تحلیل سازه های نامعین استاتیکی – به زبان ساده

اگر همه مجهولات یک سازه (واکنش‌های تکیه‌گاهی و نیروهای داخلی) با استفاده از معادلات تعادل استاتیکی و نمودارهای جسم آزاد قابل محاسبه باشند، نوع سازه مورد تحلیل «معین استاتیکی» (Statically Determinate) در نظر گرفته می‌شود. به طور کلی، تعیین نیروهای داخلی در سازه‌های پیچیده، صرفاً با به کارگیری روابط استاتیکی امکان‌پذیر نیست. سازه‌هایی که دارای چنین شرایطی هستند، در گروه «نامعین استاتیکی» (Statically Indeterminate) قرار می‌گیرند. در این مقاله، به معرفی سازه‌های نامعین استاتیکی، معادله تعادل، معادله سازگاری و روابط نیرو-جابجایی مربوط به این سازه‌ها خواهیم پرداخت. در انتها نیز به منظور آشنایی با نحوه تحلیل سازه‌های نامعین استاتیکی، دو مثال را به طور کامل تشریح خواهیم کرد. ابزارهای متعددی زیادی در حوزه تحلیل سازه‌های استاتیکی وجود دارند. شما می‌توانید با استفاده از فیلم‌های مجموعه آموزش تحلیل استاتیکی – مقدماتی تا پیشرفته، نحوه کار با این ابزارها را به خوبی و راحتی یاد بگیرید.

سازه های نامعین استاتیکی و معادلات مربوط به آن‌ها

نیروهای موجود در یک سازه معین استاتیکی بدون اطلاع از خواص مکانیکی مواد تشکیل‌دهنده آن محاسبه می‌شوند. به عنوان مثال، میله نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. در این میله، نیروهای محوری داخلی و نیروی عکس‌العمل تکیه‌گاهی (R) به خواص مواد سازنده بستگی ندارند. به این ترتیب، این نیروها صرفاً با استفاده از روابط استاتیکی قابل محاسبه خواهند بود.

میله معین استاتیکی

شکل زیر، یک سازه پیچیده‌تر را نمایش می‌دهد که محاسبه نیروهای داخلی و عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی آن با استفاده از روابط استاتیکی امکان‌پذیر نیست. هر دو انتهای این میله ثابت هستند. علیرغم وجود دو عکس‌العمل عمودی R_A و R_B، تنها یک معادله تعادل (جمع نیروهای موجود در راستای عمودی) برای تحلیل استاتیکی میله وجود دارد.

به دلیل تشکیل یک دستگاه یک معادله دو مجهولی و کافی نبودن تعداد معادلات مورد نیاز برای یافتن مجهولات مسئله (برای حل یک دستگاه دو مجهولی به حداقل دو معادله نیاز داریم)، سازه نمایش داده شده در شکل زیر از نظر استاتیکی نامعین خواهد بود. برای تحلیل چنین سازه‌هایی باید مجموعه معادلات مورد نیاز خود را با در نظر گرفتن روابط مرتبط با جابجایی سازه تکمیل کنیم.

میله نامعین استاتیکی

به منظور آشنایی با نحوه تحلیل سازه‌های نامعین استاتیکی، شکل زیر را در نظر بگیرید. این شکل، یک میله منشوری را نمایش می‌دهد که در دو انتهای خود به تکیه‌گاه‌های صلب متصل شده است. نیروی محوری P در نقطه میانی C به میله وارد می‌شود.

