امپدانس ذاتی محیط – به زبان ساده

در ادامه این مقاله با ما همراه باشید تا با زبانی ساده به بررسی امپدانس ذاتی محیط و عوامل موثر در آن بپردازیم.

معادلات ماکسول

$$\large \triangledown.D=\rho$$
(1)

$$\large \triangledown.B=0$$
(2)

$$\large \triangledown \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$$
(3)

$$\large \triangledown \times H=\frac{\partial D}{\partial t}+J$$
(4)

در معادلات فوق $$D$$ جا‌به‌جایی الکتریکی، $$\rho$$ چگالی بار، $$B$$ چگالی شار مغناطیسی، $$H$$ شدت میدان مغناطیسی، $$E$$ شدت میدان الکتریکی و $$J$$ چگالی جریان الکتریکی است.

معادلات مذکور در محیطی همسانگرد (Isotropic)، همگن (Homogeneous)، نارسانا (Nonconducting) و بدون بار (Uncharged) نظیر شیشه به شکل زیر در می‌آیند:

$$\large \epsilon \triangledown.D=0$$
(5)

$$\large \mu \triangledown.H=0$$
(6)

$$\large \triangledown \times E=-\mu \frac{\partial H}{\partial t}$$
(7)

$$\large \triangledown \times H=\epsilon \frac{\partial E}{\partial t}$$
(8)

اگر عبارات توصیفی بالا برای محیط شرطی برایتان نامفهوم است، تعاریف زیر را به خاطر بسپارید:

• محیط همگن: محیطی را همگن می‌گویند که در آن میدان الکتریکی $$E$$ و قطبش $$P$$ وابسته به مکان نباشند.
• محیط همسانگرد: محیطی را همسانگرد می‌گویند که در آن بردار قطبش $$P$$ به جهت بردار $$E$$ وابسته نباشد. به عبارت دیگر، دو بردار موازی باشند.

$$\large \triangledown^{2} E=\epsilon \mu \frac{\partial{^2}E}{\partial t^{2}}$$
(9)

سرعت موج

عبارت ($$\epsilon \mu$$) در معادله (9)، مرتبط به سرعت موج در محیط است که از طریق فرمول زیر بیان می‌شود:

$$v^{2}=\frac{1}{\epsilon\mu}$$
(10)

فیلم آموزش امواج و ارتعاشات در فرادرس

کلیک کنید

اگر معادله موج (9) را در محیط خلأ بنویسیم، عبارت $$\epsilon \mu$$ به فرم $$\epsilon_{0} \mu_{0}$$ در آمده که به سرعت موج الکترومغناطیسی در خلأ ارتباط دارد. با جایگذاری مقدار عددی ضریب نفوذپذیری الکتریکی $$\epsilon_{0}$$ و ضریب نفوذپذیری (تراوایی) مغناطیسی $$\mu_{0}$$، مطابق با انتظار، این سرعت برابر با سرعت نور می‌شود.

$$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}=3\times 10^{8} \ \frac{m}{s}$$
(11)

$$v=\frac{c}{n}$$
(12)

حال از رابطه فوق و (10)، می‌توانیم نسبت سرعت موج در دو محیط مختلف را به شکل زیر بنویسیم:

$$\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{2}\mu_{2}}{\epsilon_{1}\mu_{1}}}$$
(13)

در صورتی که دو محیط (ماده) مغناطیسی نباشند، می‌توان ضریب نفوذپذیری (تراوایی) مغناطیسی را برای هر دو محیط $$\mu=\mu_{0}$$ در نظر گرفت. در نتیجه:

$$\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}=\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}}$$
(14)

نتیجه جالب توجهی که می‌توان از رابطه فوق گرفت، رسیدن به رابطه‌ای جهت محاسبه ضریب شکست محیط است. در واقع اگر محیط $$n_{1}$$ را خلأ فرض کنیم، $$\epsilon_{1}\equiv\epsilon_{0}$$ شده و در نتیجه:

$$n=\sqrt{\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}}$$
(15)

حال اگر از طرفین رابطه (8)، کرل گرفته و مولفه $$E$$ را حذف کنیم، به معادله موج مغناطیسی زیر می‌رسیم.

$$\large \triangledown^{2} H=\epsilon \mu \frac{\partial{^2}H}{\partial t^{2}}$$
(16)

نتایجی که برای سرعت انتشار موج و ضریب شکست در فوق حاصل شد، از رابطه (16) نیز قابل حصول هستند.

امپدانس ذاتی محیط یا امپدانس موج (Wave Impedance)

با پیش گرفتن رویکرد خطی در امواج صفحه‌ای الکترومغناطیسی عرضی (Transverse Electro Magnetic : TEM) تک رنگ (تک فرکانس) می‌توانیم دو معادله (7) و (8) را به فرم زیر بنویسیم.

$$k\times E_{0}=\omega\mu H_{0}$$
(17)

$$k\times H_{0}=-\omega\mu E_{0}$$
(18)

از دو رابطه فوق، نسبت اندازه دامنه‌های امواج الکتریکی و مغناطیسی، یعنی $$\frac{E_{0}}{H_{0}}$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت ($$k$$ عمود بر $$E$$ و $$H$$ است):

$$H_{0}=(\frac{k}{\omega\mu})E_{0}$$
(19)

$$H_{0}=(\frac{\omega\epsilon}{k})E_{0}$$
(20)

$$\Rightarrow \frac{\omega\epsilon}{k}=\frac{k}{\omega\mu}\rightarrow k^{2}=\omega^{2}\epsilon\mu\rightarrow k=\omega\sqrt{\epsilon\mu}=\frac{\omega}{v}=n\frac{\omega}{c}$$
(21)

$$\Rightarrow \frac{E_{0}}{H_{0}}=\frac{\omega\mu}{k}=c\mu=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$$
(22)

