تنش سه محوری و مفاهیم مرتبط با آن – به زبان ساده

مولفه‌های تنش سه‌محوری

تنش‌های برشی ماکسیمم

فیلم آموزش مقاومت‌ مصالح 1 و 2 در فرادرس

کلیک کنید

به این ترتیب، برای ماده‌ای که تحت تنش سه محوری قرار دارد نیز تنش‌های برشی ماکسیمم در زاویه 45 درجه نسبت به محورهای y ،x و z رخ می‌دهند.

اگر المانی به اندازه 45 درجه نسبت به محور z دَوران یابد، تنش‌های برشی ماکسیمم مثبت و منفی اعمال شده بر روی آن از طریق رابطه زیر محاسبه می‌شوند:

به همین ترتیب، در صورت دوران المان حول محورهای x و y تحت زاویه 45 درجه، تنش‌های برشی ماکسیمم به کمک روابط زیر به دست می‌آیند:

شکل زیر، دایره‌های مربوط به المان‌های دوران‌یافته حول محورهای y ،x و z به ترتیب با حروف C ،B و A نشان داده شده‌اند. توجه داشته باشید که رسم دایره A با در نظر گرفتن شرط σ_x>σ_y و همچنین کششی بودن تنش‌های σ_x و σ_y صورت گرفته است.

شعاع هر یک از این دایره‌ها با تنش‌های برشی ماکسیمم و شعاع بزرگ‌ترین دایره با تنش برشی ماکسیمم مطلق برابر است. مقادیر تنش‌های نرمال اعمال شده بر روی صفحات دربرگیرنده تنش‌های برشی ماکسیمم نیز با طول مرکز هر دایره بر روی محور افقی دستگاه مختصات برابری می‌کنند.

در این مقاله، وضعیت تنش تنها بر روی صفحات دوران‌یافته حول محورهای y ،x و z مورد تحلیل قرار گرفت. در این حالت، تمام صفحات مورد بررسی با یکی از محورهای مختصات موازی هستند. به عنوان مثال، صفحه مورب نمایش داده شده در شکل زیر با محور z و بردار نرمال آن با صفحه xy موازی است.

امکان در نظر گرفتن صفحاتی که با هیچ‌یک از محورهای مختصات موازی نباشند نیز وجود دارد. در این حالت، مقادیر تنش‌های نرمال و برشی اعمال شده بر روی صفحات مورد بررسی از طریق تحلیل‌های سه‌بعدی پیچیده‌تر به دست می‌آیند. اگرچه، مقادیر تنش‌های نرمال اعمال شده بر روی این صفحات در محدوده‌ای بین تنش‌های اصلی ماکسیمم و مینیمم قرار خواهند گرفت. به علاوه، مقادیر تنش‌های برشی نیز کوچک‌تر از تنش برشی ماکسیمم مطلق خواهند بود.

قانون هوک برای تنش سه محوری

به این ترتیب، روابط زیر برای محاسبه کرنش‌های حاصل از تنش‌های سه‌محوری مورد استفاده قرار می‌گیرند:

در روابط بالا از قواعد علامت‌گذاری استاندارد استفاده شده است (علامت مثبت برای تنش کششی σ و کرنش کششی ε). به منظور محاسبه تنش‌ها با توجه به مؤلفه‌های کرنش نیز می‌توان از روابط زیر استفاده کرد:

روابط ارائه شده در این بخش با عنوان قانون هوک برای حالت تنش سه‌محوری شناخته می‌شوند. با جایگذاری مقدار σ_z=0 در روابط بالا، معادلات قانون هوک برای حالت تنش دومحوری به دست می‌آیند.

تغییرات حجم واحد

در حالت تنش سه‌محوری، تغییرات حجم واحد یا «اتساع» (Dilatation) برای المانی که تحت کرنش‌های نرمال ε_y ،ε_x و ε_z قرار دارد، به صورت زیر تعیین می‌شود:

فیلم آموزش مقاومت مصالح ۲ در فرادرس

کلیک کنید

در هنگام رخ دادن کرنش‌های کوچک می‌توان این رابطه را برای تمام مواد مورد استفاده قرار داد. اگر ماده از قانون هوک پیروی کند، با جایگذاری کمیت‌های تنش به جای کرنش به رابطه زیر می‌رسیم:

دو رابطه ارائه شده در این بخش، برای محاسبه اتساع در حالت تنش سه‌محوری با توجه به کمیت‌های کرنش و تنش مورد استفاده قرار می‌گیرد.

