تابع معکوس مثلثاتی – به زبان ساده

۳۴۹۹۱ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۱ آذر ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۴ دقیقه
دانلود PDF مقاله
تابع معکوس مثلثاتی – به زبان سادهتابع معکوس مثلثاتی – به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به توابع مثلثاتی و معکوس توابع را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم تا در مورد نوعی خاص از توابع معکوس صحبت کنیم. این توابع را توابع معکوس مثلثاتی یا توابع آرک می‌نامند.

997696

پیشنهاد می‌شود به منظور تسلط بهتر به مطلب، مطالب دایره مثلثاتی، سینوس، کسینوس و تانژانت و تابع معکوس مطالعه شوند.

مفهوم توابع معکوس مثلثاتی

همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه، مفاهیمی هستند که با استفاده از آن‌ها می‌توان بین طول و زوایای یک مثلث ارتباط برقرار کرد. در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

توابع مثلثاتی

با توجه به شکل فوق، مقادیر مثلثاتی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

trigonometric

بنابراین یک زاویه در سینوس یا کسینوس قرار داده شده و خروجی آن محاسبه می‌شود. حال اگر مقدار خروجی را داشته باشیم با استفاده از تابع سینوس معکوس یا آرک سینوس، مقدار زاویه‌ی متناسب با آن بدست می‌آید.

بنابراین تابع sinθ\large \sin \theta ورودیِ θ\large \theta را گرفته و خروجی آن نسبت طول اضلاع می‌شود. حال تابع sin1\large \sin ^ { - 1 } خروجی را می‌گیرد و به ما زاویه می‌دهد.توابع معکوس مثلثاتی

مثال ۱

مقدار sin1(0.57)\large \sin ^ { - 1 } ( 0 . 5 7 ) را بیابید.

برای بدست آوردن این مقدار، باید نگاه کنیم و ببینیم سینوس چه زاویه‌ای برابر با ۰.۵۷ می‌شود. با استفاده از ماشین حساب می‌توان دید سینوس زاویه ۳۵ درجه برابر با ۰.۵۷ است. بنابراین می‌توان گفت:

sin1(0.57)=35o\large \sin ^ { - 1 } ( 0 . 57 ) = 3 5 ^ o

توجه داشته باشید که توابع معکوس مثلثاتی را ممکن است به صورت آرک نیز نشان دهند.

در ادامه این شکل از تابع معکوس نشان داده شده است.

cos1(x)=arccos(x)sin1(x)=arcsin(x)tan1(x)=arctan(x)\large \begin {align*} { \cos ^ { - 1 } } \left ( x \right ) & = \arccos \left ( x \right ) \\ { \sin ^ { - 1 } } \left ( x \right ) & = \arcsin \left ( x \right ) \\ { \tan ^ { - 1 } } \left ( x \right ) & = \arctan \left ( x \right ) \end {align*}
رابطه ۱

احتمالا تاکنون متوجه شده‌اید که بیان‌های زیر معادل یکدیگر هستند.

θ=cos1(x)x=cos(θ)θ=sin1(x)x=sin(θ)θ=tan1(x)x=tan(θ)\large \begin {align*} \theta & = { \cos ^ { - 1 } } \left ( x \right ) & \hspace {0.5in} & \Leftrightarrow & \hspace {0.5in} x & = \cos \left ( \theta \right ) \\ \theta & = { \sin ^ { - 1 } } \left ( x \right ) & \hspace {0.5in} & \Leftrightarrow & \hspace {0.5in} x & = \sin \left ( \theta \right) \\ \theta & = { \tan ^ { - 1 } } \left ( x \right ) & \hspace {0.5in} & \Leftrightarrow & \hspace {0.5in} x & = \tan \left ( \theta \right ) \end {align*}

نمای جانبی از یک دانش آموز نشسته پشت میز در کنار تخته با دست زیر چانه (تصویر تزئینی مطلب توابع معکوس مثلثاتی)

مثال ۲

مقدار معکوسِ cos1(32)\large \displaystyle { \cos ^ { - 1 } } \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) را بدست آورید.

