در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس نحوه بدست آوردن معادله خمش تیر توضیح داده شد. اما همانطور که میدانید این روشها بسیار وقتگیر و خارج از حوصله هستند. از این رو در این مطلب قصد داریم تا با استفاده از روش برهم نهی نحوه بدست آوردن معادله تیر را توضیح دهیم.
این روش بیان میکند که شیب و جابجایی یک نقطه از نمودار در نتیجه وارد شدن چندین نیرو به آن، برابر با جابجایی و شیب، ناشی از هریک از نیروها به تنهایی است. از این رو در اولین گام حالتهای مختلف وارد شدن نیرو به تیر را توضیح میدهیم.
مطابق با شکل زیر تیری را در نظر بگیرید که نیرویی به انتهای آن وارد میشود.
در این صورت ماکزیمم گشتاور خمشی برای این تیر برابر است با:
M=−PL
همچنین شیب تیر در انتها مطابق با رابطه زیر بدست میآید.
θ=2EIPL2
در این صورت بیشترین میزان انحراف تیر در انتها برابر است با:
δ=3EIPL3
بنابراین معادله خمش تیر نیز برابر میشود با (توجه داشته باشید که جهت y به سمت پایین مثبت در نظر گرفته شده):
EIy=6Px2(3L−x)
حالت دوم: نیروی متمرکز در نقطهای از تیر
مورد دوم زمانی است که نیرویی به نقطه مشخصی از تیر وارد میشود. در شکل زیر این حالت نشان داده شده است.
در این حالت نیز بیشترین مقدار گشتاور در نقطه اتصال به دیوار بوده و اندازه آن نیز برابر است با:
M=−Pa
همچنین بیشترین میزان زاویه خمش در انتهای تیر است. اندازه این زاویه نیز برابر است با:
θ=2EIPa2
در نتیجه بیشترین میزان جابجایی نیز برابر با عبارت زیر بدست میآید:
δ=6EIPa2(3L−a)
توجه داشته باشید که در این حالت معادله خمش باید برای دو بخش از تیر به صورت جداگانه نوشته شده است؛ دلیل این امر صفر بودن گشتاور در محلهای با x>a است. معادله تیر در این حالت برابر است با:
EIy=6Px2(3a−x) for 0<x<a
EIy=6Pa2(3x−a) for a<x<L
حالت سوم: بار یکنواختِ توزیع شده روی تیر
مطابق با شکل زیر فرض کنید بار گستردهای به تیر وارد میشود.
در این حالت بیشترین میزان گشتاور برابر است با:
M=−2woL2
همچنین شیب در انتهای تیر مطابق با رابطه زیر بدست میآید.
θ=6EIwoL3
در این حالت، بیشترین میزان جابجایی تیر نیز برابر است با:
δ=8EIwoL4
در نتیجه معادله خمش تیر دارای سه ترم بوده و بهصورت زیر محاسبه میشود.
EIy=wox2120L(6L2−4Lx+x2)
حالت چهارم: بار مثلثی وارد شده به تیر
در حالت قبلی بار به صورت یکنواخت به تیر وارد میشد؛ حال توزیعی از بار را در نظر بگیرید که به صورت مثلثی بوده و به تیر وارد میشود.
در این حالت بیشترین میزان گشتاور برابر است با:
M=−6woL2
از این رو بیشترین میزان انحراف تیر در انتهای آن بوده و اندازه آن نیز برابر است با:
δ=30EIwoL4
در نتیجه معادله خمش تیر نیز برابر است با:
EIy=120Lwox2(10L3−10L2x+5Lx2−x3)
حالت پنجم: گشتاور وارد شده به انتهای تیر
مطابق با شکل زیر تیری را در نظر بگیرید که گشتاور M به انتهای آن وارد میشود.
در این حالت اندازه گشتاور در تمامی طول تیر عددی ثابت بوده و مقدار آن برابر با −M است. همچنین بیشترین میزان زاویه خمش در انتهای تیر بوده و اندازه آن برابر است با:
θ=EIML
در نتیجه ماکزیمم میزان جابجایی تیر نیز برابر میشود با:
δ=2EIML2
نهایتا معادله خمش تیر تنها با یک ترم و برابر با معادله زیر بدست میآید.
EIy=2Mx2
حالت ششم: نیروی وارد شده به مرکز تیر
در حالتی که نیرویی به مرکز یک تیر وارد میشود، شکل تیر کاملا به صورت متقارن در خواهد آمد. در ادامه این حالت نشان داده شده است.
