، به اندازه هر سه ضلع نیاز داریم. از این‌رو، با نوشتن قضیه فیثاغورس، ساق دیگر مثلث را تعیین می‌کنیم:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

• c: وتر برابر 10
• b: یکی از ساق‌ها برابر 6
• a: ساق دیگر

$$10^2 = a^2 + 6^2$$

$$100 = a^2 + 64$$

$$a^2 = 100 - 36$$

$$a^2 = 64$$

$$a = \sqrt {64}$$

$$a = 8$$

اندازه ساق دیگر مثلث برابر 8 است. به این ترتیب، اکنون می‌توانیم فرمول محیط مثلث را بنویسیم:

$$P = a + b + c$$

• P: محیط مثلث قائم الزاویه
• a: اندازه یکی از ساق‌‌ها برابر 8
• b: اندازه ساق دیگر برابر 6
• c: اندازه وتر برابر 10

$$P = 8 + 6 + 10$$

$$P = 24$$

محیط مثلث قائم الزاویه برابر 24 است.

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه با دو ساق

با کمک قضیه فیثاغورس، فرمول محیط مثلث قائم الزاویه با دو ساق به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$P = a + b + \sqrt { a^2 + b^2}$$

• P: محیط مثلث قائم الزاویه
• a: اندازه یکی از ساق‌ها
• b: اندازه ساق دیگر

اندازه وتر (c)، مطابق با قضیه فیثاغورس در فرمول بالا جایگذاری شده است.

مثال 7: محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه با دو ساق

اندازه ساق‌های یک مثلث قائم الزاویه برابر 12 و 5 است. محیط این مثلث را محاسبه کنید.

مطابق با فرمول محیط مثلث قائم الزاویه با دو ساق، داریم:

$$P = a + b + \sqrt { a^2 + b^2}$$

• P: محیط مثلث قائم الزاویه
• a: اندازه یکی از ساق‌ها برابر 12
• b: اندازه ساق دیگر برابر 5

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا جایگذاری می‌کنیم:

$$P = 12 + 5 + \sqrt { 12^2 + 5^2}$$

$$P = 17 + \sqrt { 144 + 25}$$

$$P = 17 + \sqrt { 169}$$

$$P = 17 + 13$$

$$P = 40$$

محیط مثلث برابر 40 سانتی‌متر است.

محیط مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین

محیط مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، یکی از حالت‌های خاص مثلث قائم الزاویه است که در آن، ساق‌ها با هم برابرند.

به دلیل برابر بودن اندازه ساق‌ها، شکل فرمول محیط مثلث ساده‌تر می‌شود. فرمول محیط مثلث متساوی الساقین برابر بود با:

$$P = 2a + b$$

اگر مثلث متساوی الساقین، قائم الزاویه باشد، عبارت b در فرمول بالا، وتر مثلث را نشان می‌دهد. به این ترتیب، با کمک قضیه فیثاغورس می‌توانیم اندازه وتر را برحسب اندازه ساق‌ها در فرمول بالا جایگذاری کنیم. در نهایت، به فرمول محیط مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین بر اساس اندازه ساق می‌رسیم:

$$P = 2a + \sqrt {a^2+a^2}$$

$$P = 2a + \sqrt {2a^2}$$

$$P = 2a + a\sqrt {2}$$

این فرمول بر اساس اندازه وتر نیز قابل بازنویسی است. فرمول محیط مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین بر اساس اندازه وتر به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$P = c \sqrt {2} + c$$

مثال 8: محاسبه محیط مثلث قائم الزاویه با وتر

اندازه وتر یک مثلث قائم الزاویه برابر 15 متر است. اگر این مثلث دارای ساق‌های هم‌اندازه باشد، محیط آن چقدر خواهد بود؟ (رادیکال 2 را برابر 1/4 در نظر بگیرید.)

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین با وتر برابر است با:

$$P = c \sqrt {2} + c$$

• P:  محیط مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین
• c: اندازه وتر برابر 15 متر

$$P = 15 \sqrt {2} + 15$$

$$P = (15 \times {1.4}) + 15$$

$$P = (21) + 15$$

$$P = 36$$

محیط مثلث برابر 36 متر است.

سوالات متداول در رابطه فرمول محیط مثلث

در این بخش، به برخی از سوالات متداول در رابطه محیط مثلث و فرمول‌های مورد استفاده برای محاسبه محیط انواع مثلث به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

فرمول محیط مثلث با عبارت جبری چیست ؟

رابطه ریاضی یا فرمول محیط مثلث با عبارت جبری به صورت P=a+b+c نوشته می‌شود. P، اندازه محیط و عبارت‌های دیگر، اندازه هر یک از ضلع‌های مثلث را نمایش می‌دهند.

فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع چیست ؟

فرمول ریاضی یا عبارت جبری محیط مثلث متساوی الاضلاع، به صورت P=3×a نوشته می‌شود. a، اندازه یک ضلع مثلث را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط مثلث متساوی الساقین چیست ؟

فرمول ریاضی یا عبارت جبری محیط مثلث متساوی الاضلاع، به صورت P=2a+b نوشته می‌شود. a، اندازه ساق و b، اندازه قاعده را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه با دو ساق چیست؟

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه با دو ساق، به صورت P=a+b+√(a2+b2) نوشته می‌شود. a، اندازه یکی از ساق‌ها و b، اندازه ساق دیگر را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه با یک ساق چیست؟

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، P=2a+a√2 است. a، اندازه ساق را نمایش می‌دهد.

فرمول محیط مثلث قائم الزاویه با وتر چیست؟

فرمول محیط مثلث متساوی قائم الزاویه متساوی الساقین با وتر به صورت P=c√2+c نوشته می‌شود. c، اندازه وتر را نشان می‌دهد.