انرژی مکانیکی چیست؟ – به زبان ساده

انرژی مکانیکی، انرژی یک جسم به دلیل موقعیت یا حرکت آن است. این انرژی یکی از مفاهیم پایه در علم فیزیک محسوب می‌شود، زیرا هر چیزی در اطراف ما به وسیله انرژی مکانیکی به حرکت درمی‌آید یا عمل می‌کند. از برداشتن اشیا گرفته تا پرتاب کردن آن‌ها، می‌توان اثر انرژی مکانیکی را هر روز در عمل مشاهده کرد. در این مطلب از مجله فرادرس توضیح می‌دهیم انرژی مکانیکی چیست، چه فرمولی دارد و چگونه می‌توان از پایستگی آن در حل مسائل استفاده کرد.

انرژی مکانیکی چیست؟

انرژی مکانیکی مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل یک جسم است که برای انجام کار استفاده می‌شوند. به عبارت دیگر، انرژی مکانیکی همان انرژی‌ای است که یک جسم به علت حرکت، قرار گرفتن در ارتفاع و کشیده یا فشرده شدن در خود ذخیره می‌کند. انرژی مکانیکی را با E نشان می‌دهیم و واحد استاندارد آن ژول است.

اگر به تصویر بالا دقت کنید، با اینکه تغییرات انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل این اتومبیل حین حرکت روی تپه به شکل زیر است، اما در هر سه نقطه همواره مجموع این دو انرژی یعنی انرژی مکانیکی مقدار ثابتی است:

جسمی که دارای انرژی مکانیکی است می‌تواند با اعمال نیرو کار انجام دهد. در واقع تغییر در انرژی مکانیکی برابر است با کاری که انجام می‌شود. برای مثال، هنگامی که یک کمان کشیده می‌شود، انرژی را در خود ذخیره می‌کند و زمانی که رها می‌شود، کمان از انرژی ذخیره‌ شده خود استفاده کرده و تیر را در مسیر مشخصی پرتاب می‌کند. بنابراین کمان با صرف انرژی مکانیکی خود روی تیر کار انجام داده است.

در تصویر زیر نمونه‌ای از تبدیل موقعیت و حرکت به کار را مشاهده می‌کنید که در آن از موقعیت اولیه چکش، به حرکت در آمدن آن و سپس انجام کار، انرژی مکانیکی به وجود آمده است:

در مثالی دیگر، یک آونگ ساده ایده‌آل (یعنی بدون اصطکاک) را در نظر بگیرید تا بهتر متوجه شوید انرژی مکانیکی چیست. زمانی که آونگ به جلو و عقب نوسان می‌کند، یک تبادل مداوم بین انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل آن را خواهیم داشت. اما وقتی که گلوله آونگ به بیشترین ارتفاع خود می‌رسد، انرژی پتانسیل سیستم نیز بیشترین مقدار را دارد، در حالی که انرژی جنبشی صفر است.

از طرفی، در موقعیت تعادلی انرژی جنبشی بیشترین مقدار را دارد و انرژی پتانسیل صفر است. بین این دو نقطه حدی، می‌بینیم که سیستم هم انرژی جنبشی دارد و هم انرژی پتانسیل اما مجموع این دو یا همان انرژی مکانیکی همواره ثابت است. این مشاهدات در مورد بقای انرژی مکانیکی اطلاعات خوبی به ما می‌دهد که در بخش‌های بعد بیشتر به آن می‌پردازیم.

انرژی مکانیکی بسته به سیستم موردبررسی ما فرمول‌های متفاوتی دارد. در جدول زیر ملاحظه می‌کنید برخی از فرمول‌های انرژی مکانیکی چیست:

فلش کارت انرژی مکانیکی

تا اینجا آموختید انرژی مکانیکی چیست و چگونه به دست می‌آید. در این بخش با پاسخ دادن به سوالات زیر می‌توانید آموخته‌های خود را بیازمایید، به این صورت که با مطالعه سوال روی هر فلش‌کارت، پس از کمی فکر کردن و جواب دادن می‌توانید پاسخ صحیح را در پشت فلش‌کارت مربوطه ملاحظه کنید:

یادگیری انرژی مکانیکی با فرادرس

در این بخش چند دوره آموزشی مرتبط با محاسبه کار و انرژی مکانیکی در سطح کتاب‌های درسی مقطع متوسطه به شما معرفی خواهد شد. برای اینکه بتوانید این محاسبات را به‌درستی انجام دهید، ابتدا لازم است مباحث فیزیک مکانیک و تشخیص نیروها را کاملا فرا گرفته باشید. این موضوعات در کتاب‌های درسی علوم تجربی پایه هفتم و نهم و کتاب‌های درسی فیزیک پایه دهم و دوازدهم مطرح می‌شوند. بنابراین مشاهده فیلم‌های آموزشی زیر از مجموعه فرادرس را پیشنهاد می‌کنیم تا بهتر متوجه شوید مفهوم انرژی مکانیکی چیست:

1. فیلم آموزش علوم تجربی پایه هفتم فرادرس
2. فیلم آموزش علوم تجربی پایه نهم بخش فیزیک فرادرس
3. فیلم آموزش فیزیک پایه دهم فرادرس
4. فیلم آموزش فیزیک پایه دهم – مرور و حل تمرین فرادرس
5. فیلم آموزش فیزیک پایه دوازدهم فرادرس
6. فیلم آموزش فیزیک پایه دوازدهم – سوالات امتحانات نهایی فرادرس

فرمول انرژی مکانیکی چیست؟

گفتیم انرژی مکانیکی به‌صورت مجموع انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی تعریف می‌شود. در این بخش با استفاده از این تعریف می‌خواهیم ببینیم فرمول انرژی مکانیکی چیست. فرض کنید جسمی با جرم $$m$$ در ارتفاع $$h$$ از سطح زمین قرار دارد. در این صورت انرژی پتانسیل آن از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$U_g = mgh$$

• $$U_g$$: انرژی پتانسیل گرانشی بر حسب ژول
• $$m$$: جرم جسم بر حسب کیلوگرم
• $$g$$: شتاب جاذبه زمین بر حسب متر بر مجذور ثانیه
• $$h$$: ارتفاع جسم از سطح زمین بر حسب متر

می‌دانیم انرژی پتانسیل بر خلاف انرژی جنبشی به جای حرکت، بر موقعیت جسم تمرکز دارد. بنابراین فرمول ریاضیاتی آن بسته به شرایط هر سیستم، متفاوت است. در این بخش با در نظر گرفتن جسم در ارتفاع مشخص، فرمول نوع خاصی از انرژی پتانسیل به نام انرژی پتانسیل گرانشی را نوشتیم. انرژی پتانسیل گرانشی، انرژی یک جسم به دلیل ارتفاع عمودی آن است. البته جرم و ارتفاع هر دو به‌طور مستقیم با انرژی پتانسیل گرانشی مرتبط هستند، به این شکل که هر چه مقدار جرم و ارتفاع بیشتر باشد، جسم انرژی پتانسیل بیشتری را ذخیره خواهد کرد.

حالا اگر همان جسم با سرعت $$v$$ نیز در حال حرکت باشد، انرژی جنبشی آن برابر است با:

$$K = \frac{1}{2} m v^2$$

• $$K$$: انرژی جنبشی بر حسب ژول
• $$m$$: جرم جسم بر حسب کیلوگرم
• $$v$$: سرعت جسم بر حسب متر بر ثانیه

بنابراین فرمول انرژی مکانیکی این جسم می‌شود:

$$E = U_g + K$$

$$E = mgh + \frac{1}{2} m v^2$$

در فرمول بالا $$K = \frac{1}{2} m v^2$$ انرژی جنبشی در حرکت انتقالی است، یعنی انرژی ناشی از حرکت خطی. در حرکت دورانی لازم است از فرم دورانی فرمول انرژی جنبشی استفاده کنیم. فرمول انرژی جنبشی دورانی به‌صورت زیر است:

$$K_{rot} = \frac{1}{2} I ω^2$$

• $$K_{rot}$$: انرژی جنبشی دورانی بر حسب ژول
• $$I$$: ممان اینرسی جسم بر حسب کیلوگرم در متر مربع
• $$ω$$: سرعت زاویه‌ای جسم بر حسب رادیان بر ثانیه