تحلیل یک سازه نامعین استاتیکی

همان‌گونه که در ابتدا اشاره کردیم؛ به دلیل وجود تنها یک معادله تعادل، عکس‌العمل‌های R_A و R_B از طریق روابط استاتیکی قابل محاسبه نخواهند بود. معادله اول، با استفاده از روابط استاتیکی و در نظر گرفتن تعادل نیروها در راستای عمودی به دست می‌آید:

با مشخص کردن معادله اول، برای تعیین دو مجهول مسئله به یک معادله دیگر نیاز خواهیم داشت. دستیابی به معادله دوم با بررسی جابجایی‌های درون سازه امکان‌پذیر خواهد شد. به دلیل ثابت بودن دو انتهای میله، هیچ تغییری در طول آن رخ نخواهد داد. با توجه به این نکته می‌توانیم معادله دوم را به دست بیاوریم. اگر میله را همانند شکل زیر از تکیه‌گاه‌هایش جدا کنیم، میله‌ای به دست می‌آید که هر دو انتهای آن آزاد هستند و سه نیروی R_B ،R_A و P به آن وارد می‌شوند.

نیروهای اعمال شده به میله باعث تغییر طول آن به اندازه δ_AB می‌شوند. توجه داشته باشید که به دلیل ثابت بودن تکیه‌گاه‌های سازه، مقدار این تغییر طول باید برابر با صفر باشد:

به معادله بالا، «معادله سازگاری» (Equation of Compatibility) گفته می‌شود. بر اساس عنوان این معادله، تغییر طول میله باید با وضعیت تکیه‌گاه‌های آن سازگار باشد. برای حل دو معادله به دست آمده باید معادله سازگاری را بر حسب نیروهای مجهول R_A و R_B بازنویسی کنیم. روابط بین نیروهای اعمال شده بر روی یک میله و تغییرات طول ناشی از این نیروها، با عنوان «روابط نیرو-جابجایی» (Force-Displacement Relations) شناخته می‌شوند.

این روابط دارای فرم‌های مختلفی هستند که هر یک از آن‌ها به خواص ماده بستگی دارد. به عنوان مثال، اگر ماده تشکیل‌دهنده میله الاستیک خطی باشد، می‌توان از معادله δ=PL/EA برای دستیابی به روابط نیرو-جابجایی استفاده کرد. مساحت سطح مقطع میله بالا را برابر با A و مدول الاستیسیته ماده تشکیل‌دهنده آن را برابر با E در نظر بگیرید. با توجه به این کمیت‌ها، تغییر طول بخش‌های بالایی و پایینی میله با استفاده از روابط زیر تعیین می‌شود:

به این ترتیب، روابط نیرو-جابجایی برای میله مورد تحلیل به دست می‌آیند (علامت منفی به معنای کاهش طول میله است). اکنون به منظور یافتن مجهولات مسئله می‌توانیم معادله تعادل، معادله سازگاری و روابط نیرو-جابجایی را به طور هم‌زمان حل کنیم. برای این مسئله خاص، در مرحله اول روابط نیرو-جابجایی را با معادله سازگاری ترکیب می‌کنیم:

دقت داشته باشید که هر دو مجهول مسئله در این معادله جدید نیز وجود دارند. به همین دلیل، معادله بالا و معادله تعادل را به طور هم‌زمان حل می‌کنیم. با حل این دستگاه دو معادله دو مجهولی، نتایج زیر حاصل می‌شوند:

با مشخص شدن مقدار عکس‌العمل‌های R_A و R_B، مقادیر نیروها و جابجایی‌ها نیز قابل محاسبه خواهند بود. به عنوان مثال، فرض کنید بخواهیم جابجایی رو به پایین نقطه C را محاسبه کنیم. این جابجایی (δ_C) با تغییر طول بخش AC برابر است. به این ترتیب داریم:

با تعیین مجهولات مسئله و مقادیر نیروهای داخلی، امکان محاسبه تنش‌های موجود در بخش‌های میله نیز فراهم می‌شود (به عنوان مثال، σ_AC=R_A/A=Pb/AL).

