فرمول کاردانو – به زبان ساده

«فرمول کاردانو» (Cardano's Formula) روشی مشابه روش مربع کامل برای حل معادلات درجه دو است که در یافتن ریشه حقیقی معادله درجه سه کاربرد دارد.

معادله درجه سه مورد نظر به فرم زیر است:

$$\large a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d = 0 .$$

دو ریشه دیگر (حقیقی یا مختلط) معادله را می‌توانیم با تقسیم چندجمله‌ای فرمول درجه دوم بیابیم. یافتن جواب دو مرحله دارد. ابتدا معادله درجه سوم را تقلیل می‌دهیم و سپس معادله تقلیل یافته را حل می‌کنیم.

تقلیل معادله درجه سه

برای تقلیل معادله، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large x = y - \frac { b } { 3 a } .$$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} a \left ( y - \frac { b } { 3 a } \right ) ^ 3 + b \left ( y - \frac { b } { 3 a } \right ) ^ 2 + c \left ( y - \frac { b } { 3 a } \right ) + d & = 0 \\ a y ^ 3 -b y ^ 2 + \frac { b ^ 2 } { 3 a } y - \frac { b ^ 3 } { 2 7 a ^ 2 } + b y ^ 2 - \frac { 2 b ^ 2 } { 3 a } y + \frac { b ^ 3 } { 9 a ^ 2 } + c y - \frac { b c } { 3 a } + d & = 0 \\ a y ^ 3 + \left ( c -\frac { b ^ 2 } { 3 a } \right ) y + \left ( d + \frac { 2 b ^ 3 }{ 2 7 a ^ 2 } - \frac { b c } { 3 a } \right ) & = 0 . \end {aligned}$$

توجه کنید که معادله بالا به گونه‌ای تقلیل یافته که جمله $$y ^ 2$$ در آن وجود ندارد. برای درک بهتر این روند، یک مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال اول تقلیل معادله درجه سه

معادله زیر را تقلیل دهید.

$$\large 2 x ^ 3 - 3 0 x ^ 2 + 1 6 2 x - 3 5 0 = 0$$

حل: با تغییر متغیر $$x = y - \frac { - 3 0 } { 6 } = y + 5$$، معادله تقلیل یافته به صورت زیر خواهد بود:‌

$$\large \begin {aligned} 2 \left ( y ^ 3 + 1 5 y ^ 2 + 7 5 y + 1 2 5 \right ) - 3 0 \left ( y ^ 2 + 1 0 y + 2 5 \right ) + 1 6 2 ( y +5 ) -3 5 0 & = 0 \\ 2 y ^ 3 + ( 1 5 0 - 3 0 0 + 1 6 2 ) y + 2 5 0 - 7 5 0 + 8 1 0 - 3 5 0 & = 0 \\ 2 y ^ 3 + 1 2 y - 4 0 & = 0 \\ y ^ 3 + 6 y - 2 0 & = 0 . \ _ \square \end {aligned}$$

مثال دوم تقلیل معادله درجه سه

چندجمله‌ای درجه سوم زیر را در نظر بگیرید.

$$\large x ^ 3 - 9 x ^ 2 + 2 0 x + 2$$

می‌خواهیم این چندجمله‌ای را به فرم زیر بنویسیم:

$$\large y ^ 3 + c y + d$$

که در آن، $$c$$ و $$d$$ اعدادی حقیقی هستند و رابطه $$y$$ با $$x$$ خطی است. مقدار $$c + d$$ چقدر است؟

حل: تغییر متغیر $$x = y - p$$ را در نظر می‌گیریم. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large \begin {array} { l } x ^ 3 - 9 x ^ 2 + 2 0 x + 2 \\ ( y - p ) ^ 3 - 9 ( y - p ) ^ 2 + 2 0 ( y - p ) + 2 \\ y ^ 3 - 3 p y ^ 2 + 3 p ^ 2 y - p ^ 3 - 9 (y ^ 2 - 2 p y + p ^ 2 ) + 2 0 y - 2 0 p +2 \\ y ^ 3 + ( - 3 p - 9 ) y ^ 2 + ( 3 p ^ 2 + 1 8 p + 2 0 ) y + ( - p ^ 3 - 9 p ^ 2 - 2 0 p + 2 ) . \end {array}$$

ضریب جمله دوم باید صفر باشد. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$\large \begin {aligned} - 3 p - 9 & = 0 \\ p & = - 3 . \\ \end {aligned}$$

با جایگذاری مقدار $$p$$، معادله به صورت زیر در می‌آید:

$$\large y ^ 3 - 7 y + 8 .$$

بنابراین، $$c + d = 1$$ خواهد بود.