در این حالت، انرژی مکانیکی طبق فرمول زیر محاسبه خواهد شد:

$$E = U_g + K_{rot}$$

$$E = mgh + \frac{1}{2} I ω^2$$

یکی دیگر از شکل‌های نسبتا رایج انرژی پتانسیل، انرژی پتانسیل کشسانی است. انرژی پتانسیل کشسانی، همان انرژی ذخیره‌ شده درون یک جسم به دلیل توانایی آن در کشیده شدن یا فشرده شدن است (مانند فنر). فرمول متناظر با این نوع انرژی پتانسیل به‌صورت زیر است:

$$U_s = \frac{1}{2} kx^2$$

• $$U_s$$: انرژی پتانسیل کشسانی بر حسب ژول
• $$k$$: ثابت فنر بر حسب نیوتن بر متر
• $$x$$: میزان فشردگی یا کشیدگی فنر بر حسب متر

انرژی پتانسیل کشسانی به‌طور مستقیم به میزان کشش در یک فنر وابسته است، یعنی هر چه میزان کشش بیشتر باشد، انرژی پتانسیل کشسانی نیز بیشتر خواهد بود. در بخش بعد به‌طور خلاصه توضیح می‌دهیم رابطه نیروهای پایستار و انرژی مکانیکی چیست.

انرژی پتانسیل و نیروهای پایستار

پاسخ دقیق‌تر به این پرسش که فرمول انرژی مکانیکی چیست، مستلزم بررسی ارتباط بین نیروهای پایستار (Conservative Forces) و انرژی پتانسیل است. نیروهای پایستار مانند نیروی گرانشی یا نیروی کشسانی فنر، نیرو‌هایی هستند که در آن‌ها کار فقط به موقعیت اولیه و نهایی سیستم بستگی دارد. در نتیجه کار به مسیری که جسم تحت تاثیر نیرو طی می‌کند، وابسته نیست. ویژگی‌های این نیروها عبارت‌اند از:

• کار انجام‌ شده فقط به نقطه شروع و پایان حرکت بستگی دارد، نه مسیر حرکت.
• در صورتی که تمام نیروهای وارد بر سیستمی پایستار باشند، انرژی مکانیکی پایسته می‌ماند.
• می‌توان برای این نیروها فرمول انرژی پتانسیل مشخصی تعریف کرد.

در مقابل، نیروهایی مانند اصطکاک غیرپایستار (Non-conservative) هستند، چون کار این نیروها به مسیر وابسته است و انرژی را به گرما و … تبدیل می‌کنند. اگر نیروی پایستاری به یک سیستم وارد شود، کار را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$W = - ΔU = ΔK$$

که در آن $$ΔU -$$ برابر با منفی تغییرات انرژی پتانسیل و $$ΔK$$ تغییرات انرژی جنبشی است. همچنین می‌توان نیروهای پایستار را بر اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال به‌صورت منفی مشتق مکانی انرژی پتانسیل تعریف کرد:

$$F(x) = - \frac{dU}{dx}$$

این مشتق همچنین می‌تواند به‌صورت انتگرالی نوشته شود:

$$U(x) = -\int_{a}^{b} F(x) dx$$

که ما آن را به عنوان تعریف دیگری از انرژی پتانسیل در نظر می‌گیریم.

انواع انرژی مکانیکی

اگر بخواهیم بهتر متوجه شویم انرژی مکانیکی چیست، باید از بررسی اجزای آن یعنی انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل شروع کنیم. در ادامه چند موقعیت مختلف را عنوان کرده‌ایم که در هر کدام به نوعی انرژی مکانیکی وجود دارد:

• کتاب روی قفسه دارای انرژی پتانسیل است، به دلیل ارتفاع آن از سطح زمین.
• خودروی در حال حرکت دارای انرژی جنبشی است، به دلیل حرکت آن.
• یک توپ بیسبال در مسیر حرکت خود هم انرژی پتانسیل دارد (به دلیل ارتفاع) و هم انرژی جنبشی (به دلیل سرعت).
• وزنه‌بردار زمانی که میله هالتر را بالای سر خود بلند می‌کند، به آن انرژی پتانسیل می‌دهد.
• یک چکش انرژی پتانسیل جمع می‌کند و آن را به انرژی جنبشی تبدیل می‌کند تا میخ را بکوبد.
• یک تفنگ بادی پر شده، دارای انرژی پتانسیل است، زیرا فنر آن فشرده می‌شود.
• یک ترن هوایی روی مسیر خود با انرژی جنبشی حرکت می‌کند. وقتی به بالاترین نقطه می‌رسد، انرژی جنبشی آن به انرژی پتانسیل تبدیل می‌شود و هنگام حرکت مجددا انرژی پتانسیل آن به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود.
• یک آونگ نوسان‌ کننده هم انرژی پتانسیل دارد و هم انرژی جنبشی. انرژی پتانسیل در دو نقطه انتهایی آن بیشینه است و انرژی جنبشی در نقطه تعادل بیشینه می‌شود.