در این حالت از بارگذاری، ماکزیمم مقدار گشتاور برابر است با:
M=4PL
شیب تیر نیز در انتها به صورت زیر بدست میآید.
θL=θR=16EIPL2
در نتیجه بیشترین میزان انحراف تیر برابر است با:
δ=48EIPL3
بنابراین معادله خمش تیر مطابق با رابطه زیر بدست خواهد آمد.
EIy=12Px(43L2−x2) for 0<x<21L
حالت هفتم: بارگذاری گسترده روی تیر با دو تکیهگاه
یکی از حالتهای پرکاربرد در حل مسائل، زمانی است که باری به صورت گسترده روی یک تیر اعمال میشود. این حالت در شکل زیر نشان داده شده است.
در این حالت از بارگذاری، بیشترین مقدار گشتاور خمشی برابر میشود با:
M=8woL2
بدیهی است که بارگذاری، متقارن است؛ بنابراین اندازه شیب افقی تیر در دو سمت با هم برابر است. اندازه این شیب برابر است با:
θL=θR=24EIwoL3
ماکزیمم میزان جابجایی نیز در مرکز تیر بوده و اندازه آن برابر است با:
δ=384EI5woL4
در نتیجه معادله خمش مطابق با عبارت زیر بدست میآید.
EIy=24wox(L3−2Lx2+x3)
حالت هشتم: نیروی نامتقارن وارد شده به تیر
نیروی وارد شده به مرکز یک تیر را میتوان حالت خاصی از بارگذاری زیر در نظر گرفت.
در این حالت نیرو در فاصله a از تکیهگاه سمت چپ و در فاصله b از تکیهگاه سمت راست قرار میگیرد. همچنین بیشترین میزان گشتاور وارد شده به تیر معادل با ضرب دو طولِ a,b بوده و مقدار آن نیز برابر است با:
M=LPab at x=a
همچنین شیب تیر در دو سمت برابر است با:
θL=6EILPb(L2−b2)
θR=6EILPa(L2−a2)
بیشترین میزان انحراف تیر و محل آن نیز برابر است با:
δ=93EILPb(L2−b2)3/2 at x=(3L2−b2)
همچنین میزان انحراف تیر در مرکز، مطابق با رابطه زیر بدست میآید.
δ=48EIPb(3L2−4b2) when a>b
توجه داشته باشید که معادله تیر در نقطهای که نیرو به آن وارد میشود، تغییر میکند. در حقیقت این معادله را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
EIy=6LPbx(L2−x2−b2) for 0<x<a
EIy=6LPb[bL(x−a)3+(L2−b2)x−x3] for a<x<L
در بالا حالتهای مهم بارگذاری توضیح داده شدند. حال با توجه به این بارگذاریها قصد داریم تا در قالب چندین مثال، روش برهم نهی را توضیح دهیم.
حالت نهم: گشتاور وارد شده به یکی از تکیهگاهها
حالتی را در نظر بگیرید که در آن به یکی از تکیهگاهها گشتاور M وارد شود.
در این حالت اندازه گشتاور خمشی در تمامی طول تیر ثابت بوده و اندازه آن برابر با M است. زوایای بدست آمده در دو سمت تیر نیز برابرند با:
θL=6EIML
θR=3EIML
همچنین بیشترین میزان از خیز تیر مطابق با رابطه زیر بدست میآید.
δ=93EIML2 at x=3L
مثال ۱
تیر زیر را در نظر بگیرید. این تیر در وسطش به چه میزان تغییر شکل میدهد. مقادیر E=10GPa و I=20×106mm4 را در نظر بگیرید.
طبق اصل برهم نهی میتوان در ابتدا موارد خواسته شده را در نتیجه تکنیروی وارد شده به تیر بدست آورد. در قدم بعدی همین خواستهها را در نتیجه بارگذاری بدست میآوریم. با توجه به حالت هفتم میتوان خمش را مطابق با رابطه زیر بدست آورد.
از طرفی مقدار تغییر شکل در وسط تیر در نتیجه بارگذاری گسترده نیز برابر است با:
δ=48EIPb(3L2−4b2) when a>b
حال کافی است حالتِ وارد شدن نیرو و بارگذاری گسترده را به صورت جداگانه تصور کرده و آنها را با هم جمع کرد. بنابراین خیز کلی تیر در این حالت از بارگذاری برابر است با:
EIδ=48Pb(3L2−4b2)+3845woL4 EIδ=482(1)[3(42)−4(12)]+3845(1)(44) EIδ=611+310 EIδ=631 kN⋅m3 δ=EI631 δ=10000(20×106631(10004) δ=25.83 mm
مثال ۲
مقداری از نیروی P را تعیین کنید که به ازای آن جابجایی نقطهای که نیروی P به آن وارد میشود، برابر با صفر باشد.
