اعداد با توان کسری | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، به اعدادی پرداختیم که توان آن‌ها منفی است و روش محاسبه این اعداد را بررسی کردیم. در این آموزش، با روش محاسبه عباراتی با توان کسری آشنا می‌شویم.

توان کسری و رادیکال

در آموزش رادیکال از مجله فرادرس با رابطه بین رادیکال و توان آشنا شدیم. دیدیم که یک رادیکال توان را نتیجه می‌دهد و با توان نیز می‌توان یک ریشه رادیکالی را بیان کرد.

برای مثال:

اما رابطه دیگری نیز وجود دارد که با استفاده از آن می‌توانیم محاسبات را ساده‌تر انجام دهیم.

هر عدد با توان کسری را می‌توان با یک عدد رادیکالی نیز نشان داد. عکس این مطلب نیز صحیح است. یعنی هر رادیکال با فرجه و توان مشخص را می‌توان در قالب یک عدد با توان کسری نوشت. رابطه عدد با توان کسری و رادیکال به شکل زیر است:

برای جذر یا همان ریشه دوم، توان یک‌دوم را می‌توانیم به فرم زیر بنویسیم:

$$\large \sqrt { 2 } = 2 ^ { \frac 12}$$

یا

$$\large \sqrt { 4 } = 4 ^ \frac 12$$

برای ریشه سوم نیز داریم:

$$\large \sqrt [3] 8 = 8 ^ { \frac 13} = 2$$

ریشه چهارم را نیز می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$\large \sqrt [4] 81 = 81 ^ { \frac 14} = 3$$

به همین ترتیب، ریشه پنجم عدد برابر با عدد با توان یک‌پنجم است و به همین صورت ادامه پیدا می‌کند.

به دو مثال ابتدای متن دقت کنید. این دو مثال را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

همه ما با توان‌های صحیح (مثبت و منفی) آشنایی داریم.

چگونه اعداد با توان کسری را ساده کنیم؟

پرسشی که اغلب پیش می‌آید، این است که یک عدد با توان کسری را چگونه ساده کنیم و به صورت یک عدد بدون توان بنویسیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی + گواهینامه در فرادرس

کلیک کنید

یا اینکه چگونه اعداد با توان کسری را با ماشین‌حساب‌های ساده محاسبه کنیم. کار ساده است. یک راه آسان این است که اعداد با توان کسری را به صورت رادیکال بنویسیم.

برای مثال، عدد زیر را در نظر بگیرید که توان آن کسری است:

$$\large 8 ^ {\frac 23 }$$

یک راه این است که این عدد را به صورت رادیکالی زیر بنویسیم:

گاهی برای ساده‌سازی اعداد می‌توانیم آن‌ها را به صورت توانی بنویسیم و توان را اعمال کنیم.

$$\large 8 ^ \frac 23 = ( 2 ^ 3 )^ \frac 23 = 2 ^ \frac {2 \times 3 } { 3 } = 2 ^ 2 = 4$$

نکته: دقت کنید که برای اعمال توان، ابتدا از داخلی‌ترین پرانتز شروع می‌کنیم.

ضرب اعداد با توان کسری

ضرب اعداد با توان کسری، مشابه ضرب اعداد با توان صحیح است. بدین معنا که اگر پایه دو عدد مشابه باشد، نمای آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم. یعنی، برای ضرب دو عدد $$x ^ \frac m n$$ و $$x ^ \frac p q$$، داریم:

$$\large x ^ \frac m n \times x ^ \frac p q = x ^ { (\frac m n + \frac p q ) }$$

مثال ضرب اعداد با توان کسری

حاصل ضرب زیر را به دست آورید:

$$\large 5 ^ \frac 14 \times 5 ^ \frac 12$$

حل: چون مبنای دو عدد یکسان هستند، توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم:

$$\large 5 ^ \frac 14 \times 5 ^ \frac 12 = 5 ^ {(\frac 14 + \frac 12)} = 5 ^ \frac 3 4$$

تقسیم اعداد با توان کسری

تقسیم اعداد با توان کسری نیز مشابه تقسیم اعداد با توان صحیح است. بدین معنا که اگر پایه دو عدد مشابه باشد، نمای آن‌ها را از هم کم می‌کنیم. یعنی، برای تقسیم دو عدد $$x ^ \frac m n$$ و $$x ^ \frac p q$$، داریم:

$$\large x ^ \frac m n \div x ^ \frac p q = x ^ { (\frac m n - \frac p q ) }$$

مثال تقسیم اعداد با توان کسری

حاصل تقسیم زیر را به دست آورید:

$$\large 16 ^ \frac 12 \div 16 ^ \frac 14$$

حل: با توجه به قانون تقسیم اعداد با توان کسری، داریم:

$$\large 16 ^ \frac 12 \div 16 ^ \frac 14 = 16 ^ {(\frac 24-\frac 14 ) } = 16 ^ \frac 14 = (2 ^ 4 ) ^ \frac 14 = 2$$

