حل دالامبر معادله موج – به زبان ساده

معادله موج

$$\large \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial x ^ 2 } u ( x , t ) - \frac { 1 } { c ^ 2 } \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial t ^ 2 } u ( x , t ) = 0 ,$$

که یک جواب عمومی دارد و آن را ریاضیدان فرانسوی، «دالامبر» (d’Alembert) ارائه کرد که به حل دالامبر مشهور است.

حل دالامبر معادله موج

برای درک تمام جزئیات ریاضی راه‌حل، متغیرها را تغییر می‌دهیم:

$$\large w = x + c t , \quad z = x - c t .$$

می‌نویسیم $$u ( x , t ) = \bar u ( w , z )$$ و خواهیم داشت:

$$\large \begin {align} \dfrac { \partial } { \partial x } u & = \dfrac { \partial } { \partial w } { \bar u } \dfrac { \partial }{ \partial x } w + \dfrac { \partial } { \partial z } { \bar u } \dfrac { \partial } { \partial x } z = \dfrac { \partial } { \partial w }{ \bar u } + \dfrac { \partial } { \partial z } { \bar u } , \nonumber \\[4pt] \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial x ^ 2 } u & = \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial w ^ 2 } { \bar u } + 2 \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial w \partial z } { \bar u } + \dfrac { \partial ^ 2} { \partial z ^ 2 } { \bar u } , \nonumber\\[4pt] \dfrac { \partial } { \partial t } u & = \dfrac { \partial } { \partial w } { \bar u } \dfrac { \partial } { \partial t } w + \dfrac { \partial } { \partial z } { \bar u } \dfrac { \partial } { \partial t } z = c \left ( \dfrac { \partial } { \partial w } { \bar u } - \dfrac { \partial } { \partial z } { \bar u } \right ) , \nonumber\\[4pt] \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial t ^ 2 } u & = c ^ 2 \left ( \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial w ^ 2 } { \bar u } - 2 \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial w \partial z } { \bar u } + \dfrac { \partial ^ 2} { \partial z ^ 2 } { \bar u } \right ) \end {align}$$

نتیجه می‌گیریم:

$$\large \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial x ^ 2 } u ( x , t ) - \frac { 1 } { c ^ 2 } \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial t ^ 2 } u ( x , t ) = 4 \dfrac { \partial ^ 2 } { \partial w \partial z } { \bar u } = 0$$

معادله‌ای به فرم $$\dfrac { \partial ^ 2 } { \partial w \partial z } { \bar u } = 0$$ را می‌توان به سادگی با انتگرالگیری نسبت به $$z$$ و $$w$$ حل کرد. ابتدا برای وابسته به $$z$$ داریم:

$$\large \dfrac { \partial } { \partial w } { \bar u } = \Phi ( w )$$

که $$\Phi$$ هر تابعی فقط از $$w$$ است. اکنون معادله را با استقلال نسبت به $$w$$ حل می‌کنیم:

$$\large \bar u ( w , z ) = \int \Phi ( w ) d w = F ( w ) + G ( z )$$

به عبارت دیگر، $$F$$ و $$G$$ توابعی دلخواه هستند.

حل دالامبر معادله تار نامحدود

معادله زیر در کاربردهای عملی کاملاً مفید است. ابتدا به چگونگی استفاده از این مسئله، وقتی که تار بی‌نهایت داریم، نگاه می‌کنیم (محدودیتی در $$x$$ وجود ندارد). فرض کنید که در حال بررسی مسئله‌ای با شرایط اولیه زیر هستیم:

$$\large u ( x , 0 ) = f ( x ) , \; \; \dfrac { \partial } { \partial t } u ( x , 0 ) = g ( x ) .$$

فیلم آموزش ریاضیات مهندسی پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

فرض می‌کنیم $$f(\pm\infty)=0$$. همچنین، فرض می‌کنیم که این برای $$F$$ و $$G$$ نیز صدق می‌کند (مجبور به این فرض نیستیم، اما این کار برخی از ثابت‌های دلخواه را که در $$u$$ نقش بازی نمی‌کنند حذف می‌کند). داریم:

$$\large \begin {align} F ( x ) + G ( x ) & = f ( x ) , \nonumber\\[4pt] c ( F' ( x ) - G' ( x ) ) & = g ( x ) . \end {align}$$

معادله آخر را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large F ( x ) - G ( x ) = \underbrace { \frac { 1 } { c } \int _ 0 ^ x g ( y ) d y } _ { = \Gamma ( x ) } + C$$

در نهایت، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {align} F ( x ) & = \dfrac { 1 } { 2 } \left [ f ( x ) + \Gamma ( x ) + C \right ] \nonumber\\[4pt] G ( x ) & = \dfrac { 1 } { 2 } \left [ f ( x ) - \Gamma ( x ) - C \right ] \end {align}$$

فرض کنید، داریم (برای سادگی $$c=1 \text{m/s}$$ را انتخاب می‌کنیم):