نکات تکمیلی

در این مقاله نشان دادیم که تحلیل یک سازه نامعین استاتیکی نیازمند تعیین و حل معادلات تعادل، معادلات سازگاری و روابط نیرو-جابجایی است. معادلات تعادل، ارتباط بین نیروهای اعمال شده بر روی سازه با نیروهای مجهول (عکس‌العمل‌ها یا نیروهای داخلی) و معادلات سازگاری، وضعیت جابجایی‌های سازه را نمایش می‌دهند. روابط نیرو-جابجایی نیز عبارت‌هایی هستند که با استفاده از ویژگی‌های هندسی و مکانیکی، نحوه ارتباط بین نیروها و جابجایی‌های درون عضوهای سازه را تعریف می‌کنند. برای میله‌های الاستیک خطی که تحت بارگذاری محوری قرار دارند، روابط مورد نیاز بر اساس معادله δ=PL/EA تعیین می‌شوند. در نهایت، با حل این سه مجموعه معادلات می‌توان نیروها و جابجایی‌های مجهول مسئله را محاسبه کرد.

در منابع و کتب مهندسی، اصلاحات مختلفی برای بیان معادلات تعادل، سازگاری و نیرو-جابجایی مورد استفاده قرار می‌گیرند. به عنوان مثال، معادلات تعادل با عنوان «معادلات استاتیک» (Static Equations) یا «معادلات سینتیک» (Kinetic Equations)، معادلات سازگاری با عنوان «معادلات هندسی» (Geometric Equations)، «معادلات سینماتیک» (Kinematic Equations) یا «معادلات تغییر شکل‌های سازگار» (Equations of Consistent Deformations) و روابط نیرو-جابجایی با عنوان «روابط مشخصه» (Constitutive Relations) نیز شناخته می‌شوند.

برای سازه‌های ساده (مانند مثالی که در این مقاله مورد تحلیل قرار گرفت)، روش معرفی شده برای حل مسئله کفایت می‌کند. اگرچه، به منظور تحلیل سازه‌های پیچیده باید از رویکردهای دقیق‌تری استفاده کرد. «روش انعطاف‌پذیری» (Flexibility Method) یا «روش نیرو» (Force Method) و «روش سختی» (Stiffness Method) یا «روش جابجایی» (Displacement Method) به عنوان روش‌های متداول در این حوزه شناخته می‌شوند. استفاده از این روش‌ها برای تحلیل سازه‌های بزرگ و پیچیده نیازمند حل هم‌زمان صدها و گاهی اوقات هزاران معادله است. با این وجود، این روش‌ها نیز بر اساس مفاهیم معادلات تعادل، معادلات سازگاری و روابط نیرو-جابجایی عمل می‌کنند. در بخش مثال‌ها، به معرفی نحوه استفاده از این روش‌ها خواهیم پرداخت.

مثال‌های کاربردی

به منظور نمایش نحوه تحلیل سازه‌های نامعین استاتیکی با عضوهای تحت نیروهای محوری، به تشریح دو مثال کاربردی می‌پردازیم.

مثال 1

شکل زیر، یک سیلندر فولادی (S) را نمایش می‌دهد که درون یک لوله مسی توخالی (C) قرار گرفته است. سیلندر و لوله بین دو صفحه صلبِ یک دستگاه آزمایش قرار داده شده‌اند. نیروهای فشاری P از صفحه بالایی به مجموعه سیلندر و لوله اعمال می‌شوند. A_s، مساحت سطح مقطع سیلندر، E_s، مدول الاستیسیته فولاد، A_c، مساحت سطح مقطع لوله، E_c، مدول الاستیسیته مس و L، طول هر دو بخش مجموعه را نمایش می‌دهد. با توجه به اطلاعات مسئله، کمیت‌های زیر را تعیین کنید:

• الف) نیروهای فشاری P_s در سیلندر فولادی و P_c در لوله مسی
• ب) تنش‌های فشاری ناشی از اعمال نیرو (σ_s و σ_c)
• ج) میزان کاهش طول مجموعه δ

الف) تعیین نیروهای فشاری موجود در سیلندر فولادی و لوله مسی

در ابتدای کار به منظور نمایش نیروهای فشاری اعمال شده بر روی سیلندر فولادی و لوله مسی (P_s و P_c)، صفحه بالایی مجموعه بالا را حذف می‌کنیم (شکل زیر). نیروی P_s، برآیند تنش‌های یکنواخت اعمال شده بر روی سطح مقطع سیلندر فولادی و نیروی P_c، برآیند تنش‌های اعمال شده بر روی لوله مسی است.