انرژی پتانسیل چیست؟

انرژی پتانسیل همان انرژی ذخیره‌ شده در یک جسم به دلیل موقعیت آن است. انرژی پتانسیل گرانشی ناشی از جاذبه زمین، یکی از رایج‌ترین انواع انرژی پتانسیل است. این انرژی به ارتفاع جسم از سطح زمین بستگی دارد. برای مثال، سیبی که روی درخت قرار دارد دارای بیشترین انرژی پتانسیل است. هنگامی که این سیب سقوط می‌کند، انرژی پتانسیل آن کاهش می‌یابد و زمانی که به سطح زمین می‌رسد، انرژی پتانسیل آن صفر است.

انرژی پتانسیل گرانشی و انرژی پتانسیل کشسانی دو نمونه از رایج‌ترین انواع انرژی پتانسیل‌اند. انرژی پتانسیل گرانشی در اثر ارتفاع گرفتن از سطح زمین در جسم ذخیره می‌شود، در حالی که ذخیره شدن انرژی پتانسیل کشسانی ناشی از تغییر شکل یا دفرمه شدن جسم است.

دقت کنید در دسته‌بندی انواع انرژی، بهتر است انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل را مانند انرژی شیمیایی یا الکتریکی در نظر نگیریم، چرا که این دو فرم‌هایی از انرژی محسوب می‌شوند که برخی از انواع دیگر انرژی نیز ممکن است به خود بگیرند. برای مثال، انرژی الکتریکی هم می‌تواند فرم پتانسیل را به خود بگیرد و هم فرم جنبشی را. بار ذخیره شده در یک میدان الکتریکی مانند بار خازن، نمونه‌ای از انرژی پتانسیل الکتریکی است، در حالی که الکترون‌های در حال حرکت در یک سیم حامل جریان دارای انرژی جنبشی هستند.

این در حالی است که انرژی شیمیایی ذخیره شده در پیوندها کاملا از نوع پتانسیل است. این انرژی طی برهم‌کنش‌های شیمیایی مختلف ممکن است آزاد شود. همچنین انرژی هسته‌ای نیز اغلب فرم پتانسیل به خود می‌گیرد. این انرژی در هسته اتم ذخیره شده و طی فرایندهایی مانند همجوشی یا شکافت هسته‌ای آزاد می‌شود. در بخش بعد یاد می‌گیرید قسمت دیگری از انرژی مکانیکی چیست.

انرژی جنبشی چیست؟

انرژی جنبشی، انرژی‌ای است که جسم به دلیل حرکت خود دارد. می‌دانیم حرکت یک جسم با سرعت آن مشخص می‌شود. مثال بخش قبل را در نظر بگیرید. زمانی که سیب روی درخت قرار دارد، ساکن است و انرژی جنبشی آن صفر است. اما زمانی که سقوط می‌کند، به دلیل شتاب ناشی از گرانش، سرعت می‌گیرد. در نتیجه انرژی جنبشی آن افزایش می‌یابد. این انرژی زمانی که سیب به زمین برخورد می‌کند، به بیشترین مقدار خود می‌رسد.

دقت کنید انرژی گرمایی یا حرارتی که اغلب به تحرک اتم‌ها و مولکول‌های ماده مربوط است، از نوع جنبشی است. این انرژی با افزایش دما زیاد می‌شود، چون با بالا رفتن دما حرکت یا نوسان ذرات سریعتر خواهد شد. در واقع انرژی گرمایی را می‌توانیم انرژی جنبشی میکروسکوپی در نظر بگیریم. همچنین انرژی تابشی یا همان نوری که توسط فوتون‌‌ها حمل می‌شود، فرم جنبشی به خود گرفته است.

