مسئله مقدار اولیه در معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل و روش‌های حل آن‌ها آشنا شدیم. دیدیم که جواب معادله دیفرانسیل، بدون ذکر جزئیات دیگر، یک معادله با پارامتری عمومی و به بیان دیگر، مجموعه‌ای از توابع خواهد بود. گاهی پیش می‌آید که بخواهیم جواب در نقطه خاصی صدق کند. در این حالت، یک مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) یا IPV خواهیم داشت که در این آموزش با آن آشنا می‌شویم. برای آشنایی بیشتر با این موضوع، می‌توانید آموزش «شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده» را نیز مطالعه کنید.

مسئله مقدار اولیه

همان‌طور که گفتیم، وقتی معادلات دیفرانسیل را حل می‌کنیم، اغلب جواب‌های زیادی را به دست می‌آوریم. برای مثال، معادله دیفرانسیل $$ \frac{dy}{dx} = y $$ را در نظر بگیرید. همه جواب‌های این معادله دیفرانسیل به صورت $$ y = C e ^ x $$ بوده که در آن، $$C$$ یک ثابت است. معادله $$ \frac{d}{dx} \left ( Ce^x \right ) = Ce^x $$ صحت این جواب را تأیید می‌کند.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

گاهی می‌خواهیم یک جواب خاص برای معادله دیفرانسیل به دست آوریم. برای مثال، در معادله ساده $$ \frac{dy}{dx} = y $$، فرض کنید که می‌خواهیم $$ y $$ به گونه‌ای باشد که $$y(0) = 3$$. از آنجایی که جواب معادله $$ y = Ce^x $$ است، رابطه $$3= y(0) = Ce^0 = C$$ و در نتیجه $$ C = 0 $$ را خواهیم داشت. بنابراین، جوابِ $$ y = 3e^x $$ هم در $$ \frac{dy}{dx} = y $$ و هم در $$ y (0) = 3 $$ صدق می‌کند. این اساساً همان چیزی است که یک مسئله مقدار اولیه نامیده می‌شود که در آن، مقدار اولیه $$y ( 0 ) = 3 $$ است.

تعریف: یک مسئله مقدار اولیه (IPV) مسئله‌ای است که در آن، می‌خواهیم جوابی برای معادله دیفرانسیل بیابیم که در مقدار اولیه $$ y ( x _ 0 ) = y _ 0 $$ صدق کند.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال ساده را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

فرض کنید جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$ \frac{dy}{dt} +2yt = 2te^{-t^2} $$ به صورت $$ y = t^2 e^{-t^2} + Ce^{-t^2} $$ است. جوابی را پیدا کنید که هم در معادله دیفرانسیل و هم در مقدار اولیه $$ y ( 0 ) = 5 $$ صدق کند.

حل: اگر $$ y ( 0 ) = 5 $$، آنگاه داریم:

$$ \large \begin {align} \quad 5 = 0 ^ 2 e ^ { - 0 ^2 } + C e ^ { - 0 } \\ \quad 5 = 0 + C \\ \quad C = 5 \end {align} $$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین، جواب $$y = t^2 e^{-t^2} + 5e^{-t^2} $$ است.

مثال ۲

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.

$$ \large \frac { d y } { d x } = 10 - x , \;\;\;\;\; y ( 0 ) = - 1 $$

حل: ابتدا جواب عمومی معادله دیفرانسیل را به دست می‌آوریم:

$$ \large \frac { d y } { d x } = 10 - x \implies d y = ( 10 - x ) d x \\ \large \int d y = \int ( 10 - x ) d x \implies y = 10 x - \frac { x ^ 2} { 2 } + C $$

طبق شرایط اولیه، وقتی $$ x = 0 $$ باشد، $$ y = 1 $$ است.

بنابراین، داریم:

$$ \large - 1 = 10 ( 0 ) - \frac { 0 } { 2 } + C \implies C = -1 $$

در نهایت، جواب این مسئله مقدار اولیه به صورت زیر است:

$$ \large y = 10 x - \frac { x ^ 2 } { 2 } - 1 $$

مثال ۳

جواب مسئله مقدار اولیه زیر را به دست آورید.

$$ \large \frac { d y } { d x } = 9 x ^ 2 - 4 x + 5 , \;\;\;\;\; y ( - 1 ) = 0 $$

حل: ابتدا جواب عمومی را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \frac { d y } { d x } = 9 x ^ 2 - 4 x + 5 \implies d y = ( 9 x ^ 2 - 4 x + 5 ) d x \\
\large \int d y = \int ( 9 x ^ 2 - 4 x + 5 ) d x \implies y = \frac {9 x ^ 3 } { 3 } - \frac { 4 x ^ 2 } { 2 } + 5 x + C $$

وقتی $$ x = -1 $$، آنگاه $$ y = 0 $$. در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$ \large 0 = 3 ( - 1 ) ^ 3 - 2 (-1) ^ 2 + 5 ( - 1 ) + C \\ \large \implies 0 = -3-2-5+C \implies C = 10 $$

بنابراین، جواب نهایی به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large y = 3 x ^ 3 - 2 x ^ 2 + 5 x + 10 $$

مثال ۴

جواب معادله دیفرانسیل زیر را بیابید.

$$ \large \frac { d s } { d t } = \cos t + \sin t , \;\;\;\; \; s ( \pi ) = 1 $$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

حل: جواب عمومی این معادله به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \frac { d s } { d t } = \cos t + \sin t \implies d s = ( \cos t + \sin t ) d t \\
\large \int d s = \int ( \cos t + \sin t ) d t \implies s = \sin t - \cos t + C $$

وقتی $$ t = \pi $$، $$s = 1 $$. بنابراین:

$$ \large 1 = \sin \pi - \cos \pi + C \implies 1 = 0 - ( - 1 ) + C \implies C = 0 $$

در نتیجه، جواب نهایی برابر است با:

$$ \large s = \sin t - \cos t $$

مثال ۵

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید:

$$ \large \frac { d ^ 2 y } { d x ^ 2 } = 2 - 6 x , \;\;\;\;\; y' ( 0 ) = 4 , \;\;\; y ( 0 ) = 1 $$

حل: جواب این مسئله را در دو گام ساده به دست می‌آوریم.

در گام اول، $$y'$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large y' = \int ( 2 - 6 x ) d x \implies y' = 2 x - \frac { 6 x ^ 2 } { 2 } + C $$

طبق شرایط اولیه مسئله، وقتی $$x = 0 $$، آنگاه $$ y' = 4 $$. در نتیجه، $$y'$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large 4 = 2 ( 0 ) - 3 ( 0 ) ^ 2 + C \implies C = 4 \\
\large \implies y' = 2 x - 3 x ^ 2 + 4 $$

اکنون، با انتگرال‌گیری از $$y'$$، عبارت $$y$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large y = \int ( 2 x - 3 x ^ 2 + 4 ) d x \implies y = \frac {2 x ^ 2 } { 2 } - \frac { 3 x ^ 3 } { 3 } + 4 x + C $$

طبق شرایط اولیه، وقتی $$ x = 0 $$ باشد، $$ y = 1 $$ است و خواهیم داشت:

$$ \large 1 = 0 ^ 2 - 0 ^ 3 + 4 ( 0 ) + C \implies C = 1 \\ $$

بنابراین، جواب نهایی این معادله دیفرانسیل با توجه به شرایط اولیه، برابر است با:

$$ \large y = x ^ 2 - x ^ 3 + 4 x + 1 $$