ضرایب لاگرانژ – به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به نحوه یافتن ماکزیمم و مینیمم یک تابع را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم تا ماکزیمم یا مینیمم یک تابع را تحت یک قید خاص بدست آوریم. برای انجام این کار از روش ضرایب لاگرانژ استفاده می‌کنیم.

ضرایب لاگرانژ

هدف ما یافتن ماکزیمم یا مینیمم تابع $$f \left ( { x , y , z } \right)$$ تحت قید $$g\left( {x,y,z} \right) = k$$ است. برای نمونه فرض کنید می‌خواهیم با فرض این‌که مساحت جانبی یک معکب مستطیل را داریم، بیشترین حجم ممکن را بدست آوریم.

برای بدست آوردن ماکزیمم یا مینیمم تابع $$f \left ( { x , y , z } \right)$$ که تحت قید $$g\left( {x,y,z} \right) = k$$ قرار گرفته باید مراحل زیر را انجام دهید:

1. دو سیستم معادله‌ای زیر را تشکیل دهید.

$$\large \begin {align*} \nabla f \left( { x , y , z } \right ) & = \lambda \, \, \nabla g \left( { x , y , z } \right ) \\ g \left ( { x , y , z } \right ) & = k \end {align*}$$

2. مقادیر y ،x و z بدست آمده از قدم اول را در $$f \left ( { x , y , z } \right)$$ قرار داده و ماکزیمم و مینیمم مقادیر f را بدست آورید.

در روابط بالا به $$\lambda$$ ضریب لاگرانژ گفته می‌شود. شاید قدم‌های ارائه شده در بالا برای شما گیج کننده باشند، اما در ادامه مثال‌هایی ارائه شده که می‌تواند در درک موضوع بسیار کمک‌کننده باشد. توجه داشته باشید که دو رابطه ارائه شده در قدم اول، نشان دهنده ۴ معادله است. با باز کردن رابطه مربوط به گرادیان، داریم:

$$\large \left \langle { { f _ x } , { f _ y } , { f _ z } } \right \rangle = \lambda \left \langle { { g_ x } , { g _ y } , { g _ z } } \right \rangle = \left \langle { \lambda { g _ x } , \lambda { g _ y } , \lambda { g _ z } } \right \rangle$$

برای برقراری رابطه فوق، تمامی مولفه‌های دو سمت رابطه، باید با یکدیگر مساوی باشند. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large { f _ x } = \lambda { g _ x } \hspace {0.25in} { f _ y } = \lambda { g _ y} \hspace {0.25in} { f _ z } = \lambda {g_z}$$

سه رابطه در بالا بدست آمد. این روابط به همراه رابطه $$g \left ( { x , y , z } \right ) = c$$ ۴ معادله را تشکیل می‌دهند که با حل آن‌ها y ،x و z و $$\lambda$$ بدست می‌آیند. توجه داشته باشید در حالتی که با تابعی دو متغیره کار می‌کنیم، تعداد مجهولات ۳ مورد خواهد بود.

جهت توضیح فیزیکی معادلات فوق، تابع $$f \left ( { x , y } \right ) = 8 { x ^ 2 } - 2 y$$ را در نظر بگیرید. فرض کنید می‌خواهیم مقادیر ماکزیمم و مینیمم این تابع را در حالتی بدست آوریم که نقاط بدست آمده، روی دایره $${ x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 1$$ قرار داشته باشند.