حل معادله تقلیل یافته

گام بعدی، حل معادله تقلیل یافته به فرم $$y ^ 3 + A y = B$$ است.

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

ابتدا تغییر متغیر زیر را در نظر می‌گیریم:

$$\large \begin {aligned} 3 s t & = A \\ s ^ 3 - t ^ 3 & = B . \end {aligned}$$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large y = s - t .$$

مثال حل معادله تقلیل یافته

ریشه حقیقی معادله $$2 x ^ 3 - 3 0 x ^ 2 + 1 6 2 x - 3 5 0 = 0$$ را بیابید.

حل: با توجه به مثال بالا، می‌دانیم که تقلیل یافته معادله، $$y ^ 3 + 6 y = 20$$ است. سپس، از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم:‌

$$\large \begin {aligned} 3 s t & = 6 & & \qquad ( 1 ) \\ s ^ 3 - t ^ 3 & = 2 0 . & & \qquad ( 2 ) \end {aligned}$$

با توجه به (۱)، $$s = \frac {2 } { t }$$ را خواهیم داشت و با جایگذاری در (۲)، می‌توان نوشت:

$$\large \dfrac { 8 } { t ^ 3 } - t ^ 3 = 2 0 . \qquad ( 2 a )$$

با ضرب (۲a) در $$t ^ 3$$، معادله درجه دوم زیر را برحسب $$t ^ 3$$ به دست می‌آوریم:

$$\large t ^ 6 + 2 0 t ^ 3 - 8 = 0 .$$

با حل معادله برای $$t ^ 3$$ و در نتیجه، $$t$$، خواهیم داشت:

$$\large t ^ 3 = \frac { - 2 0 \pm 1 2 \sqrt { 3 } } { 2 } \implies t = \sqrt [ 3 ] { \small- 1 0 \pm 6 \sqrt { 3 } } .$$

می‌توان نشان داد که $$t$$ چه مثبت و چه منفی باشد، مقدار یکسانی برای $$y = s - t$$ خواهیم داشت. در اینجا، تنها مقدار مثبت را در نظر می‌گیریم:

از (۲)، داریم:

$$\large s = \sqrt [ 3 ] { \small2 0 - 1 0 + 6 \sqrt { 3 } } = \sqrt [ 3 ] { \small 1 0 + 6 \sqrt { 3 } }$$

که در نتیجه آن، خواهیم داشت:

$$\large y = s - t = \sqrt [ 3 ] { \small {1 0 + 6 \sqrt { 3 }} } - \sqrt [ 3 ] { \small - 1 0 + 6 \sqrt { 3 } } = 2 .$$

بنابراین، ریشه حقیقی معادله درجه سه اصلی $$2 x ^ 3 - 3 0 x ^ 2 + 1 6 2 x - 3 5 0 = 0$$، برابر است با:

$$\large x = y + 5 = 2 + 5 = 7 .$$

تذکر: بررسی می‌کنیم که $$x = 7$$ تنها ریشه حقیقی معادله درجه سه $$2 x ^ 3 - 3 0 x ^ 2 + 1 6 2 x - 3 5 0 = 0 2$$ باشد، زیرا $$2 x ^ 3 - 3 0 x ^ 2 + 1 6 2 x - 3 5 0$$ را می‌توان به صورت $$2 ( x - 7 ) ( x ^ 2 - 8 x + 2 5 )$$ نوشت.

فرمول کاردانو

فرمول کاردانو را در قالب قضیه زیر بیان می‌کنیم.

