درصد فراوانی ایزوتوپ چیست؟ – به زبان ساده + فرمول و نمونه سوال

درصد فراوانی ایزوتوپ چیست ؟

درصد فراوانی ایزوتوپ به درصدی از اتم با میزان مشخصی از جرم اتمی گفته می‌شود که در طبیعت وجود دارند. ایزوتوپ‌های یک عنصر به میزان یکسان وجود ندارند. برای مثال جیوه ۷ ایزوتوپ دارد که ایزوتوپ Hg-۲۰۲ بیشترین (۲۹٫۸۰٪) و ایزوتوپ Hg-۱۹۶ کمترین درصد فراوانی ایزوتوپ (۰٫۱۴۶٪) را در میان این هفت ایزوتوپ دارند.

ایزوتوپ چیست ؟

ایزوتوپ از واژه یونانی «Iso» به معنی یکسان و Tope به معنی محل گرفته شده است. به اتم‌هایی که تعداد پروتون یکسان و تعداد نوترون متفاوتی دارند، ایزوتوپ گفته می‌شود که دو زیر گروه دارد.

• ایزوتوپ پایدار
• ایزوتوپ ناپایدار

نقش نوترون در اتم چیست ؟

عدد جرمی و نماد ایزوتوپی

فراوانی نسبی ایزوتوپ و جرم اتمی میانگین

اما با محاسبه جرم اتمی میانگین دو ایزوتوپ کلر این سوال پیش می‌آید که چرا جرم اتمی میانگین کلر (۳۵٫۴۵‎ u) با جرم اتمی میانگین ایزوتوپ‌های آن (۳۵٫۹۷) یکسان نمی‌شود؟ یعنی وقتی اعداد ۳۴٫۹۷ و ۳۶٫۹۷ را با هم جمع می‌کنیم و تقسیم بر ۲ می‌کنیم عدد ۳۵٫۹۷ بدست می‌آید که با ۳۵٫۴۵‎ نوشته شده در جدول تناوبی متفاوت است.

این تفاوت به دلیل اختلاف فراوانی نسبی این دو ایزوتوپ در طبیعت است. به این معنی که برخی از ایزوتوپ‌ها بیشتر و برخی کمتر در طبیعت وجود دارند. برای مثال در عنصر کلر، ایزوتوپ کلر-۳۵ فراوانی نسبی ۷۵٫۷۶٪ و در ایزوتوپ کلر-۳۷ فراوانی نسبی ۲۴٫۲۴٪ است. به همین علت نمی‌توان جرم اتمی میانگین آن‌ها را تنها با جمع کردن جرم اتمی ایزوتوپ‌ها و سپس تقسیم کردن بر تعداد ایزوتوپ‌ها بدست آورد و باید درصد فراوانی ایزوتوپ‌ها را نیز در نظر گرفت.

فراوانی نسبی معمولا به صورت درصد گزارش می‌شود. برای درک نحوه اندازه‌گیری جرم اتمی میانگین به مثال ارائه شده در بخش بعد مراجعه کنید.

نحوه محاسبه جرم اتمی میانگین به وسیله درصد فراوانی ایزوتوپ

توجه داشته باشید که «جرم اتمی میانگین» (Average Atomic Mass) یک عنصر یک میانگین وزنی است و برای محاسبه آن میزان «جرم اتمی» (Atomic Mass) هر ایزوتوپ در فراوانی نسبی (Relative Abundance) آن ضرب می‌شود سپس نتایج هر یک از ایزوتوپ‌ها با یکدیگر جمع می‌شود. فرمول زیر برای محاسبه آن طراحی شده است.

$$\text{average atomic mass}=\sum\limits_{i=1}^n(\text{relative abundance}\times\text{atomic mass})_i$$

برای مثال محاسبه جرم اتمی میانگین کلر به صورت زیر عمل می‌کنیم.

$$(0.7576×34.97u)+(0.2424×36.97u)=26.49u+8.96u= 35.45u$$

اندازه گیری درصد فراوانی ایزوتوپ چگونه انجام می‌شود ؟

تا به این قسمت از متن متوجه شدیم که چگونه جرم اتمی میانگین را با استفاده از جرم اتمی ایزوتوپ‌ها و فراوانی نسبی آن‌ها محاسبه کنیم. ولی سوال این است که میزان فراوانی نسبی ایزوتوپ‌ها چگونه بدست می‌آید؟ برای مثال چگونه متوجه می‌شویم که ۷۵٫۷۶٪ از اتم کلر موجود در طبیعت را کلر-۳۵ تشکیل می‌دهد؟

مقدار انحراف هر یون در میدان مغناطیسی به سرعت و بار آن بستگی دارد. یون‌هایی که کندتر حرکت می‌کنند (یعنی یون‌های سنگین‌تر) کمتر منحرف می‌شوند، در حالی که یون‌هایی که سریع‌تر حرکت می‌کنند (یعنی یون‌های سبک‌تر) بیشتر منحرف می‌شوند. برای فهم بهتر این موضوع به نیرویی که برای شتاب دادن به «آجر» نیاز دارید در مقابل نیروی لازم برای شتاب دادن «شن» فکر کنید. نیروی لازم برای شتاب دادن به «شن» بسیار کمتر است. علاوه بر این، میدان مغناطیسی یون‌های با بارهای بالاتر را بیشتر از یون‌هایی با بار کمتر منحرف می‌کند.

