محاسبه عبارت های جبری — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

«جبر و مقابله» (Algebra)، به دانشی اشاره دارد که به بررسی عبارت‌های جبری پرداخته و درست به مانند اعداد، جمع، تفریق و ضرب و تقسیم آن‌ها را به عنوان چهار عمل اصلی مورد محاسبه قرار می‌دهد. همینطور معنی و مفهوم مقابله نیز به معنی تساوی است. بنابراین موضوع جبر و مقابله، حل معادلات جبری است. از دیر باز عبارت های جبری و محاسبات مربوط به آن‌ها مورد علاقه دانشمندان بوده است. بطوری که واژه جبر و مقابله از عربی وارد مفاهیم ریاضی شده و در لاتین عبارت Algebra‌ از عربی گرفته شده است. یکی از معتبرترین کتاب‌های مربوط به جبر و بخصوص حل معادلات، کتاب «رساله فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله» است که توسط «حکیم عمر خیام» نوشته شده است. او در این کتاب به بررسی و محاسبه عبارت های جبری و روش حل معادله درجه سه پرداخته است.

در این نوشتار ابتدا عبارت‌های جبری را معرفی کرده و قواعد مربوط به جمع و تفریق و همچنین ضرب و تقسیم آن‌ها خواهیم پرداخت. براساس همین موضوعات می‌توانید نوشته‌های چندجمله‌ای‌ها – به زبان ساده و تقسیم چند جمله ای ها — به زبان ساده را مطالعه کنید. البته خواندن مطلب معادله و نامعادله در ریاضی — پیدایش و کاربردها نیز خالی از لطف نیست.

محاسبه عبارت های جبری

درست به همان شکلی که اعداد در ذهن ما جایگزین اشیا شدند، استفاده از نام متغیرها نیز جایگزینی برای اعداد است. وقتی از متغیر $$x$$ صحبت می‌کنیم، منظورمان مقدار عددی است که هنوز مشخص نشده است. به این ترتیب عبارت‌های جبری جایگزین اعداد و محاسبات مبتنی بر اعداد شدند.

فیلم آموزش ساختارهای جبری، گراف ها و ماتریس ها در فرادرس

کلیک کنید

هرگاه از مقدار واقعی عددی در یک رابطه ریاضی آگاهی نداریم از اسم یک متغیر مثل $$x, y, z,\cdots$$ استفاده می‌کنیم تا بتوانیم نام یا علامتی برای آن عدد مشخص کنیم. برای مثال رابطه $$x+2$$ بیانگر جمع یک مقدار نامشخص با عدد ۲ است که هرگاه مقدار $$x$$ تعیین شود، محاسبه این رابطه امکان‌پذیر خواهد بود.

ممکن است در یک رابطه جبری، بیش از یک متغیر یا عدد نامعلوم به کار رفته باشد. در زیر به چند نمونه از عبارت‌های جبری با متغیرهای $$x, y, z$$ پرداخته‌ایم. شما به راحتی می‌توانید به جای $$x, y, z$$ مقدار عددی قرار دهید و محاسبات را انجام دهید.

$$\large x+2y;\;\;\;\;x+\frac{x}{2}+z\times y;\;\;\;\;2x+3y+4z$$

برای مثال اگر $$x=1,y=2,z=3$$ باشد عبارت‌های بالا به صورت زیر قابل محاسبه‌اند.

$$\large x+2y=1+2\times(2)=5;\\ \large x+\frac{x}{2}+z\times y=1+\frac{1}{2}+3=4\frac{1}{2};\\ \large 2x+3y+4z=2\times 1+3\times 2+4\times 3=2+6+12=20$$

در عبارت‌های جبری، قسمت‌هایی که توسط جمع یا تفریق از یکدیگر جدا شده‌اند، «جمله» (Term) نامیده می‌شوند.

عبارت‌های جبری توان‌دار

همانطور که گفته شد، در عبارت‌های جبری به جای اعداد از حروف لاتین استفاده می‌شود. اگر یک عبارت در خودش ضرب شود، می‌توان آن را به صورت توان نمایش داد. از همین رو منظور از $$x^2$$ حاصلضرب $$x$$ در خودش است. به این ترتیب می‌توان عبارت‌های زیر را نیز به صورت عبارت‌های جبری در نظر گرفت که براساس متغیرهای $$x, y, z$$ ساخته شده‌اند.

$$\large x^2+y^2+z^2;\;\;\;xy^2+x^{\frac{1}{2}}\times z;\;\;\;\dfrac{xy^2}{\sqrt{z}}$$

نکته: نوع خاصی از عبارت‌های جبری، چند جمله‌ای‌ها نام دارند که در آن‌ها رابطه خطی بین عبارت‌های جبری برقرار است. بنابراین عبارت $$x^{yz}$$ یک چند جمله‌ای محسوب نمی‌شود در حالیکه $$4xy^2+yz^3+zx$$ یک چند جمله‌ای برحسب $$x, y, z$$ است.

