حل انتگرال دوگانه با استفاده از تغییر متغیر – به زبان ساده

مقدمه

در ریاضیات از دستگاه‌های مختصات متفاوتی استفاده می‌شود. در حل انتگرال دوگانه نیز گاهی بهتر است که انتگرالِ $$\large \iint \limits _ R { f \left( { x , y } \right ) d x d y }$$ در دستگاه مختصاتی غیر از کارتزین محاسبه شود.

برای نمونه در شکل زیر با استفاده از تغییر متغیرِ $$(x,y) \Rightarrow (u,v)$$، ناحیه انتگرال‌گیری به صورت یک مستطیل در آمده که انتگرال‌گیری از آن نیز راحت‌تر می‌شود.

فرض کنید با استفاده از یک تغییر متغیر، مختصات $$\large ( x , y )$$ به $$\large ( u , v )$$ تبدیل شده است. در این صورت حاصل انتگرال را در مختصات جدید می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد.

$$\Large { \iint \limits _ R { f \left ( { x , y } \right ) d x d y } } = { \iint \limits _ S { f \left [ { x \left ( { u , v } \right ) , y \left ( { u , v } \right ) } \right ] } \kern0pt { \left | { \frac { { \partial \left ( { x , y } \right ) } } { { \partial \left ( { u , v } \right ) } } } \right|d x d y} , }$$

توجه داشته باشید که در رابطه فوق،

$$ \large \left| { \large \frac { { \partial \left ( { x , y } \right ) } } { { \partial \left ( { u , v } \right ) } } \normalsize} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{ c } } {\frac{{\partial x}}{{\partial u} } } & { \frac { { \partial x } } { { \partial v}}}\\{\frac{{\partial y}}{{\partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } \end {array}} \right| $$