نسبت $$\frac{E_{0}}{H_{0}}$$، به امپدانس ذاتی محیط یا امپدانس مشخصه موسوم است که غالباً با η یا $$Z$$ نمایش داده می‌شود. با نوشتن این نسبت برای موج الکترومغناطیسی که در خلأ منتشر می‌شود، امپدانس ذاتی خلأ به صورت زیر نتیجه می‌شود:

$$\eta_{0}=\frac{E_{0}}{H_{0}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}}=120\pi=377 \ Ω$$
(23)

امپدانس ذاتی یک محیط را می‌توان بر حسب ضریب شکست آن محیط به شکل زیر نوشت:

$$\eta=\frac{\eta_{0}}{n}$$
(24)

همچنین شدت موج الکترومغناطیسی بر حسب امپدانس ذاتی (مشخصه) محیط به شکل زیر در می‌آید.

$$I=\frac{|E_{0}|^{2}}{2\eta}$$
(25)

لازم به ذکر است که امپدانس ذاتی یا مشخصه در اینجا به امپدانس موج نیز معروف است. امپدانس موج در حالت کلی‌تر با در نظر گرفتن خواص الکتریکی محیط، به صورت زیر در می‌آید (σ ضریب رسانایی $$J=\sigma E \leftarrow$$):

$$Z=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}$$
(26)

در واقع رابطه (22) نیز خود حالت خاصی از معادله‌ (۲۷) است که در آن دامنه‌های مولفه $$E$$ و $$H$$ هم‌زمان به صفر و مقدار ماکزیمم خود می‌رسند. در این حالت، $$\omega\epsilon \ >> \ \sigma$$ بوده و در نتیجه:

$$Z=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}} \ \ \ \ , \ \ \ if \ : \ \omega\epsilon \ >> \ \sigma \ \ \Rightarrow \ Z=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}$$
(27)

برای حالت شبه‌استاتیک (Quasi-Static Approximation)، یعنی زمانی که مولفه‌های $$E$$ و $$H$$ به اندازه $$\frac{\pi}{4}$$ با یکدیگر اختلاف فاز دارند (شکل 7)، امپدانس موج یا امپدانس ذاتی محیط به شکل زیر در می‌آید ($$\omega\epsilon << \ \sigma$$):

$$Z=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}} \ \ \ \ , \ \ \ if \ : \ \omega\epsilon \ << \ \sigma \ \ \Rightarrow \ Z=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma}}=\frac{\omega\mu}{\sqrt{-j\omega\mu\sigma}}$$
(28)

امپدانس موج در محیط دی‌الکتریک

$$Z=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}\epsilon_{r}}}=\frac{Z_{0}}{\sqrt{\epsilon_{r}}}=\frac{377}{\sqrt{\epsilon_{r}}} \ Ω$$
(29)

امپدانس موج در موجبر

امواج الکترومغناطیسی که در موجبر‌ها نیز منتشر می‌شوند، در مقابل خود مقاومت یا امپدانس احساس می‌کنند. امپدانس موج برای امواج منتشر شده در داخل موجبرها با هر نوع ساختاری (استوانه‌ای، مستطیلی و ...) به فرکانس موج و فرکانس قطع (cut-off frequency) بستگی دارد. فرکانس قطع، حداقل فرکانسی است که موج جهت انتشار در موجبر باید داشته باشد.

امپدانس موج برای مد عرضی میدان الکتریکی (Transverse Electric : TE) در یک موجبر مستطیلی به صورت زیر تعریف می‌شود.

$$Z_{TE}=\frac{Z_{0}}{\sqrt{1-(\frac{f_{c}}{f}})^{2}}$$
(30)

در رابطه فوق، $$Z_{0}$$ امپدانس ذاتی خلأ با مقدار 377 اهم و $$f_{c}$$ فرکانس قطع موجبر است. همچنین برای مد عرضی میدان مغناطیسی (Transverse Magnetic : TM)، امپدانس موج برای یک موجبر مستطیلی به شکل زیر است:

$$Z_{TM}=Z_{0}\sqrt{1-(\frac{f_{c}}{f}})^{2}$$
(31)

در دو رابطه فوق، اگر فرکانس موج منتشر شده، بیشتر از فرکانس قطع باشد ($$f \ > \ f_{c}$$)، امپدانس موج حقیقی شده و محیط مشابه یک مقاومت است. در این صورت موج حامل انرژی است. در فرکانس‌های زیر فرکانس قطع نیز، امپدانس موهومی (مقاومت واکنشی) است و موج به مرور محو شده (انرژی از دست می‌دهد) و توانایی انتشار در آن موجبر را ندارد. این امر برای انتقال موج در مسیر‌های طولانی حائز اهمیت است.

یک مثال نام آشنا برای مهندسان، امپدانس مرسوم 50 اهم کابل‌های کواکسیال (Coaxial cable) است. در حوزه مخابرات، به خصوص مخابرات فرکانس بالای میکروویو (microwave communication)، از کابل‌های کواکسیال به وفور استفاده می‌شود. همچنین در این حوزه، تطبیق امپدانس خطوط انتقال بحث مهمی است که جهت انتشار مناسب امواج الکترومغناطیسی باید رعایت شود. با این تعریف آنتن را می‌توان وسیله‌ای در نظر گرفت که میان فضای آزاد با امپدانس 377Ω و موجبر استوانه‌ای (کابل کواکسیال) 50Ω عمل تطبیق امپدانس را انجام می‌دهد.

اگر مطالب ارائه شده در این مقاله برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مخابرات فیبر نوری -- به زبان ساده
• فیبر نوری -- به زبان ساده
• امواج رادیویی -- به زبان ساده

^^