مقداری که هر یون منحرف می شود با نسبت جرم به بار آن (m/z)، رابطه عکس دارد. یون‌ها پس از انحراف به یک آشکارساز می‌رسند که دو چیز را اندازه‌گیری می‌کند.

• نسبت جرم به بار هر یون
• تعداد یون‌هایی که نسبت جرم به بار یکسان دارند.

فراوانی نسبی یک یون خاص در نمونه را می‌توان با تقسیم کردن تعداد یون‌ها با نسبت جرم به بار یکسان بر تعداد کل یون‌های شناسایی شده، محاسبه کرد. در پایان آزمایش، دستگاه طیف‌سنج جرمی یک طیف جرمی برای نمونه تولید می‌کند که فراوانی نسبی را در نسبت جرم به بار ترسیم کرده است.

در بعضی از نمونه‌ها تمام یون‌هایی که در دستگاه طیف سنج جرمی ایجاد می‌شوند یک بار مثبت می‌گیرند. در این حالت، نسبت جرم به بار هر یون با جرم یون یا همان جرم اتمی برابر می‌شود. به همین جهت نموداری که برای آن‌ها ارائه می‌شود به جای اینکه در محور X نسبت جرم به بار را نشان دهد، تنها جرم اتمی را نشان می‌دهد.

بررسی طیف جرمی عنصر زیرکونیوم

فرض کنید که نمونه‌ای خالص از عنصر زیرکونیوم با عدد اتمی ۴۰ را در دستگاه طیف‌سنج جرمی قرار داده‌ایم. نمودار زیر نتیجه طیف‌سنجی این عنصر را به ما نشان می دهد.

پنج پیک در این نمودار دیده می شود که نشان‌دهنده پنج ایزوتوپ طبیعی عنصر زیرکونیوم هستند. میزان بلندی هر پیک نشان‌دهنده میزان فراوانی آن ایزوتوپ به نسبت سایر ایزوتوپ‌های عنصر زیرکونیوم است. در مورد عنصر زیرکونیوم ایزوتوپ Zr-۹۰ بیشترین فراوانی را دارد.

فیلم آموزش طیف‌سنجی جرمی اتمی در فرادرس

کلیک کنید

نحوه محاسبه درصد فراوانی ایزوتوپ

مثال اول: محاسبه درصد فراوانی ایزوتوپ‌های عنصر مس

جرم اتمی مس ۶۳٫۵۴۶‎ ± ‎۰٫۰۰۳‎‎ amu است. Cu-۶۳ و Cu-۶۵ ایزوتوپ‌های مس هستند. جرم اتمی Cu-۶۳ برابر با ‎۶۲٫۹۲۹۶ amu و جرم اتمی Cu-۶۵ برابر با ‎۶۴٫۹۲۷۸ amu است. درصد فراوانی ایزوتوپ‌های آن را حساب کنید.

برای بدست آوردن درصد فراوانی ایزوتوپ‌ها از معادله زیر استفاده می‌کنیم.

$$\text{average atomic mass} = \sum_{i=1}^n (\text{relative abundance} \times \text{atomic mass})_i$$

با جایگزین کردن مقادیر گزارش شده در سوال به معادله زیر می‌رسیم.

$$63.546 = (62.9296 \times \mathrm{Cu}\text{-}63) + (64.9278 \times \mathrm{Cu}\text{-}65)$$

این را می‌دانیم که میزان درصد فراوانی Cu-۶۸ + Cu-۶۳ برابر با ۱۰۰ است. از این رو این معادله را بر اساس درصد فراوانی یکی از ایزوتوپ‌ها (Cu-۶۳) می‌نویسیم. همچنین برای ساده‌تر شدن محاسبات دو طرف نمودار را بر ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم. در این حالت مجموع درصد فراواتنی ایزوتوپ‌ها برابر با ۱ می‌شود.

$$Cu^{63} + Cu^{68} = 1$$

$$Cu^{68} = 1 - Cu^{63}$$

این عبارت را در معادله اصلی اضافه می‌کنیم.

$$(Cu^{63} \times 62.9296) + (1 - Cu^{63} \times 64.9278) = 63.54$$

$$Cu^{63} \times 62.9296 + 64.9278 - (Cu^{63} \times 64.9278) = 63.54$$

$$62.9296(Cu^{63}) + 64.9278 - 64.9278(Cu^{63}) = 63.54$$

$$-1.9982(Cu^{63}) = -1.3878$$

$$Cu^{63} = \frac{1.3878}{1.9982}$$

$$Cu^{63} = 69.4525$$

با کم کردن مقدار درصد فراوانی ایزوتوپ Cu-۶۳ از عدد ۱۰۰ می‌توان مقدار درصد فراوانی ایزوتوپ Cu-۶۵ را بدست آورد.

$$Cu^{68} = 30.5475$$

مثال دوم: محاسبه درصد فراوانی ایزوتوپ‌های عنصر سیلیکون

عنصر سیلیکون سه ایزوتوپ طبیعی با جرم‌های اتمی زیر را دارد. اگر جرم اتمی میانگین عنصر سیلیکون ‎۲۸٫۰۸۵۵ amu باشد و درصد فراوانی Si-۲۹ برابر با ۴٫۶٪ باشد، درصد فراوانی ایزوتوپ‌های Si-۲۹ و Si-۲۹ را محاسبه کنید.