در جدول زیر خلاصه کرده‌ایم انواع انرژی در چه شرایطی فرم جنبشی یا پتانسیل به خود می‌گیرند:

پایستگی انرژی مکانیکی

می‌دانیم طبق قانون پایستگی انرژی، انرژی نه ایجاد می‌شود و نه از بین می‌رود، بلکه درون سیستم از یک شکل به شکل دیگر تبدیل می‌شود. در مثال افتادن سیب از روی درخت، انرژی پتانسیل سیب به انرژی جنبشی آن تبدیل می‌شود. بنابراین مجموع انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی سیب در طول مسیر همواره ثابت می‌ماند. در بخش‌های قبل گفتیم این مجموع همان انرژی مکانیکی است.

در هر فرایندی، انرژی مکانیکی اولیه (حالت فرضی اول) با انرژی مکانیکی نهایی (حالت فرضی دوم) برابر است. بنابراین فرمول‌‌های زیر نشان می‌دهند در ریاضیات پایستگی انرژی مکانیکی چیست:

$$E_1 = E_2$$

$$mgh_1 + \frac{1}{2} m v_1^2 = mgh_2 + \frac{1}{2} m v_2^2$$

دقت کنید انرژی مکانیکی تنها زمانی پایسته می‌ماند که نیروی وارد بر جسم نیرویی پایستار باشد. گفتیم نیروی پایستار نیرویی است که کار انجام‌ شده توسط آن به مسیر حرکت بستگی ندارد. در مقابل، نیروهای غیرپایستار یا اتلافی به مسیر حرکت وابسته‌‌اند. در مثال افتادن سیب، نیروی گرانش انرژی پتانسیل را ایجاد می‌کند که یک نیروی پایستار است. اگر نیروهای غیرپایستاری مانند اصطکاک یا مقاومت هوا وجود داشته باشند، انرژی مکانیکی به انرژی گرمایی تبدیل می‌شود. در این حالت با اینکه انرژی مکانیکی پایسته نمی‌ماند، اما انرژی کل همچنان پایسته است.

برای اینکه تاثیر پایستار بودن نیروها در پایستگی انرژی را بهتر درک کنید، از حرکت یک‌ بعدی یک سیستم فرضی مثالی می‌زنیم. فرض کنید جسمی تحت تاثیر نیروی پایستار $$F$$ به اندازه $$Δx$$ جابجا می‌شود. از قضیه کار و انرژی می‌دانیم که کار خالص انجام‌ شده توسط تمام نیروهای وارد بر یک سیستم برابر است با تغییر انرژی جنبشی سیستم:

$$ΔK = F(x) Δx$$

که در آن $$ΔK$$ تغییر انرژی جنبشی سیستم است. با در نظر گرفتن اینکه فقط نیروهای پایستار بر سیستم اثر می‌کنند، داریم:

$$W_{net} = W_c$$

که در آن $$W_c$$ کار نیروهای پایستار است. بنابراین $$ΔK = W_c$$ است. همچنین اگر نیروهای پایستار در یک سیستم کار انجام دهند، سیستم به اندازه کاری که انجام شده، انرژی پتانسیل از دست می‌دهد:

$$W_c = - U$$

این مسئله نشان می‌دهد که انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل کل یک سیستم ثابت می‌ماند، اگر فرایند فقط شامل نیروهای پایستار باشد. یعنی داریم:

$$K + U =$$ ثابت

$$K_i + U_i = K_f + U_f$$

که در آن $$i$$ نشان‌ دهنده مقادیر اولیه و $$f$$ نشان‌ دهنده مقادیر نهایی انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. این قانون فقط تا زمانی معتبر است که نیروها از نوع پایستار باشند. انرژی مکانیکی یک سیستم به‌صورت مجموع انرژی جنبشی کل و انرژی پتانسیل کل تعریف می‌شود. در سیستمی که فقط شامل نیروهای پایستار است، هر نیرو با یک نوع انرژی پتانسیل مرتبط است و انرژی فقط بین انرژی جنبشی و انواع مختلف انرژی پتانسیل جابجا می‌شود، طوری که انرژی کل ثابت باقی می‌ماند. پیشنهاد می‌کنیم برای آشنایی با روش‌های مختلف محاسبه کار، مطلب «محاسبه انتگرال کار – در دو و سه بعد + حل مثال» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

