تحلیل پیچش در سازه های نامعین استاتیکی – به زبان ساده

در مبحث «تحلیل میله‌های تحت پیچش»، «پیچش غیر یکنواخت» و «تعیین مولفه های تنش و کرنش در حالت برش خالص»، وضعیت سازه‌های معین استاتیکی در شرایط بارگذاری پیچشی را مورد ارزیابی قرار دادیم. در این سازه‌ها، تمام گشتاورهای پیچشی و تمام عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی با استفاده از نمودار جسم آزاد و معادلات تعادل سازه قابل تعیین بودند. با این وجود، در صورت اضافه شدن محدودیت‌های بیشتر به این سازه‌ها (مانند تکیه‌گاه‌های ثابت)، تعیین گشتاورهای داخلی صرفاً با استفاده از معادلات تعادل امکان‌پذیر نخواهد بود. در این شرایط، سازه‌های مورد بررسی از نظر استاتیکی نامعین در نظر گرفته می‌شود.

در سازه‌های نامعین استاتیکی، عضوهای تحت بار پیچشی توسط معادلات تعادل، معادلات سازگاری و روابط گشتاور-جابجایی مورد تحلیل قرار می‌گیرند. فرآیند کلی تحلیل این سازه‌ها مشابه روش معرفی شده در مبحث «تحلیل سازه‌های نامعین استاتیکی» است. در این مقاله، به معرفی مراحل تحلیل سازه‌های نامعین استاتیکی در شرایط بارگذاری پیچشی خواهیم پرداخت. در انتها نیز به منظور آشنایی با نحوه به کارگیری این مراحل، یک مثال را تشریح خواهیم کرد.

مراحل تحلیل پیچش سازه‌های استاتیکی نامعین

به منظور تحلیل مؤلفه‌های پیچش در سازه‌های نامعین استاتیکی، چهار گام کلی وجود دارد:

1. استفاده از نمودارهای جسم آزاد برای به دست آوردن معادلات تعادل سازه مورد بررسی: در این مرحله، گشتاورهای پیچشی به عنوان کمیت‌های مجهول معادلات تعادل در نظر گرفته می‌شوند.
2. تعیین معادلات سازگاری بر اساس شرایط فیزیکی مرتبط با زوایای پیچش: در این مرحله، زوایای پیچش به عنوان کمیت‌های مجهول معادلات سازگاری محسوب خواهند شد.

1. استفاده از روابط گشتاور-جابجایی (مانند φ=TL/GI_P) به منظور تعیین ارتباط بین زوایای پیچش و گشتاورهای پیچشی: با جایگذاری روابط گشتاور-جابجایی در معادلات سازگاری، معادلات جدیدی به وجود می‌آیند که گشتاورهای پیچشی به عنوان مجهولات آن‌ها در نظر گرفته می‌شوند.
2. حل هم‌زمان معادلات تعادل و سازگاری برای تعیین گشتاورهای مجهول

به منظور آشنایی با نحوه به کارگیری مراحل بالا در تحلیل پیچش سازه‌های نامعین استاتیکی، میله کامپوزیتی نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. انتهای A به یک تکیه‌گاه ثابت متصل شده و انتهای B در معرض گشتاور پیچشی T قرار گرفته است. این سازه از یک میله توپر و یک لوله تشکیل می‌شود. میله و لوله به یک صفحه صلب در انتهای B متصل شده‌اند.

به منظور سادگی بیشتر تحلیل، ویژگی‌های میله توپر و لوله را به با اعداد 1 و 2 مشخص می‌کنیم. به عنوان مثال، قطر میله توپر با d₁ و قطر خارجی لوله با d₂ مشخص می‌شود. به دلیل وجود یک فضای خالی کوچک بین لوله و میله، قطر داخلی لوله کمی بزرگ‌تر از d₁ است. با اعمال گشتاور پیچشی T بر روی میله کامپوزیتی، صفحه انتهایی تحت زاویه کوچک φ دوران می‌کند. به علاوه، گشتاورهای پیچشی T₁ و T₂ نیز به ترتیب در میله توپر و لوله گسترش می‌یابند (شکل زیر).

جمع گشتاورهای ایجاد شده در میله توپر و لوله باید با میزان گشتاور اعمال شده به مجموعه میله کامپوزیتی برابر باشد. از این‌رو، معادله تعادل برای این مجموعه به صورت زیر نوشته می‌شود:

به دلیل کافی نبودن معادلات مورد نیاز برای تعیین مجهولات مسئله (یک معادله و دو مجهول)، میله کامپوزیتی از نظر استاتیکی نامعین خواهد بود. از این‌رو، به منظور تعیین مجهولات مسئله به یک معادله دیگر نیاز خواهیم داشت. برای دستیابی به معادله دوم، جابجایی‌های دورانی میله توپر و لوله را در نظر می‌گیریم. زاویه پیچش میله توپر را با φ₁ و زاویه پیچش لوله را با φ₂ مشخص می‌کنیم.