معادله تعادل

شکل زیر، نمودار جسم آزاد صفحه بالایی مجموعه را نمایش می‌دهد. این صفحه در معرض نیروی معلوم P و نیروهای مجهول P_s و P_c قرار دارد.

با توجه به نمودار جسم آزاد صفحه، معادله تعادل زیر به دست می‌آید:

به دلیل وجود دو مجهول و یک معادله، سازه مورد تحلیل از نظر استاتیکی نامعین است.

معادله سازگاری

به دلیل صلب بودن صفحات انتهایی مجموعه، میزان کاهش طول سیلندر (δ_s) با میزان کاهش طول لوله (δ_c) برابر خواهد بود. به این ترتیب، معادله سازگاری به صورت زیر نوشته می‌شود:

روابط نیرو-جابجایی

میزان تغییر طول سیلندر و لوله از طریق معادله کلی δ=PL/EA قابل محاسبه است. در این مثال، روابط نیرو-جابجایی به صورت زیر خواهند بود:

حل معادلات

اکنون معادلات بالا را به طور هم‌زمان حل می‌کنیم. با جایگذاری روابط نیرو-جابجایی در معادله سازگاری، به رابطه زیر می‌رسیم:

رابطه بالا، شرایط سازگاری را بر حسب نیروهای مجهول بیان می‌کند. در مرحله بعد، معادله تعادل و رابطه بالا را به طور هم‌زمان حل می‌کنیم. به این ترتیب، روابط نیروهای محوری درون سیلندر و لوله به دست می‌آیند:

بر اساس این معادلات، هر یک از نیروهای فشاری در بخش‌های فولادی و مسی با صلبیت محوری (EA) خود رابطه مستقیم و با مجموعِ صلبیت‌های محوری رابطه عکس دارند.

ب) تنش‌های فشاری موجود در سیلندر فولادی و لوله مسی

با مشخص شدن نیروهای محوری، تنش‌های فشاری موجود در دو بخش مجموعه به صورت زیر تعیین می‌شوند:

توجه داشته باشید که نسبت تنش‌های σ_s/σ_c با نسبت مدول‌های الاستیسیته E_s/E_c برابر است. این مسئله نشان می‌دهد که معمولاً ماده سخت‌تر، تنش‌های بیشتری را تحمل می‌کند.

ج) میزان کاهش طول مجموعه

به منظور تعیین میزان کاهش طول کل مجموعه می‌توانیم از روابط نیرو-جابجایی استفاده کنیم. به این ترتیب، با جایگذاری نیروهای به دست آمده در این روابط خواهیم داشت:

رابطه بالا نشان می‌دهد که میزان کاهش طول کل مجموعه از تقسیم بار کل بر جمع سختی دو بخش به دست می‌آید (سختی یک میله تحت بار محوری از رابطه k=EA/L محاسبه می‌شود).

استفاده از روش‌های دیگر برای حل معادلات

در مراحل قبلی می‌توانستیم به جای جایگذاری روابط نیرو-جابجایی در معادله سازگاری، آن روابط را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

اکنون، با قرار دادن روابط بالا در معادله تعادل به معادله زیر می‌رسیم:

این معادله، شرایط تعادل را بر حسب جابجایی‌های مجهول بیان می‌کند. با حل هم‌زمان معادله سازگاری و معادله بالا، رابطه‌ای برای تعیین جابجایی‌ها به دست می‌آید:

این رابطه با رابطه معرفی شده در روش قبل یکسان است. به این ترتیب، با تعیین مقادیر جابجایی‌های مجهول و قرار دادن آن‌ها در روابط P_s و P_c، مقادیر نیروهای فشاری نیز مشخص می‌شوند.