تبدیل انرژی مکانیکی

در بسیاری از دستگاه‌های فنی از تبدیل انرژی مکانیکی به شکل‌های دیگر انرژی و برعکس استفاده می‌شود. در ادامه مثال‌هایی از این کاربرد را فهرست کرده‌ایم:

• در یک موتور الکتریکی مانند پنکه رومیزی، انرژی الکتریکی به انرژی مکانیکی تبدیل می‌شود.
• در یک ژنراتور انرژی مکانیکی به انرژی الکتریکی تبدیل می‌شود.
• یک نیروگاه برق‌آبی انرژی مکانیکی آب ذخیره‌ شده در سد را به انرژی الکتریکی تبدیل می‌کند. این پدیده با نام هیدروالکتریسیته شناخته می‌شود.
• بنزین می‌سوزد و انرژی شیمیایی آزاد می‌کند که به انرژی مکانیکی تبدیل می‌شود تا خودرو را به حرکت درآورد.
• یک توربین بادی انرژی جنبشی باد را به انرژی الکتریکی تبدیل می‌کند.

در فیلم آموزش رایگان انرژی گرمایی + ۳ روش تبدیل آن به انرژی مکانیکی فرادرس می‌توانید با سه روش تبدیل انرژی گرمایی به انرژی مکانیکی آشنا شوید. لینک این آموزش برای شما در ادامه قرار داده شده است:

حل مثال و تمرین در مورد انرژی مکانیکی

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس با حل چند نمونه سوال و استفاده از فرمول‌های گفته شده، بهتر متوجه خواهید شد که انرژی مکانیکی چیست و چگونه از بقای آن در حل مسائل استفاده می‌شود.

مثال ۱

فرض کنید توپی مطابق شکل با جرم $$m$$ از بالای یک صخره با ارتفاع $$H$$ رها می‌شود. انرژی مکانیکی این توپ را در ارتفاع $$H$$ و $$h$$ و هنگام برخورد با زمین محاسبه کنید:

پاسخ

در ارتفاع $$H$$ انرژی پتانسیل برابر است با $$mgH$$، در حالی که انرژی جنبشی صفر است. در واقع در این ارتفاع جسم از بالای صخره رها شده است. رها شدن به معنای سرعت اولیه صفر است ($$v_0 = 0$$). زمانی که جسمی را در ارتفاع مشخصی در دست نگه داشته‌ایم، این جسم فقط انرژی پتانسیل در خورد ذخیره می‌کند و انرژی جنبشی ندارد. به این ترتیب انرژی مکانیکی در ارتفاع $$H$$ برابر می‌شود با:

$$E = K + U = 0 + mgH = mgH$$

در ارتفاع $$h$$ انرژی پتانسیل $$mgh$$ می‌شود، اما انرژی جنبشی دیگر صفر نیست. طبق فرمول انرژی جنبشی برابر می‌شود با $$\frac{1}{2} mv_t^2$$. از طرفی طبق معادلات سرعت، می‌توانیم با در نظر گرفتن سرعت اولیه صفر در ارتفاع $$H$$ و سرعت نهایی $$v_t$$ در ارتفاع $$h$$ بنویسیم:

$$v_t = \sqrt{2 g (H-h)}$$

پس انرژی جنبشی برابر می‌شود با:

$$\frac{1}{2} m(\sqrt{2 g (H-h)})^2$$

$$\frac{1}{2} m(2gH - 2gh)$$

$$mgH - mgh$$

در نهایت انرژی مکانیکی در ارتفاع $$h$$ برابر می‌شود با:

$$E = K + U = mgH - mgh + mgh = mgH$$

هنگام برخورد با زمین انرژی پتانسیل صفر است، چون جرم دیگر هیچ ارتفاعی ندارد که بتواند این انرژی را در خود ذخیره کند. انرژی جنبشی نیز برابر می‌شود با $$\frac{1}{2} mv^2$$ که مانند ارتفاع قبلی، بهتر است ابتدا سرعت $$v$$ را در لحظه برخورد با زمین پیدا کنیم. با در نظر گرفتن سرعت اولیه صفر در در ارتفاع $$H$$ و سرعت نهایی $$v$$ در ارتفاع صفر، معادله سرعت به شکل زیر می‌شود:

$$v = \sqrt{2 g H}$$

پس انرژی جنبشی برابر می‌شود با:

$$\frac{1}{2} m(\sqrt{2 g H})^2$$

$$\frac{1}{2} m(2gH)$$

$$mgH$$

به این ترتیب انرژی مکانیکی در لحظه برخورد با زمین برابر می‌شود با:

$$E = K + U = mgH +0 = mgH$$

مثال ۲

فرض کنید یک توپ $$6 \ kg$$ از بالای یک سطح شیبدار بدون اصطکاکی رها می‌شود. سرعت نهایی این توپ چقدر است اگر شتاب جاذبه زمین را $$9.8 \ \frac{m}{s^2}$$ در نظر بگیریم؟