توان کسری منفی

اگر توان کسری $$\frac m n$$ و همچنین، عدد $$x$$ مثبت باشند، آنگاه توان برای محاسبه اعدادی با توان کسری منفی می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$\large x ^ {-\frac m n } = \frac { 1 } { x ^ \frac m n} = (\frac 1 x ) ^ \frac m n$$

در حالت کلی، اگر عدد کسری $$\frac a b$$ به توان کسر منفی $$- \frac m n$$ برسد، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large ( \frac a b ) ^ {-\frac m n }= (\frac b a ) ^ \frac m n$$

در فرمول‌های بالا از این نکته استفاده شده که هر عدد به توان یک عدد منفی، برابر با وارون آن عدد به همان توان با علامت مثبت است.

مثال اول توان کسری منفی

عدد زیر را ساده کنید:

$$\large 9 ^ { - \frac 1 2 }$$

حل: با توجه به آنچه گفتیم، این عدد به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large 9 ^ { - \frac 1 2 } = \frac { 1 } { 9 ^ \frac 12 } = (\frac 1 9 ) ^ \frac 12 = [(\frac 13) ^ 2 ] ^ \frac 12 = (\frac 13 ) ^ 1 = \frac 13$$

مثال دوم توان کسری منفی

عدد زیر توان کسری منفی زیر را ساده کنید:

$$\large ( \frac { 2 7 } { 125 } ) ^ { - \frac 4 3 }$$

حل: با استفاده از قاعده توان منفی، عبارت بالا به صورت زیر ساده می‌شود:

$$\large \begin {align*} ( \frac { 2 7 } { 125 } ) ^ { - \frac 4 3 } & = (\frac {125 } { 27 })^ \frac 43 = (\frac { 5 ^ 3 } { 3 ^ 3 } ) ^ \frac 43 = [(\frac 53)^3] ^ \frac 43 = (\frac 53) ^ 4 \\ &= \frac {(5\times 5\times 5\times 5)}{(3\times 3 \times 3 \times 3 ) } = \frac {625}{81} \end {align*}$$

توان کسری در ماشین حساب

برای مثال اگر بخواهیم عبارت $$(- 8 ) ^ \frac 23$$ را در ماشین‌حساب محاسبه کنیم، باید آن را به صورت زیر بنویسیم.

البته دقت کنید که گاهی تنظیمات ماشین‌حساب به گونه‌ای است که ممکن است عدد به دست آمده درست نباشد. برای مثال، ممکن است یک عدد مختلط یا حتی خطا را نتیجه دهد. بنابراین، حتماً از صحت تنظیمات ماشین‌حساب مطمئن باشید. شکل زیر این مورد را نشان می‌دهد.

البه در این موارد، با اندکی تغییرات در نحوه وارد کردن عملگرها، می‌توان به نتیجه صحیح دست یافت. شکل زیر نشان می‌دهد که با تغییر در فرمول‌نویسی، نتیجه صحیح ۴ به دست آمده است.

چند مثال از توان کسری

در این بخش، چند مثال متنوع را حل می‌کنیم.

مثال اول توان کسری

عبارت $$\left ( ( - 8 ) ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } }$$ را ساده کنید.

حل: این مثال نکته مهمی دارد. در نکاه نخست، ممکن است با استفاده از قانون توان بگوییم که جواب به صورت زیر است:

$$\large \left ( ( - 8 ) ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } = ( - 8 ) ^ { 2 \times \frac { 3 } { 2 } } = ( - 8 ) ^ 3 = - 5 1 2$$

اما این جواب غلط است.

طبق قاعده ترتیب عملیات، باید ابتدا پرانتز داخلی را محاسبه کنیم و پس از آن سراغ سایر محاسبات برویم. بنابراین، جواب صحیح این مثال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin {aligned} \left ( ( - 8 ) ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } & = ( 6 4 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \\ & = \sqrt { 6 4 ^ 3 } \\ & = 8 ^ 3 \\ & = 5 1 2 \end {aligned}$$

مثال دوم توان کسری

حاصل عبارت $$\sqrt { 1 2 5 ^ { \frac { 2 } { 3 } } }$$ را محاسبه کنید.