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، باید از خود بپرسید کسینوس چه زاویه‌ای برابر با 32\large \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } می‌شود؟ از مفاهیم پایه‌ای سینوس، کسینوس و تانژانت می‌دانید که کسینوس دو زاویه 30o\large 3 0 ^ o (π6\large \frac { \pi } { 6 }) و 330O\large 330 ^ { \small O } (11π6\large \frac { 11 \pi } { 6 }) برابر با 32\large \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } می‌شود. بنابراین داریم:

cos1(32)=π6 , 11π6\large \displaystyle { \cos ^ { - 1 } } \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) = \frac { \pi } { 6 } \ , \ \frac { 11 \pi } { 6 }

بدیهی است که اگر یک زاویه را به اندازه ضرایب ۲π دور بزنیم، به نقطه ابتدایی خواهیم رسید. بنابراین پاسخ‌ها را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

π6+2πn,    n=0,±1,±2,±3,11π6+2πn,    n=0,±1,±2,±3,\large \begin {align*} & \frac { \pi } { 6 } + 2 \pi \, n\, ,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \\ & \frac{{11\pi }}{6} + 2\pi \,n\,,\;\;n = 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \ldots \end {align*}

توجه داشته باشید ممکن است در صورت سوال محدوده پاسخ بیان شود. برای نمونه اگر پاسخ در بازه ۰ تا π در نظر گرفته شود، نهایتا پاسخ برابر با π6\large \frac { \pi } { 6 } است.

اگر مطلب دایره مثلثاتی را به دقت مطالعه فرموده باشید، می‌توانید معکوس توابع مثلثاتی را راحت‌تر و سریع‌تر محاسبه کنید.

مثال ۳

مقدار cos1(32)\large \displaystyle { \cos ^ { - 1 } } \left ( { - \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) را بدست آورید.

در ابتدا دایره مثلثاتی را به صورت زیر ترسیم کنید.

inverse-trig-function

با توجه به دایره، مقدار کسینوس معکوس یا آرک کسینوس برابر می‌شود با:

cos1(32)=5π6\large { \cos ^ { - 1 } } \left ( { - \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) = \frac { { 5 \pi } } { 6 }

مثال ۴

مقدار cos(cos1(32))\displaystyle \cos \left( {{{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right) را بدست آورید.

در مطلب تابع معکوس عنوان شد که اگر یک تابع معکوس را در خودش قرار دهیم، مقدار خروجی برابر با ورودی است. در این حالت نیز از تابع آرک کسینوس، کسینوس گرفته شده. بنابراین مقدار آن برابر است با:

cos(cos1(32))=cos(π6)=32\large \cos \left ( { { { \cos } ^ { - 1 } } \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 2 } } \right ) } \right ) = \cos \left ( { \frac { \pi } { 6 } } \right ) = \frac { { \sqrt 3 } } { 2 }

نمودار توابع معکوس مثلثاتی

در رابطه ۱ توابع معکوس مثلثاتی ارائه شدند. برای بدست آوردن نمودار توابع معکوس کافی است که آن‌ها را نسبت به محور y=x معکوس کنیم.

برای نمونه در شکل زیر نمودار تابع y=cos x نسبت به y=x قرینه شده و تابع y=cos-1x بدست آمده است.

inverse-trig-function

در ادامه نمودار توابع آرک سینوس، کسینوس و تانژانت ارائه شده است.

inverse-trig-function

در این مطلب مفاهیم پایه‌ای توابع معکوس مثلثاتی یا توابع آرک توضیح داده شدند. البته در آینده مشتق‌ توابع معکوس مثلثاتی را نیز توضیح خواهیم داد.

بر اساس رای ۲۳۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Pauls Online NotesMathisfun
دانلود PDF مقاله
۹ دیدگاه برای «تابع معکوس مثلثاتی – به زبان ساده»

با سلام
فرق تانژانت معکوس و کسینوس معکوس در چیست؟
و از کجا تشخیص بدهیم از کدام یک استفاده کنیم؟

با سلام و وقت بخیر؛

فرق اصلی توابع تانژانت معکوس و کسینوس معکوس، در دامنه و برد آن‌ها است. تابع تاژانت معکوس یا آرک‌تانژانت، می‌تواند هر عدد حقیقی را به عنوان ورودی دریافت کند. خروجی این تابع، عددی بین π2\frac { \pi } { 2 } تا pi2– \frac { pi } { 2 } است. به عنوان مثال tan1x=θ\tan ^ { – 1 } x = \theta را در نظر بگیرید. اگر یک عدد حقیقی دلخواه را به جای x وارد تابع تانژانت معکوس x کنیم، زاویه θ\theta برابر با زاویه‌ای بین 90- تا 90+ درجه می‌شود.

