شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
نُرم (Norm) یکی از مفاهیم ریاضی است که کاربرد مهمی در زمینههای مختلف علوم و مهندسی دارد. یکی از کاربردهای مهم نرم در یادگیری ماشین و یادگیری عمیق است. نرم عموماً برای ارزیابی خطای یک مدل مورد استفاده قرار میگیرد. علاوه بر این، نرم برای محاسبه خطای بین خروجی یک شبکه عصبی و آنچه مورد انتظار است (برچسب یا مقدار واقعی) نیز به کار میرود. نرم را میتوان به عنوان طول یک بردار در نظر گرفت. این مفهوم، تابعی است که یک بردار را به یک مقدار مثبت مینگارد. از توابع مختلفی برای این نگاشت استفاده میشود که در ادامه، چند مورد از آنها را بیان خواهیم کرد.
برای موارد گوناگون، نرمهای مختلفی تعریف شده است که در ادامه، مهمترین آنها را بیان خواهیم کرد.
نرم L0
اگر هر عددی را به توان 0 برسانیم، حاصل آن برابر با 1 خواهد شد (به جز 0 که حاصل آن برابر با صفر است). بنابراین، حاصل این نرم، متناظر با تعداد عناصر غیرصفر در بردار است. البته این مورد، در واقع یک نرم نیست، زیرا اگر بردار را در α ضرب کنیم، عدد تغییری نخواهد کرد (قانون ۴ بالا).
نرم L1
اگر p=1، آنگاه نرم برابر با مجموع قدر مطلقها خواهد بود:
∣∣x∣∣1=i∑∣xi∣
نرم اقلیدسی (نرم L2)
نرم اقلیدسی نرم p با p=2 است که به صورت زیر تعریف میشود:
∣∣x∣∣2=(i∑xi2)1/2⇔i∑xi2
مثالی از این نرم را بررسی میکنیم.
مثال ۲
از نظر گرافیکی، نرم اقلیدسی متناظر با طول بردار از مبداء به نقطه به دست آمده از تبدیل خطی است (مانند اعمال قضیه فیثاغورس).
u=34
∣∣u∣∣2=∣3∣2+∣4∣2=25=5
بنابراین، نرم L2 برابر با 5 است.
نرم L2 را میتوان با تابع "linalg.norm" در نامپای (NumPy) پایتون محاسبه کرد. میتوانیم نتیجه را به صورت زیر بررسی کنیم:
5.0
کد زیر، نمایش گرافیکی بردارها را ارائه میکند:
بردارهای مثال ۲
در این حالت، بردار یک فضای دو بعدی است، اما میتوان آن را برای ابعاد بزرگتر نیز بیان کرد.
u=u1u2⋯un
∣∣u∣∣2=u12+u22+⋯+un2
نرم اقلیدسی مربعی
نرم اقلیدسی مربعی (Squared Euclidean Norm)، نرم مناسبی است، زیرا ریشه مربع را حذف میکند و مجموع سادهای از هر کدام از مقدارهای مربع بردار است.
نرم اقلیدسی مربعی استفاده گستردهای در یادگیری ماشین دارد، زیرا میتوان آن را با عملگر برداری xTx محاسبه کرد.
مثال ۳
محاسبات زیر، مربوط به نرم اقلیدسی مربعی است:
x=2533
xT=[2533]
xTx=[2533]×2533=2×2+5×5+3×3+3×3=47
array([[2],
[5],
[3],
[3]])
array([[47]])
47.0
مشتق نرم L2 مربعی
یک مزیت دیگر نرم L2 مربعی این است که مشتق جزئی آن به سادگی محاسبه میشود:
یکی از معایب نرم L2 مربعی این است که به سختی بین صفر و مقادیر کوچک تمایز قائل میشود، زیرا افزایش تابع آن کند است.
این مورد را میتوان به صورت گرافیکی و از طریق مقایسه نرم L2 مربعی و نرم L2 مشاهده کرد. محور z متناظر با نرم و محورهای x و y متناظر با دو پارامتر هستند. همین مورد برای بیش از دو بعد نیز صدق میکند، اما نمایش بصری آن دشوار است.
شکل زیر نرم L2 را نشان میدهد.
L2" width="590" height="367">نرم L2
نرم L2 مربعی نیز در شکل زیر نشان داده شده است.
L2 مربعی" width="600" height="399">نرم L2 مربعی
و در نهایت، نرم L1 در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.
L1" width="720" height="425">نرم L1
نرم ماکزیمم
نرم ماکزیمم همان نرم L∞ است و قدر مطلق بزرگترین درایه بردار را مشخص میکند.
سید سراج حمیدی دانشآموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزشهای مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را مینویسد.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
یک مثال بزنید که نرم ماتریسی نباشد ولی نرم برداری باشد
لطف کنید جواب بدین
با سلام تشکر از سایت خوبتون
نرم ۲ ماتریس مثلثی چطور محاسبه می شود؟
سلام. ببخشید فرق ||x|| ای که در سمت راستش یک دو بالا و یک دو پایین دارد با ||x|| ای تنها یک دو پایین دارد چیست؟
سلام پردیس گرامی.
مورد اول همان نرم ۲ است که به توان ۲ رسیده است.
موفق باشید.
آیا نرم هایی وجود دارد که خاصیت زیر ضربی و سازگاری رو نداشته باشند؟
سلام درچه صورت نرم های ماتریسی خاصیت زیرضربی وسازگاری رو ندارند مثال میشه بزنید ممنون میشم
سلام.
نرمهای ماتریسی ممکن است خاصیت زیرضربی نداشته باشند.
سالم و موفق باشید.
بسیار عالی واقعا لذت بردم
سلام.
خوشحالیم که این آموزش برایتان مفید بوده است.
سالم و موفق باشید.
عالی واقعا سپاس
آیا نرم هایی وجود دارد که خاصیت زیر ضربی و سازگاری رو نداشته باشند؟
سلام
هم از بنیانگذاران سایت و هم از اساتیدی که وقت گذاشتن خیلی تشکر می کنم.
خدا خیرتون بده
ممنون از لطف شما و وقتی که گذاشتید خدا به علم تون برکت بده و به وجودتون سلامتی و نشاط
سلام
فقط میتونم بگم این سایت محشره??
واقعا ممنون بابت تلاش تون…???
چرا به ازای یک دوم،نامساوی مثلث برقرار نیست؟؟