پاسخ

برای حل این سوال می‌توانیم از پایستگی انرژی مکانیکی استفاده کنیم. با در نظر گرفتن موقعیت توپ در بالای سطح شیبدار و هنگام رها شدن به عنوان موقعیت اولیه و لحظه برخورد با زمین به عنوان موقعیت نهایی، داریم:

$$mgh_1 + \frac{1}{2} m v_1^2 = mgh_2 + \frac{1}{2} m v_2^2$$

$$6 \times 9.8 \times 15 + 0 = 0 + \frac{1}{2} \times 6 \times v_2^2$$

دقت کنید در لحظه رها شدن، سرعت اولیه توپ را داریم که برابر با صفر است. همچنین در لحظه برخورد توپ با زمین ارتفاع نهایی آن صفر است:

$$8.8 \times 10^2 = 3 v^2$$

$$v^2 = \frac{8.8 \times 10^2}{3}$$

$$v = 17 \frac{m}{s}$$

مثال ۳

آونگی با جرم $$m$$ طبق شکل زیر از موقعیت یک رها شده و حرکت رفت و برگشتی بدون اصطکاکی دارد. انرژی مکانیکی کل این آونگ را محاسبه کنید:

پاسخ

با توجه به شکل بالا سعی می‌کنیم انرژی مکانیکی را برای هر کدام از سه موقعیت شماره‌گذاری شده پیدا کنیم. از اولین موقعیت شروع می‌کنیم، جایی که گلوله آونگ رها می‌شود، پس سرعت اولیه و در نتیجه انرژی جنبشی در این نقطه صفر است. در این نقطه فقط انرژی پتانسیل داریم:

$$K_1 = 0$$

$$U_1 = mgh = mg(L-G)$$

در نقطه ۱ گلوله آونگ در ارتفاع $$h$$ از سطح زمین نگه داشته شده است. پس دارای انرژی پتانسیل گرانشی است. حالا بهتر است ارتفاع $$h$$ را بر حسب زاویه داده شده بنویسیم:

$$U_1 = mg(L-L \cos \theta)$$

$$U_1 =mgL-mg L \cos \theta$$

دقت کنید برای محاسبه انرژی پتانسیل که در اینجا از نوع گرانشی است، لازم است محور افقی زمین را به عنوان جایی که $$h = 0$$ است، تعریف کنیم. به این ترتیب گلوله آونگ در موقعیت اولیه خود در ارتفاع $$h$$ نسبت به سطح زمین قرار گرفته است. طول آونگ نیز برابر با $$L$$ است. حالا می‌رویم سراغ دومین نقطه. در این موقعیت گلوله روی سطح زمین است، یعنی هیچ ارتفاعی ندارد. پس هیچ انرژی پتانسیل گرانشی در آن ذخیره نشده است. اما انرژی جنبشی آن مخالف صفر است:

$$U_2= 0$$

$$K_2 = \frac{1}{2} m v^2$$

هیچ نشانه‌ای برای یافتن سرعت در این نقطه وجود ندارد، جز اینکه از قانون پایستگی انرژی مکانیکی استفاده کنیم. با در نظر گرفتن نقاط یک و دو به عنوان موقعیت‌های اولیه و نهایی، داریم:

$$mgL-mg L \cos \theta + 0 = 0 + K_2$$

بنابراین $$K_2$$ برابر می‌شود با $$mgL-mg L \cos \theta$$. همچنین برای نقطه سوم نیز شرایط کاملا مشابه با نقطه اول است، چون مجددا گلوله آونگ به ارتفاع $$h$$ بازمی‌گردد و در این ارتفاع برای یک لحظه ساکن می‌ماند:

$$K_3 = 0$$

$$U_3 = mgL-mg L \cos \theta$$