راهنمای محاسبه با اعداد مختلط — به زبان ساده

اعداد موهومی یک توضیح شهودی دارند. آن‌ها باعث ایجاد چرخش در اعداد می‌شوند، همان طور که اعداد منفی باعث می‌شوند، یک بازتاب از عدد داشته باشیم. این بینش باعث می‌شود که درک محاسبه با اعداد مختلط آسان‌تر شود و روشی عالی برای بررسی مجدد نتایج محسوب می‌شود. راهنمای سریع آن چنین است:

در این مقاله به بررسی معانی شهودی می‌پردازیم.

متغیرهای مختلط

در جبر معمولی غالباً از تساوی‌هایی مانند x=3 استفاده می‌کنیم و معنای آن کاملاً واضح است، یعنی عددی مانند x هست که مقدار آن 3 است. در اعداد مختلط یک مشکل وجود دارد، چون ما در مورد دو بُعد صحبت می‌کنیم. یعنی وقتی می‌نویسیم:

Z = 3 + 4i

می‌گوییم عدد z وجود دارد که دو بخش دارد: 3 (بخش حقیقی) و 4i (بخش موهومی). البته این که چگونه یک عدد می‌تواند دو بخش داشته باشید تا حدودی عجیب به نظر می‌رسد؛ اما ما قبلاً نیز با این طرز بیان آشنا شده‌ایم و غالباً می‌نویسیم:

$$y = 3{4 \over 10} = 3 + 0.4$$

و ناراحت هم نمی‌شویم که عدد منفرد y هم بخش صحیح (3) و هم بخش کسری ($${4 \over 10}$$) دارد. Y ترکیبی از این دو بخش است. اعداد مختلط نیز مشابه هستند. آن‌ها هم بخش حقیقی (به اختصار RE) و هم بخش موهومی (به اختصار Im) دارند که در یک متغیر واحد جای گرفته‌اند.

متأسفانه ما هنوز نمادگذاری زیبایی مانند 3.4 برای ادغام بخش‌های حقیقی و موهومی در یک عدد منفرد نداریم. شاید بهتر باشد بخش موهومی به صورت عمودی به صورت کمرنگ نوشته شود؛ اما این ایده چندان متداول نیست، پس همچنان از قالب «a + bi» استفاده می‌کنیم.

اندازه‌گیری

از آنجا که اعداد مختلط از دو محور مستقل از هم استفاده می‌کنند، اندازه (بزرگی) آن‌ها را می‌توانیم با استفاده از قضیه فیثاغورس بیابیم:

بنابراین عدد z=3+4i باید بزرگی برابر با 5 داشته باشد. علامت اختصاری برای بزرگی z به صورت |z| است. این علامت کاملاً شبیه علامت قدر مطلق است، چون بزرگی عدد مختلط فاصله آن از صفر را اندازه‌گیری می‌کند، همان طور که قدر مطلق نیز فاصله عدد از صفر را اندازه می‌گیرد.

جمع و تفریق مختلط

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس در مورد اعداد مختلط دیدیم که جمع معمولی اعداد را می‌توان مانند لغزاندن اعداد تصور کرد.

فیلم آموزش توابع مختلط Complex Functions در فرادرس

کلیک کنید

جمع اعداد مختلط نیز مشابه است؛ اما می‌توانیم این لغزش را در دو بعد (حقیقی و موهومی) داشته باشیم. برای نمونه:

جمع $$(3+4i)$$ با $$(-1+i)$$ نتیجه‌ای برابر با $$2+5i$$ دارد.

در این مورد نیز یک بازنمایی بصری در مورد چگونگی ترکیب «مؤلفه‌های مستقل» وجود دارد و باید بخش‌های حقیقی و موهومی را به صورت مجزا ردگیری کنیم.

تفریق حالت معکوس جمع است، یعنی لغزش در مسیر معکوس صورت می‌گیرد. تفریق $$(1 + i)$$ همان جمع $$-1 × (1 + i)$$ یا جمع $$(-1 – i)$$ است.

ضرب مختلط

این همان جایی است که ریاضیات جالب می‌شود. وقتی دو عدد مختلط مانند x و y را برای رسیدن به z در هم ضرب می‌کنیم:

• زاویه‌ها با هم جمع می‌شوند یعنی زاویه (z) = زاویه (x) + زاویه (y)
• بزرگی‌ها در هم ضرب می‌شود: |z| = |x| × |y|

فیلم آموزش ریشه یابی و ترسیم اعداد مختلط در متلب (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

یعنی زاویه z مجموع زوایای x+y است و بزرگی z حاصل‌ضرب بزرگی‌ها است. باور کنید یا نه، در هر صورت این رابطه عجیب در مورد ضرب اعداد مختلط برقرار است.

ضرب کردن در یک بزرگی (اندازه) معنی دارد و ما این کار را در مورد اعداد معمولی انجام می‌دهیم. ضرب 3 × 4 یعنی 3 را در اندازه 4 ضرب کنیم. دلیل این که جمع‌کردن زاویه‌ها صحیح است نیاز به توضیح بیشتری دارد و آن را به مطلب دیگری موکول می‌کنیم. اینک نوبت یک مثال رسیده است. فرض کنید می‌خواهیم z = 3 + 4i را در خودش ضرب کنیم. پیش از آن که به اعمال ریاضی بپردازیم باید چند نکته را بدانیم:

• بزرگی حاصل برابر با 25 خواهد بود، چون z بزرگی برابر با 5 دارد و از این رو z| × |z| = 25|.
• زاویه حاصل بالاتر از 90 خواهد بود، زیرا $$(3+4i)$$ بالاتر از 45 درجه است (چون $$3+3i$$ برابر با 45 درجه است) و از این رو زاویه نهایی بیش از 90 درجه خواهد بود.

بر اساس پیش‌بینی روی کاغذ می‌توانیم محاسبات زیر را انجام دهیم:

$$(3+4i) × (3+4i) = 9 + 16 i^2 + 24i = -7 + 24i$$

زمان بررسی نتایج رسیده است:

• بزرگی: $$\sqrt{(-7 * -7) + (24 * 24)} = \sqrt{625} = 25$$ که با حدس ما برابر است.
• زاویه: از آنجا که 7- منفی است و 24i مثبت است، می‌دانیم که رو به عقب و بالا حرکت می‌کنیم یعنی از زاویه 90 عبور کرده‌ایم. به بیان ریاضی atan(24/-7) = 106.2 درجه است. باید در ذهن داشته باشیم که ما در ربع دوم هستیم و حدس اولیه ما دوباره تأیید می‌شود.

با این که ما همواره می‌توانیم به وسیله فرمول‌های ریاضی محاسبه کنیم، اما داشتن شهود در مورد چرخش‌ها و مقیاس‌بندی‌ها برای بررسی نتایج به دست آمده مفید است. اگر زاویه به دست آمده کمتر از 90 درجه می‌بود، یا بزرگی حاصل برابر با 25 نبود، می‌دانستیم که خطایی در محاسبات ریاضی ما رخ داده است.

تقسیم مختلط

تقسیم متضاد ضرب است، همان طور که تفریق متضاد جمع است. زمانی که اعداد مختلط را تقسیم می‌کنیم (x تقسیم بر y) موارد زیر را داریم:

• تفریق زوایا:

زاویه (z) = زاویه (x) – زاویه (y)

فیلم آموزش ریاضیات و کاربرد آن در حسابداری، مدیریت و اقتصاد – بخش دوم در فرادرس

کلیک کنید

• تقسیم بزرگی:

$$|z| ={ |x| \over |y|}$$

به نظر درست می‌آید. اینک آن را عملاً انجام می‌دهیم:

$$3+4i \over 1+i$$

شاید از خود بپرسید اینک باید از کجا شروع کنیم؟ ما در عمل چگونه تقسیم را انجام می‌دادیم؟ تقسیم اعداد جبری معمولی خود وحشت‌انگیز است، چه رسد که عدد عجیب i نیز اضافه شده است؛ اما خوشبختانه راه میانبری وجود دارد.

معرفی مزدوج‌های مختلط

نخستین کار ما در تقسیم، تفریق زاویه‌ها است. این کار به این صورت انجام می‌گیرد که باید متضاد کاری که در ضرب انجام دادیم عمل کنیم. یعنی باید یک زاویه منفی را جمع کنیم تا بتوانیم تفریق نماییم.