توجه: روش جایگزینی که برای این مثال معرفی کردیم، نسخه ساده‌شده‌ای از روش تحلیل سختی یا جابجایی است. روش اول نیز نسخه ساده‌شده‌ای از روش انعطاف‌پذیری یا نیرو را نمایش می‌دهد. در واقع، نام‌گذاری این روش‌ها به دلیل در نظر گرفتن نیروها به عنوان مجهولات و انعطاف‌پذیری‌ها به عنوان ضرایب مسئله (در روش اول) و همچنین در نظر گرفتن جابجایی‌ها به عنوان مجهولات و سختی‌ها به عنوان ضرایب مسئله (در روش دوم) صورت گرفته است.

مثال 2

شکل زیر، یک میله افقی صلب را نمایش می‌دهد. این میله (AB) در نقطه A به یک تکیه‌گاه مفصلی متصل شده است. دو سیم CD و EF نیز در نقاط D و F از میله AB نگهداری می‌کنند. به علاوه، بار عمودی P در نقطه B به میله وارد می‌شود.

طول میله برابر با 3b و طول سیم‌های CD و EF به ترتیب برابر با L₁ و L₂ است. با در نظر گرفتن قطر d₁ و مدول الاستیسیته E₁ برای سیم L₁ و قطر d₂ و مدول الاستیسیته E₂ برای سیم EF، موارد الف و ب را تعیین کنید.

• الف) اگر تنش‌های مجاز درون سیم‌های CD و EF به ترتیب σ₁ و σ₁ باشند، فرمول‌های مورد نیاز برای محاسبه بار مجاز P را به دست بیاورید. (از وزن میله صرف نظر کنید.)
• ب) اگر سیم CD از جنس آلومینیوم با مدول الاستیسیته E₁=72GPa، قطر d₁=4mm و طول L₁=0.4m و سیم EF از جنس منیزیوم با مدول الاستیسیته E₂=45GPa، قطر d₂=3mm و طول L₂=0.3m باشد، مقدار بارِ مجاز P چقدر خواهد بود؟ (تنش‌های مجاز در سیم‌ها آلومینیومی و منیزیومی را به ترتیب برابر با σ₁=200MPa و σ₂=175MPa در نظر بگیرید.)

معادله تعادل

تحلیل این مسئله را با رسم نمودار جسم آزاد میله AB شروع می‌کنیم. T₁ و T₂ در این نمودار، نیروهای کششی مجهول در سیم‌های CD و EF را نمایش می‌دهند. R_H و R_V نیز به ترتیب مؤلفه‌های افقی و عمودی عکس‌العمل تکیه‌گاهی سازه هستند. به دلیل وجود چهار مجهول (T₂ ،T₁ ،R_H و R_V) و تنها سه معادله تعادل (گشتاور حول نقطه A، جمع مولفه‌های افقی نیرو و جمع مولفه‌های عمودی نیرو)، سازه مورد تحلیل از نظر استاتیکی نامعین در نظر گرفته می‌شود.

با تعیین گشتاورهای موجود حول نقطه A، رابطه زیر به دست می‌آید (علامت گشتاور پادساعت‌گرد، مثبت در نظر گرفته می‌شود):

دو معادله مربوط به جمع نیروهای موجود در راستای افقی و همچنین جمع نیروهای موجود در راستای عمودی، هیچ کاربردی در تعیین T₁ و T₂ نخواهند داشت.

معادله سازگاری

بارِ P باعث دوران میله AB حول نقطه A و کشیدگی سیم‌های CD و EF می‌شود. شکل جابجایی‌های به وجود آمده را می‌توان در نمودار جابجایی زیر مشاهده کرد. خط AB، موقعیت اولیه میله و خط A’B، موقعیت میله پس از جابجایی را نمایش می‌دهد. جابجایی‌های δ₁ و δ₂ نیز معرف افزایش طول‌های سیم‌های CD و EF هستند. به دلیل کوچک بودن این جابجایی‌ها، میله تحت یک زاویه بسیار کوچک دوران می‌کند. به همین دلیل می‌توانیم در محاسبات خود فرض کنیم که حرکت رو به پایین نقاط F ،D و B به صورت عمودی است (نه به صورت دایره‌ای).

