تعیین کرنش درون تیرها – به همراه مثال

کرنش طولی

شکل زیر، بخش AB تیری را نمایش می‌دهد که در معرض گشتاورهای خمشی مثبت M قرار دارد.

به منظور تحلیل تیر AB، فرض می‌کنیم که محور طولی آن پیش از اعمال گشتاور به صورت مستقیم بوده و مقطع عرضی آن نسبت به محور y دارای تقارن است (شکل زیر).

با اعمال گشتاور خمشی، تیر در صفحه xy (صفحه خمش) تغییر شکل می‌دهد و محور طولی آن به شکل یک منحنی دایره‌ای درمی‌آید (منحنی s-s در شکل زیر). به دلیل خمیدگی رو به بالای تیر، انحنای آن مثبت در نظر گرفته می‌شود.

پس از اعمال گشتاور خمشی و ایجاد تغییر شکل، سطح مقطع‌هایی نظیر مقطع mn و pq به صورت صفحه‌ای و عمود بر محور طولی تیر باقی می‌مانند. این موضوع یکی از نکات اساسی در حوزه تحلیل تیر به شمار می‌رود و در اغلب موارد از آن به عنوان یک فرضیه یاد می‌شود. با این وجود، در صورت به کارگیری دلایل منطقی مبتنی بر تقارن هندسی تیرها می‌توان نکته مذکور را به عنوان یک تئوری علمی نیز در نظر گرفت.

فیلم آموزش مقاومت‌ مصالح 1 و 2 در فرادرس

کلیک کنید

به دلیل خمیدگی‌های نمایش داده شده در شکل بالا، مقاطع mn و pq حول محورهای عمود بر صفحه xy نسبت به یکدیگر دوران می‌کنند. خطوط طولی موجود بر روی بخش پایینی تیر با افزایش طول و خطوط طولی موجود بر روی بخش بالایی با کاهش طول مواجه می‌شوند. به این ترتیب، بخش پایینی در معرض کشش و بخش بالایی در معرض فشار قرار می‌گیرد. در محلی میان بخش بالایی و پایینی، سطحی وجود دارد که طول خطوط موجود بر روی آن ثابت باقی می‌ماند. به این سطح، «صفحه خنثی» (Neutral Surface) می‌گویند (خط‌چین s-s در شکل زیر). به تقاطع این صفحه با مقاطع عرضی تیر، «محور خنثی» (Neutral Axis) گفته می‌شود. به عنوان مثال، محور z برای مقطع عرضی نمایش داده شده در شکل زیر، یک محور خنثی به شمار می‌رود.

پس از ایجاد تغییر شکل تیر، صفحه دربرگیرنده مقاطع عرضی mn و pq در مرکز انحنای 'O با هم تقاطع پیدا می‌کنند (شکل بالا). زاویه بین این صفحات با dθ و فاصله 'O تا صفحه خنثی s-s با ρ (شعاع انحنا) نمایش داده می‌شود. طول اولیه خط dx بین دو مقطع مذکور بر روی سطح خنثی ثابت باقی می‌ماند. در نتیجه، رابطه ρdθ=dx بین کمیت‌های این مسئله برقرار است. با این وجود، تمام خطوط طولی موجود بر روی صفحات دیگر با افزایش یا کاهش طول مواجه می‌شوند. این تغییرات «کرنش نرمال» (Normal Strain) را درون تیر به وجود می آورند (ε_x).

به منظور ارزیابی کرنش‌های به وجود آمده، خط طولی ef را در میان تیر و بین دو صفحه mn و pq در نظر می‌گیریم. سپس، موقعیت قرارگیری این خط با فاصله آن تا سطح خنثی در تیر اولیه را مشخص می‌کنیم. این فاصله با حرف y نمایش داده می‌شود. اکنون فرض می‌کنیم که محور x بر روی سطح خنثی اولیه قرار دارد. با تغییر شکل تیر، موقعیت این سطح تغییر می‌کند اما محور x ثابت باقی می‌ماند. با این اوصاف پس از تغییر شکل تیر، فاصله بین خط طولی ef و صفحه خنثی تغییر نخواهد کرد و برابر با همان فاصله y خواهد بود.

طول خط ef پس از تغییر شکل تیر از رابطه زیر به دست می‌آید:

L₁: طول خط ef پس از تغییر شکل تیر

از آنجایی که طول اولیه ef برابر با dx است، میزان افزایش طول از رابطه L₁-dx یا ydx/ρ- به دست می‌آید. کرنش طولی مربوط به این تغییرات با تقسیم افزایش طول بر طول اولیه تعیین می‌شود. به این ترتیب، «رابطه کرنش-انحنا» (Strain-Curvature Relation) با معادله زیر برابر خواهد بود:

نکات تکمیلی

مثال

انحنا

به دلیل مشخص بودن مقادیر کرنش طولی در سطح پایینی تیر (ε_x=0.00125) و فاصله صفحه خنثی تا این سطح (y=-3in)، می‌توان از رابطه زیر برای تعیین شعاع انحنا و انحنای تیر استفاده کرد.

اگر رابطه بالا را بر حسب ρ بازنویسی کرده و مقادیر عددی را درون آن جایگذاری کنیم، خواهیم داشت:

این نتیجه نشان می‌دهد که شعاع انحنای تیر نسبت به طول آن بسیار بزرگ است. با وجود بزرگ بودن میزان کرنش، مقدار عددی به دست آمده غیر منطقی به نظر می‌رسد.

خمیدگی

به این ترتیب، میزان خمیدگی در نقطه مرکزی تیر با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

اگر شکل منحنی خمیدگی نزدیک به یک خط راست باشد، فاصله بین تکیه‌گاه‌ها را با طول تیر برابر در نظر می‌گیریم. در نتیجه، رابطه زیر در مثلث BO’C برقرار می‌شود:

با جایگذاری مقادیر عددی در رابطه بالا، خواهیم داشت:

و

در مسائل واقعی، به دلیل کوچک بودن زاویه θ، عبارت sinθ را با مقدار θ (بر حسب رادیان) برابر در نظر گرفته می‌شود. در صورت جایگذاری زاویه θ در رابطه ρ، میزان خمیدگی تیر به دست می‌آید:

این خمیدگی نسبت به طول تیر بسیار کوچک است. اگر بخواهیم این نسبت را به صورت عددی بیان کنیم:

این مسئله نشان می‌دهد که علیرغم بزرگ بودن مقدار کرنش‌های به وجود آمده، منحنی خمیدگی تیر تقریباً صاف خواهد بود. توجه داشته باشید که به منظور نمایش بهتر شرایط مسئله، منحنی خمیدگی نمایش داده شده در شکل‌های بالا به صورت اغراق‌آمیز به تصویر کشیده شده است.

توجه: هدف از تشریح این مسئله، نمایش مقادیر شعاع انحنا و خمیدگی تیر نسبت به طول آن بود. اگرچه به دلیل فرض خمش خالص و دایره‌ای بودن شکل منحنی خمیدگی، روش مورد استفاده برای تعیین خمیدگی تیر یک مقدار تقریبی را ارائه داد.

^^