قضیه: چندجمله‌ای درجه سه $$P : a x ^ 3 + b x ^ 2 + c x + d = 0$$ دارای جواب‌های زیر است:

$$\large \begin {aligned} x _ 1 & = S + T - \frac b { 3 a } \\ x _ 2 & = - \frac { S + T } 2 - \frac b { 3 a } + \frac { i \sqrt 3 } 2 \left ( { S - T } \right ) \\ x _ 3 & = - \frac { S + T } 2 - \frac b { 3 a } - \frac { i \sqrt 3 } 2 \left ( { S - T } \right ) , \\ \end {aligned}$$

که در آن، داریم:

اثبات: پس از کاهش معادله و یکین (Monic) کردن آن (چیدن از بزرگ‌ترین درجه) با تقسیم بر $$a$$، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} y ^ 3 + \left ( \dfrac { 3 a c - b ^ 2 }{ 3 a ^ 2 } \right ) y + \dfrac { 2 b ^ 3 - 9 a b c + 2 7 a ^ 2 d } { 2 7 a ^ 3 } & = 0 \\ y ^ 3 + 3 Q y - 2 R & = 0 . \end {aligned}$$

اکنون اتحاد $$( S + T ) ^ 3 - 3 S T ( S + T ) -( S ^ 3 + T ^ 3 ) = 0$$ را در نظر بگیرید. اگر آن را با معادله تطبیق دهیم، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} y & = S + T \\ S T & = - Q \\ S ^ 3 + T ^ 3 & = 2 R . \end {aligned}$$

دو طرف معادله دوم را به توان سه می‌رسانیم و خواهیم داشت: $$S ^ 3 T ^ 3 = - Q ^ 3$$. اکنون طبق «فرمول ویتا» (Vieta's Formula)، چندجمله‌ای $$P ( z ) = z ^ 2 - 2 R z - Q ^ 3$$ دارای ریشه‌های $$S ^ 3$$ و $$T ^ 3$$ خواهد بود. بنابراین، با استفاده از فرمول درجه دوم، داریم:

$$\large z = R \pm \sqrt { R ^ 2 + Q ^ 3 } .$$

توجه کنید که دستگاه معادلات برای $$S$$ و $$T$$ متقارن است، بنابراین، درجه‌ای که انتخاب می‌کنیم، مهم نیست، و مقدار $$y$$ یکسانی به دست خواهد آمد. در نتیجه، داریم:

که $$0 \le m$$ و $$n \le 2$$ و $$w$$ هر ریشه اصلی عدد یک است. مشاهده می‌کنیم که ۹ ترکیب برای مقدار $$S + T$$ خواهیم داشت، اما فقط سه تا از آن‌ها کارآمد هستند. با نگاهی به معادله دوم، در می‌یابیم که $$m + n$$ باید ضریبی از ۳ باشد، بنابراین، $$( m , n ) = ( 0 , 0 ) = ( 1 , 2 ) = ( 2 , 1 )$$ و جواب‌ها به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {aligned} y _ 1 & = S + T \\ y _ 2 & = S w + T w ^ 2 \\ y _ 3 & = S w ^ 2 + T w . \end {aligned}$$

$$w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$ و $$w^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$ را انتخاب می‌کنیم. بنابراین:

$$\large \begin {aligned} y _ 2 & = \dfrac { - ( S + T ) + \sqrt { 3 } ( S - T ) i } { 2 } \\ y _ 3 & = \dfrac { - ( S + T ) - \sqrt { 3 } ( S - T ) i } { 2 } . \end {aligned}$$

تغییر متغیر $$x = y - \frac { b } { 3 a }$$ را بر می‌گردانیم و به جواب‌های مطلوب می‌رسیم.

مثال اول فرمول کاردانو

ریشه‌های معادله چندجمله‌ای زیر را با استفاده از فرمول کاردانو بیابید:

$$\large x ^ 3 + 2 x ^ 2 + 3 x + 4 = 0 .$$

حل: با توجه به این معادله، داریم:

$$\large a = 1 , \quad b = 2 , \quad c = 3 , \quad d = 4 .$$

اکنون $$Q$$ و $$R$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {aligned} Q & = \frac { 3 a c - b ^ 2 } { 9 a ^ 2 } = \frac { 5 } { 9 } \\ \\ R & = \frac { 9 a b c - 2 7 a ^ 2 d - 2 b ^ 3 } { 5 4 a ^ 3 } = -\frac { 3 5 } { 2 7 } . \end {aligned}$$

حال، $$S$$ و $$T$$ را محاسبه می‌کنیم:

ریشه‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

مثال دوم فرمول کاردانو

معادله زیر را در نظر بگیرید:

$$\large x ^ 3 - 3 x ^ 2 - 2 x+ 4 - 6 \sqrt { 2 } = 0 .$$

ریشه حقیقی این معادله را با استفاده از فرمول کاردانو محاسبه کنید.