به دلیل اتصال میله توپر و لوله به یک صفحه مشترک، این دو بخش تحت یک زاویه پیچش یکسان دوران می‌کنند. با توجه به این نکته، معادله سازگاری این مسئله به صورت زیر خواهد بود:

فیلم آموزش مقاومت مصالح – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

زوایای φ₁ و φ₂ از طریق روابط گشتاور-جابجایی با کمیت‌های T₁و T₂ ارتباط پیدا می‌کنند. در مواد الاستیک خطی، φ=TL/GI_P به عنوان رابطه گشتاور-جابجایی در نظر گرفته می‌شود. به این ترتیب:

G₁ و G₂: مدول برشی مواد؛ I_P1 و I_P2؛ ممان اینرسی قطبی مقاطع عرضی

با جایگذاری روابط بالا در φ₁=φ₂ می‌توان معادله سازگاری را بر حسب مجهولات T₁ و T₂ بازنویسی کرد:

اکنون با حل هم‌زمان معادله بالا و معادله تعادل، روابط مورد نیاز برای تعیین T₁ و T₂ به دست می‌آیند:

با معلوم شدن گشتاورهای مورد نیاز، بخش اصلی تحلیل سازه نامعین استاتیکی به پایان می‌رسد. در این مرحله، کمیت‌هایی نظیر تنش و زاویه پیچش نیز قابل تعیین خواهند بود. در این مقاله، روش کلی تحلیل یک سازه نامعین استاتیکی در شرایط بارگذاری پیچشی را مورد بررسی قرار دادیم. در بخش بعدی، نحوه استفاده از این روش برای تحلیل یک میله الاستیک خطی را توضیح خواهیم داد. توجه داشته باشید که این فرآیند کلی را می‌توان برای مواد غیر خطی نیز به کار برد. تنها تفاوت بین تحلیل مواد خطی و غیر خطی در روابط گشتاور-جابجایی مرتبط با هر یک از آن‌ها است.

مثال

شکل زیر یک میله نامعین استاتیکی را نمایش می‌دهد. گشتاور پیچشی T₀ در نقطه C به میله ACB اعمال می‌شود. هر دو انتهای این میله به تکیه‌گاه‌های ثابت متصل هستند. قطر بخش‌های AC و CB به ترتیب برابر با dA و dB، طول آن‌ها برابر با L_A و L_B و ممان اینرسی قطبی آن‌ها برابر با I_pA و I_pB است. با در نظر گرفتن ماده تشکیل‌دهنده یکسان برای هر دو بخش میله، موارد الف تا ج را تعیین کنید.

• الف) گشتاورهای عکس‌العمل T_A و T_B در دو انتهای میله
• ب) تنش‌های برشی ماکسیمم τ_AC و τ_CB در هر بخش
• ج) زاویه پیچش φ_C در سطح مقطعِ اعمالِ گشتاور پیچشی T₀

معادله تعادل

مطابق شکل بالا، گشتاور T₀ باعث به وجود آمدن عکس‌العمل‌های T_A و T_B در دو انتهای ثابت میله می‌شود. با توجه به تعادل میله، رابطه زیر برقرار خواهد بود:

به دلیل وجود یک معادله تعادل و دو مجهول، میله مورد تحلیل از نظر استاتیکی نامعین است. در نتیجه، به منظور تعیین مجهولات مسئله به معادلات بیشتری نیاز داریم.

معادله سازگاری

برای تعیین معادله سازگاری، انتهای B میله را مطابق شکل زیر حذف می‌کنیم. به این ترتیب، انتهای A ثابت و انتهای B آزاد خواهد بود. با اعمال گشتاور T₀، زاویه پیچش φ₁ در انتهای B به وجود می‌آید.

با اعمال گشتاور T_B نیز زاویه پیچش φ₂ در انتهای B ایجاد می‌شود.

زاویه پیچش انتهای B در میله اولیه از جمع φ₁ و φ₂ به دست می‌آید. این زاویه باید برابر با صفر باشد. از این‌رو، معادله سازگاری به صورت زیر نوشته می‌شود:

توجه داشته باشید که با توجه به جهت‌های نمایش داده شده در شکل‌های بالا، علامت φ₁ و φ₂ مثبت است.

روابط گشتاور-جابجایی

زوایای پیچش φ₁ و φ₂ را می‌توان بر حسب گشتاورهای T₀ و T_B بیان کرد. با استفاده از معادله φ=TL/GI_p داریم:

علامت منفی معادله φ₂ نشان می‌دهد که جهت دوران ناشی از اعمال گشتاور T_B با جهت در نظر گرفته شده برای φ₂ مطابقت ندارد. با جایگذاری معادلات بالا در معادله سازگاری، خواهیم داشت:

حل معادلات به دست آمده

اگر معادلات قبلی را بر حسب گشتاور پیچشی T_B حل کنیم و نتیجه به دست آمده را در معادله تعادل قرار دهیم، به نتایج زیر می‌رسیم:

گشتاورهای مربوط به عکس‌العمل دو انتهای میله به دست می‌آیند. توجه داشته باشید که در صورت منشوری بودن میله (I_pA=I_pB=I_p)، معادلات بالا به فرم زیر درمی‌آیند:

L: طول کل میله

این روابط معادلِ روابط به دست آمده برای میله‌های تحت بار محوری با تکیه‌گاه‌های ثابت است (روابط زیر).

تنش‌های برشی ماکسیمم

تنش‌های برشی ماکسیمم در هر بخش میله را می‌توان مستقیماً توسط رابطه پیچش تعیین کرد:

با جایگذاری این روابط در معادلات T_A و T_B خواهیم داشت:

با مقایسه مقادیر به دست آمده از L_BdA و L_AdB مشخص می‌شود که تنش کدام‌یک از بخش‌ها بزرگ‌تر است.

زاویه دوران در محل اعمال گشتاور

به دلیل برابر بودن زاویه دوران هر دو بخش میله در بخش C، زاویه دوران این بخش (زاویه φ_C) با زاویه پیچش هر یک از بخش‌ها برابر خواهد بود. به این ترتیب:

برای یک میله منشوری (I_pA=I_pB=I_p)، زاویه دوران در محل اعمال بار برابر است با:

در این مثال، علاوه بر تحلیل یک میله نامعین استاتیکی، نحوه تعیین تنش‌ها و زوایای دوران را نیز ارائه کردیم. توجه داشته باشید که نتایج به دست آمده در این مثال برای میله‌های متشکل از بخش‌های توپر و توخالی قابل استفاده هستند.

^^