دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر – از صفر تا صد

دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر

یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی با ضرایب متغیر، به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large { \frac { { d { x _ i } } } { { d t } } = { x ’ _ i } } = { \sum \limits_{ j = 1 } ^ n { { a _ { i j } } \left( t \right) { x _ j } \left( t \right)} + { f _ i }\left( t \right),\;\;}\kern-0.3pt { i = 1,2, \ldots ,n,}$$

که در آن، $${{x_i}\left( t \right)}$$ توابع مجهولی هستند که در بازه $$\left[ { a , b } \right]$$ پیوسته و مشتق‌پذیرند. ضرایب $${{a_{ij}}\left( t \right)}$$ و جملات آزاد $${f_i}\left( t \right)$$، توابعی پیوسته در بازه $$\left[ { a , b } \right]$$ هستند.

دستگاه معادلات را به‌صورت ماتریسی-برداری زیر می‌نویسیم:

$$\large { { \mathbf{X}}\left( t \right) } = { A \left( t \right) { \mathbf{X}}\left( t \right) + { \mathbf{f}} \left( t \right),}$$

که در آن:

$$ \large { { \mathbf{X} } \left( t \right) = \left[ { \begin{array}{*{20}{c}}<br /> { { x _ 1 } \left( t \right)}\\<br /> { { x _ 2 } \left( t \right)}\\<br /> \vdots \\<br /> { { x _ n }\left( t \right)}<br /> \end{array}} \right],\;\;}\kern-0.3pt<br /> { { A \left( t \right) \text{ = }}\kern0pt{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> { { a _ { 1 1 } } \left( t \right)}&{ { a _ {  1 2 } } \left( t \right)}& \vdots &{{a_{1n}}\left( t \right)}\\<br /> { { a _ { 2 1 } } \left( t \right)}& { { a _{ 2 2  } } \left( t \right)}& \vdots & { { a  _ { 2 n } } \left( t \right) }\\<br /> \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\<br /> { {  a _ {  n 1 } } \left( t \right)}&{ { a _ { n 2 } } \left( t \right) }& \vdots & { { a _ { n n } } \left( t \right)}<br /> \end{array}} \right],\;\;}}\kern-0.3pt<br /> { { \mathbf{f}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{* { 2 0 } { c } }<br /> { { f _ 1 }\left( t \right)}\\<br /> { { f _ 2 }\left( t \right)}\\<br /> \vdots \\<br /> { { f _ n } \left( t \right)}<br /> \end{array}} \right].} $$