چگالی انرژی کرنشی

در صورت سه‌محوری بودن حالت تنش، رابطه چگالی انرژی کرنشی به صورت زیر نوشته می‌شود:

با جایگزین کردن مؤلفه‌های کرنش با تنش (با استفاده از قانون هوک)، رابطه‌ای برای محاسبه چگالی انرژی کرنشی بر حسب مؤلفه‌های تنش به دست می‌آید:

به طور مشابه، با جایگزین کردن مؤلفه‌های تنش با کرنش (با استفاده از قانون هوک)، رابطه‌ای برای محاسبه چگالی انرژی کرنشی بر حسب مؤلفه‌های کرنش به دست می‌آید:

توجه داشته باشید که باید در هنگام جایگزین کردن مؤلفه‌های تنش و کرنش، از علامت مناسب آن‌ها استفاده کرد.

تنش کروی

اگر تمامی تنش‌های نرمال اعمال شده بر روی یک المان با هم برابر باشند، یک حالت خاص از تنش سه‌محوری به نام «تنش کروی» (Spherical Stress) رخ می‌دهد:

در این حالت، تمامی مقاطع المان در معرض تنش نرمال σ₀ قرار خواهند گرفت. به علاوه، هیچ کرنش برشی بر روی المان اعمال نخواهد شد. با وجود تنش‌های نرمال برابر در تمام جهات و صفر بودن تنش‌های برشی در تمام نقاط، هر صفحه مورد نظر به عنوان یک صفحه اصلی در نظر گرفته می‌شود.

به علاوه، دوایر مور نیز به یک نقطه منفرد تبدیل می‌شوند. در حالت تنش کروی، مقادیر کرنش‌های نرمال نیز در تمام جهات یکسان خواهند بود. این موضوع باعث یکنواخت و همسانگرد بودن ماده می‌شود. اگر قانون هوک در این شرایط حکم‌فرما باشد، کرنش‌های نرمال از رابطه به دست می‌آیند:

این رابطه مشابه رابطه تعیین کرنش‌های نرمال در حالت کلی تنش سه‌محوری است. از آنجایی که در حالت تنش کروی هیچ تنش برشی وجود ندارد، اندازه المان تحت تنش تغییر می‌کند اما شکل آن ثابت باقی می‌ماند. به طور کلی، در صورت اعمال تنش کروی به یک جسم، نسبت بین ابعاد آن تغییری نخواهد کرد اما با توجه به کششی یا فشاری بودن تنش، حجم جسم با انبساط یا انقباض مواجه می‌شود. به منظور محاسبه اتساع المان در این حالت می‌توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم:

با در نظر داشتن رابطه مدول حجمی (K)، رابطه اتساع یا کرنش حجمی به فرم زیر درمی‌آید:

به این ترتیب، داریم:

روابط ارائه شده برای حالت تنش کروی با در نظر گرفتن شرایط کشش یکنواخت در تمام جهات به دست آمدند. این روابط برای شرایط تراکم یکنواخت نیز قابل استفاده هستند. توجه داشته باشید که در این حالت، علامت تنش‌ها و کرنش‌ها منفی خواهد بود. تراکم یکنواخت زمانی رخ می‌دهد که ماده در تمام جهات تحت فشار یکنواخت قرار گرفته باشد. اجسام زیر آب یا سنگ‌های درون اعماق زمین را می‌توان به عنوان مصادیق مواد تحت فشار یکنواخت در نظر گرفت. این حالت تنش اغلب با عنوان «تنش هیدرواستاتیک» (Hydrostatic Stress) شناخته می‌شود.

فشار یکنواخت به عنوان یک حالت رایج در مسائل مختلف محسوب می‌شود اما دستیابی به حالت کشش یکنواخت یک امر دشوار به شمار می‌رود. با افزایش ناگهانی و یکنواخت دمای سطح خارجی یک گوی فلزی می‌توان حالت کشش یکنواخت را به وجود آورد. در این فرآیند، دمای لایه‌های خارجی بیشتر از لایه‌های داخلی خواهد بود. به این ترتیب، تمایل لایه‌های خارجی به انبساط، باعث به وجود آمدن کشش یکنواخت نقطه مرکز گوی در راستای تمام جهات خواهد شد.

^^