• جرم اتمی ایزوتوپ Si-۲۸ برابر با ۲۷.۹۷۶۹‎ amu
• جرم اتمی ایزوتوپ Si-۲۹ برابر با ۲۸٫۹۷۶۵‎ amu
• جرم اتمی ایزوتوپ Si-۳۰ برابر با ۲۹٫۹۷۳۸‎ amu

برای حل این مسئله ایزوتوپ Si-۲۸ را x و ایزوتوپ Si-۳۰ را y در نظر می‌گیریم. می‌دانیم که جرم اتمی میانگین از فرمول زیر محاسبه می‌شود.

جرم اتمی میانگین عنصر سیلیکون= (درصد فراوانی Si-۲۸ × جرم اتمی Si-۲۸) + (درصد فراوانی Si-۲۹ × جرم اتمی Si-۲۹) + (درصد فراوانی Si-۳۰ × جرم اتمی Si-۳۰)

همچنین می‌دانیم که مجموع درصد فراوانی ایزوتوپ‌های یک عنصر برابر با ۱۰۰ است. برای این که معادله ساده شود این معادله را به ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم که در این صورت مجموع درصد فراوانی‌های یک ایزوتوپ برابر با ۱ می‌شود.

$$x + y + 0.0467 = 1$$

معادله را بر اساس یکی از ایزوتوپ‌ها می‌نویسیم.

$$y = 1 - 0.0467 - x$$

$$y = 0.9533 - x$$

حال به جای y در معادله اول از نتیجه بدست آمده استفاده می‌کنیم.

$$(x \times 27.9769) + ((0.9533 - x) \times 29.9738) + (0.0467 \times 28.9765) = 28.0855$$

$$27.9769x + 28.574 - 29.9738x = 26.7322$$

$$-1.9969x = -1.8418$$

$$x = 0.922$$

مقدار بدست امده از x را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم تا درصد فراوانی ایزوتوپ Si-۲۸ بدست آید.

$$x = 92.2\%$$

سپس مقدار بدست آمده از x را در فرمول زیر جایگزاری می‌کنیم تا مقدار ایزوتوپ Si-۳۰ بدست آید.

$$0.922 + y + 0.0467 = 1$$

$$y = 0.031$$

$$y = 3.1\%$$

مثال سوم: محاسبه درصد فراوانی ایزوتوپ‌های عنصر سرب

جرم اتمی میانگین عنصر سرب برابر با ۲۰۷٫۱۹‎ amu است. این عنصر دارای سه ایزوتوپ است که جرم اتمی آن‌ها در بخش زیر نوشته شده است. اگر درصد فراوانی نسبی ایزوتوپ‌های Pb-۲۰۷ و Pb-۲۰۸ برابر باشد، درصد فراوانی هر سه ایزوتوپ را بدست آورید.

• جرم اتمی ایزوتوپ Pb-۲۰۶ برابر با ۲۰۵.۹۸‎ amu
• جرم اتمی ایزوتوپ Pb-۲۰۷ برابر با ۲۰۶.۹۸‎ amu
• جرم اتمی ایزوتوپ Pb-۲۰۸ برابر با ۲۰۷.۹۸‎ amu

طبق صورت مسئله درصد فراوانی ایزوتوپ‌های Pb-۲۰۷ و Pb-۲۰۸ برابر است پس هر دو را x در نظر می‌گیریم. ایزوتوپ Pb-۲۰۶ را نیز y در نظر می‌گیریم. می‌دانیم که مجموع درصد فراوانی‌ ایزوتوپ‌های یک عنصر برابر با ۱۰۰ است. برای راحتی آن را ۱ در نظر می‌گیریم و در آخر اعداد بدست امده را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم. بر همین اساس می‌توانیم فرمول زیر را بنویسیم.

$$y + x + x = 1$$

$$y = 2x$$

y را بر اساس x در فرمول می‌نویسیم.

$$(205.98)(x) + (206.98)(x) + (207.98)(1 - 2x) = 207.19$$

$$x = 0.263$$

درصد فراوانی ایزوتوپ‌های Pb-۲۰۷ و Pb-۲۰۸ برابر با ۲۶٫۳٪ بدست آمد و درصد فراوانی y دو برابر x است که میزان آن ۴۷٫۴٪ می‌شود.

جمع‌بندی