حل: با به تطبیق این مثال با روش کاردانو، داریم:

$$\large a = 1 , \quad b = - 3 , \quad c = - 2 , \quad d = 4 - 6 \sqrt { 2 } .$$

اکنون، $$Q$$ و $$R$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {aligned} Q & = \frac { 3 a c - b ^ 2 } { 9 a ^ 2 } \\ \\ & = - \frac { 5 } { 3 } \\ \\ \\ R & = \frac { 9 a b c - 2 7 a ^ 2 d - 2 b ^ 3 } { 5 4 a ^ 3 } \\ \\ & = 3 \sqrt { 2 } . \end {aligned}$$

حال، $$S$$ و $$T$$ را محاسبه می‌کنیم:

در نتیجه، ریشه حقیقی برابر خواهد بود با:

$$\large \begin {aligned} x _ 1 & = S + T - \frac b { 3 a } \\ \\ & = \sqrt [ 3 ] { 3 \sqrt { 2 } + \frac { 1 9 \sqrt { 3 } } { 9 } } + \sqrt [ 3 ] { 3 \sqrt { 2 }- \frac { 1 9 \sqrt { 3 } } { 9 } } + 1 \\ \\ & \approx \boxed { 3 . 8 2 8 } \end {aligned}$$

مثال سوم فرمول کاردانو

معادله $$x ^ 3 - 3 x ^ 2 - 3 x - 1 = 0$$ دقیقاً یک ریشه حقیقی دارد که می‌توان آن را به فرم $$\sqrt [ 3 ] { a } + \sqrt [ 3 ] { b } + \sqrt [ 3 ] { c }$$ نوشت. مقدار $$a + b + c$$ را با استفاده از فرمول کاردانو بیابید.

حل: از تغییر متغیر $$x = y + 1$$ استفاده می‌کنیم تا ضریب جمله درجه دوم را حذف کنیم:

$$\large ( y + 1 ) ^ 3 - 3 ( y + 1 ) ^ 2 - 3 ( y + 1 ) - 1 = 0 \Longrightarrow y ^ 3 - 6 y - 6 = 0$$

اکنون، ضرایب معادله بر حسب $$y$$ را با اتحاد $$( a + b ) ^ 3 - 3 a b ( a + b ) - ( a ^ 3 + b ^ 3 ) = 0$$ مقایسه می‌کنیم. با این کار، خواهیم داشت:

$$\large y = a + b \\ \large 3 a b = 6 \\ \large a^3+b^3=6a$$

با ساده کردن معادله دوم و به توان سه رساندن دو طرف، $$( ab ) ^ 3 = 8$$ را داریم. با توجه به $$(ab ) ^ 3 = 8$$ و $$a ^ 3 + b ^ 3 = 6$$، طبق فرمول ویتا معادله‌ای با ریشه‌های $$a ^ 3$$ و $$b ^ 3$$ می‌یابیم. معادله‌ای برحسب $$z$$ می‌نویسیم:

$$\large ( z - a ^ 3 ) ( z - b ^ 3 ) = 0 \Longrightarrow z ^ 2 -( a ^ 3 + b ^ 3 ) z + ( a b ) ^ 3 = 0 \Longrightarrow z ^ 2 - 6 z + 8 = 0$$

این معادله را می‌توان به آسانی به شکل $$( z - 2 ) ( z - 4 ) = 0$$ نوشت. بنابراین، $$a ^ 3 = 2$$ و $$b ^ 3 = 4$$ خواهند بود و $$a=\sqrt[3]{2}$$ و $$b=\sqrt[3]{4}$$. در نهایت، $$y = \sqrt [ 3 ] { 2 } + \sqrt [ 3 ] { 4 }$$ و $$x = \sqrt [ 3 ] { 2 } + \sqrt [ 3 ] { 4 } + 1$$ را خواهیم داشت و جواب نهایی برابر خواهد بود با:

$$\large 2 + 4 + 1 = \boxed { 7 } .$$