به دلیل برابر بودن فواصل افقی AD و DF می‌توانیم رابطه هندسی زیر را بین مقادیر افزایش طول در نظر بگیریم:

این معادله، معادله سازگاری مسئله مورد تحلیل است.

روابط نیرو-جابجایی

سیم‌های CD و EF به صورت الاستیک خطی رفتار می‌کنند. از این‌رو می‌توان تغییر طول‌های به وجود آمده در آن‌ها را بر حسب T₁ و T₂ بیان کرد:

مساحت سطح مقطع سیم‌های CD و EF از طریق روابط زیر به دست می‌آیند:

به منظور ساده‌سازی نحوه نوشتن معادلات، از مفهوم انعطاف‌پذیری سیم‌ها استفاده می‌کنیم:

به این ترتیب، روابط نیرو-جابجایی به فرم زیر تبدیل می‌شوند:

حل معادلات

اکنون می‌توانیم معادلات و روابط بخش‌های قبلی را به طور هم‌زمان حل کنیم. برای شروع، روابط نیرو-جابجایی را در معادله سازگاری قرار می‌دهیم:

در معادله بالا و معادله تعادل، نیروهای T₁ و T₂ به عنوان کمیت‌های مجهول به حساب می‌آیند. با حل هم‌زمان این دو معادله بر حسب نیروهای مجهول به روابط زیر می‌رسیم:

با مشخص شدن T₁ و T₂ می‌توانیم تغییر طول سیم‌ها را با استفاده از روابط نیرو-جابجایی به راحتی تعیین کنیم.

الف) بار مجاز P

در بخش قبلی، تحلیل نامعین استاتیکی را انجام دادیم و روابط مربوط به نیروهای موجود در سیم‌ها را به دست آوردیم. در این بخش، مقادیر مجاز بارِ P را مشخص می‌کنیم. تنش σ₁ در سیم CD و تنش σ₂ در سیم EF از طریق روابط ارائه شده برای T₁ و T₂ تعیین می‌شوند:

با استفاده از معادله اول می‌توان مقدار مجاز نیروی P₁ را بر حسب تنش مجاز σ₁ در CD محاسبه کرد:

به همین ترتیب، مقدار مجاز P₂ بر حسب تنش مجاز σ₂ در سیم EF نیز به دست می‌آید:

از بین P₁ و P₂، هر کدام که مقدار کوچک‌تر داشته باشد به عنوان حداکثر بار مجاز (P_allow) انتخاب می‌شود.

ب) محاسبات عددی بار مجاز

اکنون با استفاده از اطلاعات مسئله و معادلات به دست آمده، مقادیر عددی کمیت‌های مورد نیاز را محاسبه می‌کنیم:

علاوه بر موارد فوق، تنش‌های مجاز نیز برابر با مقادیر زیر هستند:

با جایگذاری این تنش‌ها در روابط P₁ و P₂، مقدار بار مجاز در هر یک از سیم‌ها مشخص می‌شود:

بار P₁ بر اساس تنش‌های مجاز در سیم آلومینیومی و بار P₂ بر اساس تنش‌های مجاز در سیم منیزیومی به دست آمده است. از بین این دو، مقدار کوچک‌تر به عنوان بار مجاز سازه در نظر گرفته می‌شود:

در بار مجاز (P_allow=1.26kN)، تنش درون سیم منیزیمی 175 مگاپاسکال (مقدار مجاز) و تنش درون سیم آلومینیومی (1.26/2.41)*200=105 مگاپاسکال است. همان‌طور که انتظار می‌رفت، مقدار این تنش کمتر از تنش مجاز 200 مگاپاسکالی شد.

^^