حل: این عبارت به صورت زیر ساده می‌شود:

مثال سوم توان کسری

مقدار $$x$$ را از معادله زیر به دست آورید.

$$\large 5 ^ { \frac { 2 } { 3 } } = \left ( \sqrt [ 3 ] { 5 } \right ) ^ x$$

حل: از آنجا که $$5 ^ { \frac { 2 } { 3 } } = \left ( 5 ^ { \frac { 1 }{ 3 } } \right ) ^ 2 = \left ( \sqrt [ 3 ] { \small5 ^ 1 } \right ) ^ 2 = \left ( \sqrt [ 3 ] { 5 } \right ) ^ 2$$، با برابر قرار دادن آن با $$\left ( \sqrt [ 3 ] { 5 } \right ) ^ x$$ مقدار $$x = 2$$ را به دست می‌آوریم.

مثال چهارم توان کسری

عبارت $$27 ^ { - \frac { 2 } { 3 } }$$ را ساده کنید.

حل: جواب این مثال به صورت زیر است:

$$\large 2 7 ^ { - \frac { 2 } { 3 } } = \left ( 3 ^ 3 \right ) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } = 3 ^ { 3 \times \left ( - \frac { 2 }{ 3 } \right ) } = 3 ^ { - 2 } = \left ( 3 ^ { 2 } \right ) ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 3 ^ 2} = \frac { 1 } { 9 } .$$

مثال پنجم توان کسری

مقدار $$a$$ را در معادله زیر به دست آورید:

حل: سمت راست معادله به صورت زیر ساده می‌شود:

بنابراین، با برابر قرار دادن آن با سمت راست معادله، یعنی $$\left ( a ^ 3 \right ) ^ \frac { 1 } { 1 5 }$$، جواب $$a = 4$$ به دست خواهد آمد.

مثال ششم توان کسری

عبارت $$\displaystyle { a } ^ { { { 3 } \text{/} { 4 } } }{ a } ^ { { { 4 } \text {/} { 5 } } }$$ را ساده کنید.

حل:‌ ساده شده این عبارت به صورت زیر است:

$$\large { a } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } } } { a } ^ { { \frac { 4 } { { 5 } } } }= { a } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } + \frac { 4 }{ { 5 } } } } = { a } ^ { { \frac { 3 1 } { { 20 } } } }$$

مثال هفتم توان کسری

عبارت زیر را ساده کنید:

$$\large { \left ( \frac { { {4 } ^ { { - \frac { 3 } { { 2 } } } } { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } { y } ^ { { - \frac { 7 } { { 4 } } } } } } { { { 2 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { x } ^ { { -\frac { 1 } { { 3 } } } } { y } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } }$$

حل: شاید در ابتدا ظاهر این عبارت ترسناک و دشوار به نظر برسد، اما با قواعدی که یاد گرفته‌ایم و پیاده‌سازی گام به گام آن‌ها به راحتی می‌توانیم این عبارت را ساده کنیم.

ابتدا توان‌های منفی را مثبت می‌کنیم. برای این کار، کافی است عباراتی را که توان منفی دارند، از صورت به مخرج و بالعکس جابه‌جا کنیم. در این صورت، خواهیم داشت:

$$\large = { \left ( \frac { { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } { x } ^ { { \frac { 1 } { { 3 } } } }} } { { { 2 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { 4 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { y } ^ { { \frac {3 } { { 4 } } } } { y } ^ { { \frac { 7 }{ { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } }$$

اکنون، جملات با پایه‌های مشابه ($$x$$ و $$y$$) را ساده می‌کنیم:

$$\large = { \left ( \frac { { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } + \frac { 1 } { { 3 } } } } } } { { { \left ( { 2 } \times { 4 } \right ) } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { y } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } + \frac { 7 } { { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } = { \left ( \frac { x } { { { 8 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { y } ^ { { \frac { 1 0 } { { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } }$$

گام نهایی، اعمال توان کسری به عبارت است:

$$\large = \frac { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } } { { { 8 } ^ { { { \left ( \frac { 3 } { { 2 } } \times \frac { 2 } { { 3 } } \right ) } } } { y } ^ { { { \left ( \frac { 1 0 } { { 4 } } \times \frac { 2 } { { 3 } } \right ) } } } } } = \frac { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } } { { { 8 } { y } ^ { { \frac { 5 } { { 3 } } } } } }$$

مثال هشتم توان کسری

حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$\large \frac { { { 1000 } ^ { { { 1 } \text {/} { 3 } } } } } { { { 4 0 0 } ^ { { - { 1 } \text {/} { 2 } } } } }$$

حل: با توجه به نکاتی که گفتیم، این عبارت به صورت زیر ساده می‌شود:

$$\large \frac { {1000} ^ { { { 1 } \text {/} { 3 } } } }{ { { 4 0 0 } ^ { { - { 1 } \text {/} { 2 } } } } } ={ 1 0 } \times { 4 0 0 } ^ { { { 1 } \text {/} { 2 } } } = { 1 0 } \times { 2 0 } = { 2 0 0 }$$