ممکن است توان‌های مربوط به عبارت جبری به صورت اعداد اعشاری نیز باشند. برای مثال عبارت $$x^{\frac{1}{2}}$$ به معنی ریشه دوم و $$y^{\frac{1}{3}}$$ به معنی ریشه سوم است. پس داریم:

$$\large x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}$$

محاسبه چهار عمل اصلی روی عبارت‌های جبری

همانطور که گفته شد، یک عبارت جبری شامل متغیرهایی است که با حروف لاتین نمایش داده می‌شوند. این متغیرها جایگزین برای اعدادی محسوب می‌شوند که هنوز مشخص نیستند. بنابراین اگر قرار است یک عبارت جبری به ازاء مقدارهای مخلتف متغیرها، محاسبه شود، کافی است به جای متغیرها، اعداد معرفی شده برایشان جایگزین شده و محاسبات دنبال شود. برای مثال حاصل عبارت زیر را به ازاء $$x=1, y=2, z=3$$ محاسبه کرده‌ایم.

$$\large \frac{x^{\frac{1}{2}}+xyz-y^2}{zx^2}=\frac{1^{(\frac{1}{2})}+(1)(2)(3)-2^2}{3\times 1^2}=\frac{1+6-4}{3}=\frac{3}{3}=1$$

فقط در محاسبات به شکل رادیکالی یا کسری باید توجه کرد که مخرج صفر کسر نیست و زیر رادیکال نیز منفی نباشد. در غیر اینصورت محاسبات برای اعداد حقیقی امکان‌پذیر نخواهد بود.

جمع و تفریق عبارت‌های جبری

برای آشنایی با شیوه جمع و تفریق عبارت‌های جبری ابتدا باید عبارت‌های جبری مشابه را معرفی کنیم. دو عبارت $$5xy^2$$ و $$6xy^2$$ مشابه نامیده می‌شوند زیرا از لحاظ اسامی متغیرها و درجه یا توان هر یک از متغیرها یکسان هستند و تنها در ضرایب جملات تفاوت وجود دارد. بنابراین می‌توان جملات $$6x^2y^3z^4$$ و $$5y^3x^2z^4$$ را نیز مشابه نامید. از آنجایی که عمل ضرب، دارای خاصیت جابجایی است، ترتیب قرار گرفتن متغیرها در عبارت جبری در آن تاثیری نداشته و هر دو عبارت، مشابه خواهند بود.

فیلم آموزش دستگاه معادلات جبری خطی (الف) در جبر خطی با متلب (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

هنگام جمع و تفریق عبارت‌های جبری فقط عبارت‌های مشابه را می‌توان مورد محاسبه قرار داد. به این ترتیب فقط ضرایب عبارت‌های مشابه با یکدیگر جمع یا تفریق خواهند شد. با توجه به این موضوع، حاصل جمع دو عبارت $$5xy^2$$ و $$6xy^2$$  برابر است با $$11xy^2$$ و تفاضلشان نیز به صورت $$6xy^2- 5xy^2= xy^2$$ درخواهد آمد.

واضح است که جملات غیرمشابه در این حالت بدون تغییر باقی خواهند ماند. به مثال زیر دقت کنید:

$$\large 5-x^2y^3-xz^4+ 5x^2y^3-yz^3=5-4x^2y^3-xz^4-yz^3$$

ضرب و تقسیم عبارت‌های جبری

زمانی که موضوع مربوط به ضرب و تقسیم عبارت‌های جبری باشد، جملات مشابه آن‌هایی هستند که دارای متغیرهای یکسانی باشند. بنابراین در این حالت دو عبارت $$xy^3z$$ و $$6x^4yz^2$$ مشابه خواهند بود. البته باید توجه داشت در این حالت می‌توان عبارت $$xy$$ را هم مشابه جملات قبلی در نظر گرفت زیرا توان z را در این حالت، صفر در نظر خواهیم گرفت.

برای ضرب جملات‌ جبری مشابه کافی است توان‌های جملات مشابه را با یکدیگر جمع کنیم. همینطور هنگام تقسیم باید توان جمله مخرج را از توان عبارت صورت کم کرد. به مثال‌های زیر دقت کنید.

$$\large xy^2 \times xyz= x^{1+1}y^{2+1}z^{0+1}=x^2y^3z$$
$$\large \dfrac{xy^2}{xyz}= x^{1-1}y^{2-1}z^{0-1}=x^0y^1z^{-1}=\dfrac{y}{z}$$

به این ترتیب می‌توان این قاعده کلی را در نظر گرفت که در ضرب دو عبارت جبری مشابه، توان‌ها با یکدیگر جمع و در تقسیم آن‌ها توان‌های مخرج از صورت کسر خواهد شد.

نکته: اگر توان در یک عبارت جبری به صورت منفی در بیاید، می‌توان آن عبارت را در مخرج قرار داده و توان را به صورت مثبت نشان دهیم. همچنین اگر توان یک عبارت جبری برابر با صفر شود، مقدارش را برابر با ۱ در نظر گرفته که در این حالت برای ضرب یا تقسیم از نوشتن آن عبارت صرف نظر خواهیم کرد.

استفاده از اتحادهای جبری در ساده کردن بسیاری از عبارت‌های جبری موثر است، بنابراین می‌توانید با سرعت و سادگی بیشتری محاسبات عبارت‌های جبری را انجام دهید. برای مطالعه در این زمینه به مطلب اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده مراجعه کنید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات فرادرس
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• آموزش ریاضیات عمومی 2
• تعریف های ابتدایی جبر – به زبان ساده
• بسط تیلور – به زبان ساده

^^