شاید در نگاه اول این تصور را داشته باشید که نیرو خارج از محل دو تکیهگاه به تیر وارد شده، بنابراین در اولین گام نیروی P و لنگر مرتبط با آن را به تکیهگاه سمت راست منتقل میکنیم. در حقیقت سیستم معادل، تیری است که گشتاور 3P به تکیهگاه سمت راست آن وارد میشود.
در این صورت زاویه θ در تکیهگاه سمت راست، در نتیجه بارگذاری ω برابر است با:
θ=24EIwoL3−3EIML
θ=24EI80(93)−3EI3P(9)
θ=EI2430−EI9P
3θ=EI7290−EI27P
با استفاده از روابط بیان شده برای حالت اول، میتوان خیز ناشی از وارد شدن نیروی P را به صورت زیر بدست آورد.
δ=3EIPL3
δ=3EIP(33)
δ=EI9P
از طرفی خیز ناشی از بارگذاری گسترده ω نیز وابسته به فاصله تکیهگاه تا نیرو است. در حقیقت این خیز با ضرب شیبِ تیر در تکیهگاه سمت راست در فاصله بین تکیهگاه و نیرو بدست میآید. بنابراین خیز ناشی از بارگذاری برابر با δ=3θ است. نهایتا میتوان گفت:
3θ=EI7290−EI27P=δ=EI9P
⇒EI36P=EI7290P=202.5 lb
مثال ۳
خیز تیر در نقطه میانی آن را برای تیری با بارگذاری زیر بیابید.
با توجه به حالت هشتم، خیزِ وسط تیر ناشی از وارد شدن نیروی P به آن (مطابق با شکل زیر) برابر است با:
δ=48EIPb(3L2−4b2) when a>b
برای تیر ارائه شده در این سوال، مقدار P برابر است با:
P=wodx b=x
برای بدست آوردن خیز، کافی است از دو ناحیه اعمال بار به صورت مجزا انتگرال گرفت. اما با توجه به متقارن بودن بارگذاری میتوان یکی از انتگرالها را محاسبه کرده و آن را در 2 ضرب کرد. بنابراین خیز تیر در وسط آن برابر است با:
خیز تیری با بارگذاری زیر را در انتهای سمت چپ آن بدست آورید.
همچون مثال ۲، در اولین گام ناحیه بدون تکیهگاه (سمت چپ) که بارگذاری نیز روی آن وجود دارد را به صورت گشتاور وارد به تکیهگاه سمت چپ معادلسازی میکنیم. در این صورت این گشتاور، زاویهای برابر با θ را در تکیهگاه مذکور ایجاد میکند. از طرفی خودِ بارگذاری نیز، خیزی به اندازه δ را بوجود خواهد آورد. در این صورت خیز کلی در سمت چپِ تیر برابر است با:
δ=2θ+δ1
میزان شیب در تکیهگاه سمت چپ، در نتیجه وارد شدن نیروی گسترده و گشتاور ایجاد میشود. اشکال زیر اندازه زاویه ایجاد شده در این حالات را نشان میدهند.
خیز ناشی از گشتاور وارد شده به تکیهگاه سمت چپ برابر است با:
EIθEIθEIθEIθEIθ=3800(4)−∫026(4)400dx(4−x)[42−(4−x)2]=33200−350∫02[16(4−x)−(4−x)3]dx=33200−350[−8(4−x)2+4(4−x)4]02=33200+31400−33200=31400 N ⋅m2
با اعمال حالت سوم، اندازه خیز وسط تیر که ناشی از بخش راست بارگذاری است، برابر میشود با:
δ=8EIwoL4
EIδ1=8400(24)
حال به منظور بدست آوردن خیز کلی، کافی است خیز ناشی از شیب ایجاد شده را با خیز ناشی از بخش راست بارگذاری جمع زد. بنابراین خیز کلی تیر برابر است با:
EIδ=2EIθ+EIδ1
EIδ=2(31400)+800
EIδ=35200 N ⋅m3
در صورت علاقهمندی به مباحث مرتبط در زمینه مهندسی مکانیک و عمران، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.