فرادرسقضیه میلمن در مدار — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس با برخی از روش‌های ساده‌سازی مدارهای الکتریکی مانند قضایای تونن و نورتون و تقسیم ولتاژ آشنا شدیم. در این آموزش، درباره «قضیه میلمن» (Millman’s Theorem) بحث خواهیم کرد.
قضیه میلمن
قضیه میلمن برای ساده کردن مدارهایی مشابه شکل ۱ به کار می‌رود که منبع ولتاژ دارند.
هرچند از سایر قضایایی که در مدار وجود دارد می‌توان برای ساده‌سازی چنین مداری استفاده کرد، اما قضیه میلمن بسیار ساده‌تر بوده و مدار معادل را مستقیماً نتیجه می‌دهد.
در مدارهایی مانند مدار شکل ۱، منابع ولتاژ را می‌توان با یک منبع معادل، مطابق شکل ۲ جایگزین کرد.
برای پیدا کردن اندازه منبع ولتاژ معادل $$ E _ {e q } $$ و مقاومت سری $$ R _ { eq } $$، باید هر یک از منابع ولتاژ شکل ۱ را با استفاده از قضیه تبدیل منابع به منبع جریان معادلش تبدیل کرد. مقدار هر منبع جریان را می‌توان با استفاده از قانون اهم تعیین کرد (یعنی $$ I _ 1 = E _ 1 / R _ 1 $$، $$ I _ 2 = E _ 2 / R _ 2 $$ و...). پس از آنکه تبدیل منابع به پایان رسید، مدار به صورت شکل ۳ در خواهد آمد.
در مدار شکل ۳ می‌بینیم که همه منابع جریان جهت یکسانی دارند. واضح است که همیشه جهت منابع جریان با یکدیگر برابر نیست و جهت آن‌ها با توجه به پلاریته منبع ولتاژ متناظر تعیین می‌شود.
اکنون می‌توانیم $$n$$ منبع جریان را با یک منبع جریان جایگزین کنیم که مقدار آن برابر است با:
$$ \large I _ { e q } = \sum _ {x = 0 } ^ n I _ x = I _ 1 + I _ 2 + I _ 3 + \cdots + I _ n \; \; \; \; \; \; (1) $$
و می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:
$$ \large I _ { e q } = \frac { E _ 1 } { R _ 1 } + \frac { E _ 2 } { R _ 2 } +\frac { E _ 3 } { R _ 3 } + \cdots + \frac { E _ n } { R _ n } \; \; \; \; \; (2) $$
اگر جهت هر منبع جریان مخالف جهت نشان داده شده باشد، اندازه آن منبع در فرمول‌های بالا به جای به‌علاوه، علامت منها خواهد داشت. از شکل ۳ می‌توان مشاهده کرد که حذف منابع جریان منجر به مقاومت معادل زیر خواهد شد:
$$ \large R _ { e q } = R _ 1 || R _ 2 || R _ 3 || \cdots || R _ n \; \; \; \; \; (3) $$
که به صورت زیر تعیین می‌شود:
$$ \large R _ { e q } = \frac { 1 } {G _ { e q } } = \frac { 1 } {\frac {1 } { R _ 1 } + \frac {1 } { R _ 2 } + \frac {1 } { R _ 3 } + \cdots + \frac {1 } { R _ n } } \; \; \; \; \; (4) $$
فرمول کلی ولتاژ معادل، برابر است با:
$$ \large E _ { e q} = I _ {e q} R _ { e q } = \frac { 1 } {G _ { e q } } = \frac { \frac {E _ 1 } { R _ 1 } + \frac {E _ 2} { R _ 2 } + \frac { E _ 3 } { R _ 3 } + \cdots + \frac { E _ n } { R _ n } } {\frac {1 } { R _ 1 } + \frac {1 } { R _ 2 } + \frac {1 } { R _ 3 } + \cdots + \frac {1 } { R _ n } } \; \; \; \; \; (5) $$
مثال
از قضیه میلمن برای ساده کردن مدار شکل ۴ به گونه‌ای استفاده می‌کنیم که فقط یک منبع داشته باشیم.
از مدار ساده شده برای تعیین جریان مقاومت بار $$ R _ L $$ کمک می‌گیریم.
حل: با استفاده از معادله (۵) اندازه منبع ولتاژ را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:
$$ \large \begin {align*} V _ { a b } = E _ { e q} & = \frac { \frac { - 96 \, \text{V} } { 240 \, \Omega} + \frac {40 \, \text{V}} { 200 \, \Omega } + \frac { - 80 \, \text{V} } { 800 \, \Omega } } {\frac { 1 } { 240 \, \Omega} + \frac {1} { 200 \, \Omega } + \frac { 1 } { 800 \, \Omega }} \\
V _ {ab} & = \frac { - 0.300 } {10.42 \; \text{mS}} = -28.8 \; \text{V}
\end {align*}$$
مقاومت معادل برابر است با:
$$ \large V _ { a b } = E _ { e q} = \frac { 1} {\frac { 1 } { 240 \, \Omega} + \frac {1} { 200 \, \Omega } + \frac { 1 } { 800 \, \Omega }} = \frac { 1 } { 10.42 \, \text{mS} } = 96 \; \Omega $$
مدار معادل با استفاده از قضیه میلمن در شکل ۵ نشان داده شده است. لازم به ذکر است که پلاریته منبع ولتاژ معادل، مخالف پلاریته مفروض اولیه است. این به آن دلیل است که اندازه منابع ولتاژ $$ E _ 1 $$ و $$ E _ 3 $$ به گونه‌ای است که بر پلاریته و اندازه منبع $$ E _ 2 $$ غلبه می‌کنند.
با توجه به مدار شکل ۵، به سادگی می‌توان جریان گذرنده از مقاومت بار را محاسبه کرد:
$$ \large I _ L = \frac { 28.8 \, \text{V} } {96 \, \Omega + 192 \, \Omega } = 0.100 \, \text{A} = 100 \, \text{mA} $$
جهت این جریان به سمت بالا است.
اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
فیلم های آموزش قضیه میلمن در مدار — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
فیلم آموزشی قضیه میلمن
فیلم آموزشی حل مثال از قضیه میلمن