در تابع کسینوس معکوس، دامنه عددی بین 1- تا 1+ است. خروجی یا برد این تابع نیز عددی 0 تا π\pi است. بنابراین، اگر یک عدد حقیقی بین 1- تا 1+ را به عنوان ورودی x در تابع cos1x=θcos ^ { – 1 } x = \theta وارد کنیم، زاویه θ\theta، عددی بین 0 تا 90 درجه می‌شود.

زمان استفاده از توابع تانژانت معکوس و کسینوس معکوس، به شرایط مسئله بستگی دارد. به طور کلی و در ساده‌ترین حالت، اگر نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور یک زاویه را بدانیم، با استفاده از تانژانت معکوس می‌توانیم اندازه آن زاویه را محاسبه کنیم. اگر نسبت ضلع مجاور به وتر یک زاویه را بدانیم، با استفاده از کسینوس معکوس می‌توانیم اندازه آن زاویه را محاسبه کنیم. در شرایط پیچیده‌تر، باید ببینیم کدام یک از این توابع می‌توانند مسئله ما را بر اساس روابط بین نسبت‌های مثلثاتی ساده‌تر کنند. برای یادگیری بهتر این موضوع، مطالعه مطلب «نسبت های مثلثاتی به زبان ساده + مثال و تمرین» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم.

سلام
خداقوت
خیلی خیلی ممنونم از توضیح روان و عالی تون
من یک سوال داشتم که آرک (معکوس توابع مثلثاتی ) برای کوتانژانت برقرار نیست ؟

با سلام و وقت بخیر؛

تابع کتانژانت نیز دارای معکوس است. البته به دلیل امکان تعیین این تابع از روی آرک تانژانت، معمولا اشاره‌ای به آن نمی‌شود. علاوه بر این، آرک کتانژانت، معمولا کاربرد کمتری نسبت به سه تابع مثلثاتی اصلی (سینوس معکوس، کسینوس معکوس و تانژانت معکوس) دارد. به همین دلیل، تمرکز بر روی یادگیری آن، ضرورتی ندارد.

از همراهی شما با مجله فرادرس سپاسگزاریم

آقا سلام خسته نباشید خواهش میکنم این سوال رو واضع بگید منم یاد بگیرم تو یه مسئله ای تانژانت معکوس ما شده ۴۶ بعد من تو یه ویدیو دیدم بعد اومد گفت اگر به زاویه بخوایم میشه -۱۳۴ این ۱۳۴ چجوری بدست میاد خواهش میکنم

اقا خداییش خیلی سخته‌یعنی سخت هااا
این فیزیک و ریاضی پدر من رو درآورده. خوش بحال جناب عوض زاده که‌مثل اب خوردن توضیح میدن.کار هر کسی نیست

هیچ فرمولی برای به دست اوردن معکوس توابع وجود نداره؟ فقط باید خودمون حدس بزنیم چه زاویه ای مثلا سینوسش شده فلان قدر ؟؟ نمیشه مستقیم از سیسنوس با یه فرمول به ارک سینوس رو در اورد ؟

سلام. راه‌هایی برای محاسبه اندازه این توابع وجود دارد که برای مثال، یکی از آن‌ها فرمول زیر است:
arcsin(x)=k=022k+1(2kk)(x2)2k+1\arcsin(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac2{2k+1}\binom{2k}{k}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+1}
یک راه دیگر که می‌توان به آن اشاره کرد، استفاده از روش ترسیمی است.
توجه کنید که در حالت کلی، محاسبه دستی این مقادیر معمولاً دشوار است.
سپاس از همراهی‌تان.

سلام من خواهش میکنم برام صفحه 335 کتاب اول جلد اول جورج توماس راس فینی شکل های مثلث های مرجع رو برای آرک ها توضیح بدید.نمیفهمم از کجا اومدن و چطور و با کدام قاعده نوشته شدن اینا

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *