میدان برداری — به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به توابع برداری و اسکالر را توضیح دادیم. در این مطلب قصد داریم تا مفهومی تحت عنوان میدان برداری را توضیح داده و مثال‌هایی از آن ارائه دهیم. البته پیشنهاد می‌شود به منظور درک بهتر، مطلب گرادیان را نیز مطالعه فرمایید.

میدان برداری

یک میدان برداری در فضای دو یا سه بعدی، تابعی همچون $$\overrightarrow F$$ است که به هر نقطه‌ای همچون $$\left ( { x , y } \right )$$ یا $$\left ( { x , y , z } \right )$$ برداری مثل $$\overrightarrow F \left ( { x , y } \right )$$ یا $$\overrightarrow F \left ( { x , y , z } \right )$$ را به ما می‌دهد.

فیلم آموزش ریاضی عمومی 2 – جامع و کاربردی در فرادرس

کلیک کنید

شاید این توصیف از میدان برداری ملموس نباشد؛ اما با نگاهی در طبیعت به وجود چنین مفهومی بیشتر پی خواهید برد. برای نمونه شکل جریان آب یا گردباد نوعی میدان برداری محسوب می‌شوند. در شکل زیر میدانی برداری نشان داده شده است.

معمولا میدان برداریِ $$\overrightarrow F$$ به صورت زیر نشان داده می‌شود.

$$\large \begin{align*} \overrightarrow F \left( { x , y } \right ) & = P \left ( { x , y } \right ) \overrightarrow i + Q \left ( { x , y } \right ) \overrightarrow j \\ \overrightarrow F \left ( { x , y , z } \right ) & = P \left ( { x , y , z } \right ) \overrightarrow i + Q \left ( { x , y , z } \right) \overrightarrow j + R \left ( { x , y , z } \right ) \overrightarrow k \end {align*}$$

توجه داشته باشید که اِلِمان‌های $$P,Q,R$$ اسکالر هستند. در ادامه مثال‌هایی در مورد میدان برداری ارائه خواهیم کرد و مفاهیم آن را بیشتر توضیح خواهیم داد.

مثال ۱

شکل میدان برداری زیر به چه صورت است.

$$\large \begin{align*} \overrightarrow F \left ( { x , y } \right ) = - y \, \overrightarrow i + x \, \overrightarrow j \end {align*}$$

اگر هدف آن است که تصویری از میدان را در ذهنتان داشته باشید، در این صورت می‌توانید چند بردار تصادفی را از میدان‌ بدست آورده و آن‌ها را ترسیم کنید. برای نمونه در این مثال بردارهای زیر را می‌توان بدست آورد.

$$\begin {align*} \overrightarrow F \left ( { \frac { 1 } { 2 } ,\frac { 1 }{ 2 } } \right ) & = - \frac { 1 }{ 2 } \overrightarrow i + \frac{1}{2}\overrightarrow j \\ \overrightarrow F \left ( { \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } } \right) & = - \left ( { - \frac { 1} {2 } } \right)\overrightarrow i + \frac{1}{2}\overrightarrow j = \frac{1}{2}\overrightarrow i + \frac{ 1 } { 2 } \overrightarrow j \\ \overrightarrow F\left( {\frac { 3 } { 2 } , \frac{ 1 } { 4 } } \right) & = - \frac { 1 }{ 4} \overrightarrow i + \frac { 3 } {2 } \overrightarrow j\end{align*}$$

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۲ – مرور و حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

حال شاید این سوال را در ذهن داشته باشید که اعداد فوق چه چیزی را نشان می‌دهند؟ برای نمونه خط اول نشان می‌دهد که میدان فوق، برداری برابر با $$\begin {align*} - \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow i + \frac { 1 } { 2 } \overrightarrow j \end{align*}$$ را در نقطه $$\begin {align*} \left ( { \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2} } \right ) \end {align*}$$ ایجاد می‌کند. به همین صورت می‌توان گفت که این میدان، برداری به صورت $$\begin {align*} - \frac { 1 } { 4 } \overrightarrow i + \frac { 3 } { 2 } \overrightarrow j \end {align*}$$ را در نقطه $$\begin {align*} \left( { \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } } \right ) \end {align*}$$ ایجاد می‌کند. در حقیقت می‌توان تصویری از این میدان را به صورت زیر در نظر گرفت.

اگر نقاط بیشتری از میدان برداری فوق را بدست آوریم، در این صورت شکل میدان برداری نیز به صورت زیر بدست خواهد آمد.

مثال ۲

شکل میدان برداری زیر به چه صورت خواهد بود.

$$\large \begin {align*} \overrightarrow F \left ( { x , y } \right ) = \left ( { y - 1 } \right) \, \overrightarrow i + \left ( { x + y } \right ) \overrightarrow j \end {align*}$$

همانند مثال قبل، تعدادی از نقاط این تابع را می‌توان به صورت زیر در نظر بدست آورد.

$$\begin{align*} \overrightarrow F \left ( { 0 , - 1 } \right ) & = - 2 \, \overrightarrow i - \overrightarrow j & \hspace {0.5in} \overrightarrow F \left ( { 1 , 1 } \right ) & = 2 \overrightarrow j & \hspace {0.5in} \overrightarrow F \left ( { - 1 , 0 } \right ) & = - \, \overrightarrow i - \overrightarrow j \\ \overrightarrow F \left ( { - 2, - 1 } \right ) & = - 2 \, \overrightarrow i - 3 \overrightarrow j & \hspace {0.5in} \overrightarrow F \left ( { 1 , - 1 } \right ) & = - 2 \, \overrightarrow i & \hspace {0.25in} \overrightarrow F \left( {2,2} \right) & = \,\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \\ \overrightarrow F\left( { - 2,1} \right) & = - \overrightarrow j \end {align*}$$

در شکل زیر این بردار‌های نمونه ترسیم شده‌اند.

همان‌طور که در بالا نیز ترسیم شده، اندازه بردار‌ها نیز در نظر گرفته شده است. دلیل این امر پیش‌بینی کردن روند تغییرات اندازه و جهت بردار‌ها است. شکل زیر میدان برداری ترسیم شده توسط رایانه را نشان می‌دهد.

در بالا مثال‌هایی در مورد نحوه رسم یک میدان برداری توضیح داده شد. از طرفی همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، گرادیان مفهومی است که بیان کننده بردار عمود به رویه است. از این رو با محاسبه گرادیان یک میدان اسکالر، میدانی برداری بدست خواهد آمد.

مثال ۳

در زیر میدان‌هایی اسکالر ارائه شده‌اند. با توجه به ضابطه آن‌ها، میدان‌های برداری عمود به آن‌ها را بدست آورید.

1. $$\large \begin{align*} f \left ( { x , y } \right ) = { x ^ 2 } \sin \left ( { 5 y } \right ) \end {align*}$$
2. $$\large \begin{align*} f \left ( { x , y , z } \right ) = z { { \bf { e } } ^ { - x y } } \end {align*}$$

فیلم آموزش ریاضی پایه – مرور و حل تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

(a): گرادیان میدان برداری برابر است با:

$$\large \begin{align*} \nabla f = \left \langle { 2 x \sin \left ( { 5 y } \right),5{x^2}\cos \left( { 5 y } \right ) } \right \rangle \end {align*}$$

همان‌طور که می‌بینید از هریک از بخش‌های میدان اسکالر، مشتق گرفته شده و مولفه‌ها‌ی بدست آمده به صورت یک بردار در نظر گرفته شده است.

(b): گرادیان این تابع نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} \nabla f = \left \langle { - y z { { \bf { e } } ^ { - x y } } , - x z { { \bf{e } }^{ - x y } } , { { \bf { e } } ^ { - x y } } } \right\rangle \end {align*}$$

مثال ۴

شکل گرادیان میدان اسکالر زیر به چه صورت خواهد بود.

$$\large \begin {align*} f\left( { x , y } \right) = { x ^ 2 } + { y^ 2 } \end {align*}$$

توجه داشته باشید که کانتور‌های این میدان اسکالر به صورت دایره‌هایی هم‌مرکز هستند. چرا که این کانتور مطابق با عبارت زیر و به ازای $$k$$های مختلف ایجاد می‌شود.

$$\large \begin {align*} f \left ( { x ,y } \right) = k \end {align*}$$

از طرفی گرادیان میدان اسکالر برابر است با:

$$\large \begin {align*} \nabla f \left( { x , y } \right) = 2 x \, \overrightarrow i + 2 y \, \overrightarrow j \end {align*}$$

شکل زیر میدان‌های اسکالر یا همان خطوط قرمزرنگ و بردار‌های گرادیان مربوط به آن نشان داده شده است.