به منظور توضیح مفهوم سوال در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

همان‌طور که می‌بینید تابع $$f ( x , y ) =k$$ به ازای kهای مختلف ترسیم شده است. حال نقطه (x,y) باید به نحوی یافته شود که k بیشترین یا کمترین مقدار بوده و تابع $$f ( x , y ) =k$$ با $${ x ^ 2 } + { y ^ 2 } = 1$$ برخورد داشته باشد. در تصویر فوق مینیمم مقدار k که البته با g نیز برخورد دارد، نموداری است که با رنگ قرمز نشان داده شده است. x,y معادل با نقطه برخورد، نشان دهنده مینیمم مقدار k است. البته از روی شکل می‌توان تشخیص داد که نقطه مذکور برابر با (0,1) است. با جایگذاری این مقدار در تابع f مقدار مینیمم آن برابر می‌شود با:

$$\large f \left ( { x , y } \right ) = 8 { x ^ 2 } - 2 y \Rightarrow f ( 0 , 1 ) = -2$$

مثال ۱

ابعاد جعبه‌ای با بیشترین حجم را با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ بیابید. هم‌چنین فرض کنید مساحت جانبی آن نیز برابر با $$6 4 \ c m ^ 2$$ است.

ما به دنبال بیشترین حجم هستیم. بنابراین هدف ماکزیمم کردن تابع زیر است.

$$\large f \left ( { x , y , z } \right ) = x y z$$

از طرفی می‌دانیم که مساحت سطح جانبی مکعب برابر با عدد ثابت ۶۴ است. بنابراین مساحت همان قید بوده که می‌توان آن را به صورت زیر بیان کرد:

$$\large 2 x y + 2 x z + 2 y z = 6 4 \hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace {0.5in} x y + x z + y z = 3 2$$

بنابراین تابع g نیز به صورت زیر است.

$$\large g ( x , y , z ) = x y + x z + y z = 32$$

تابع $$f \left( { x ,y , z } \right ) = x y z$$ به خودی خود دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست. در حقیقت با طی کردن مسیر g باید مقادیر x,y,z به نحوی تعیین شوند که مقدار f ماکزیمم شود. با نوشتن روابط $$\large \nabla f \left( {x,y,z} \right) = \lambda \nabla g \left( {x,y,z} \right)$$ و $$\large g \left ( {x,y,z} \right) = k$$ داریم:

$$\large \begin {equation} y z = \lambda \left ( { y + z } \right ) \hspace {0.75in} \left ( { { f _ x } = \lambda { g _ x } } \right ) \end {equation}$$
معادله ۱

$$\large \begin {equation} x z = \lambda \left ( { x + z } \right ) \hspace {0.75in} \left ( { { f _ y } = \lambda { g _ y } } \right ) \end {equation}$$
معادله ۲

$$\large \begin {equation} x y = \lambda \left ( { x + y } \right ) \hspace {0.75in} \left ( { { f _ z } = \lambda { g _ z } } \right ) \end {equation}$$
معادله ۳

$$\large \begin {equation} x y + x z + y z = 3 2 \hspace {0.75in} \left ( { g \left ( { x , y , z } \right ) = 32 } \right ) \end {equation}$$
معادله ۴

راه‌های بسیاری به منظور حل معادلات فوق وجود دارد. در ابتدا معادله ۱ را در x، معادله ۲ را در y و معادله ۳ را در z ضرب می‌کنیم.

 $$\large \begin {equation} x y z = \lambda x \left( { y + z } \right ) \end {equation}$$
معادله ۵

$$\large \begin {equation} x y z = \lambda y \left ( { x + z } \right) \end {equation}$$
معادله ۶

$$\large \begin {equation} x y z = \lambda z \left ( { x + y } \right ) \end {equation}$$
معادله ۷

با برابر قرار دادن معادله‌های ۵ و ۶ داریم:

$$ \large \begin {align*} \lambda x \left ( { y + z } \right ) & = \lambda y \left ( { x + z } \right ) \\ \lambda \left ( { x y + x z } \right ) - \lambda \left ( { y x + y z } \right ) &= 0 \\ \lambda \left ( { x z - y z } \right ) & = 0 \hspace {0.5in} \Rightarrow \hspace {0.5in} \lambda = 0 \, \, \, \, \, \,{ \mbox {or}} \, \, \, \, \, x z = y z \end {align*} $$