روش تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در مطلب معادلات دیفرانسیل ناهمگن، روش ضرایب نامعین را به منظور یافتن پاسخ خصوصی معادله‌ای به شکل زیر توضیح دادیم. در این مطلب نیز روش تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل را توضیح خواهیم داد.

$$\large \begin{equation} p \left ( t \right ) y ^ { \prime\prime } + q \left ( t \right ) y ^ { \prime } + r \left ( t \right ) y = g \left ( t \right ) \end {equation}$$

روش تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل راه حلی عمومی‌تر محسوب شده که با استفاده از آن می‌توان پاسخ خصوصی بسیاری از معادلات دیفرانسیل ناهمگن را یافت. پیشنهاد می‌شود قبل از مطالعه این مطلب، مطالب معادلات دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم نیز مطالعه شوند.

پاسخ خصوصی به روش تغییر متغیر

معادله‌ای ناهمگن را به صورت زیر در نظر بگیرید.

$$\large \begin{equation} p \left ( t \right ) y ^ { \prime\prime } + q \left ( t \right ) y ^ { \prime } + r \left ( t \right ) y = g \left ( t \right ) \end {equation}$$
رابطه ۱

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، پاسخ عمومی معادله فوق در حقیقت برابر با پاسخ معادله در حالتی است که تابع (g(t برابر با صفر باشد (۰=(g(t). فرض کنید پاسخ عمومیِ y_c به صورت زیر یافته شده است.

$$\large { y _ c } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { y _ 1 } \left ( t \right ) + { c _ 2 } { y _ 2 } \left ( t \right )$$

توجه داشته باشید که $$y _ { 1 } ( t )$$ و $$y _ { ۲ } ( t )$$، دو پاسخی هستند که در معادله همگن صادق بوده‌اند. در روش ضرایب نامعین هدف این است که دو تابع $$u _ 1 ( t )$$ و $$u _ ۲ ( t )$$ به نحوی یافته‌ شوند که پاسخ (Y_p(t به صورت زیر قابل بیان باشد.

$$\large { Y _ P } \left ( t \right ) = u { _ 1 } \left ( t \right ) { y _ 1 } \left ( t \right ) + u { _ 2 } \left ( t \right ) { y _ 2 } \left ( t \right )$$

در عبارت فوق، دو مجهول وجود دارد؛ بنابراین به دو معادله به منظور یافتن مجهولات نیاز داریم. بدیهی است که یکی از معادلات را می‌توان با قرار دادن (Y_p(t در معادله اصلی یافت. معادله دوم را نیز می‌توان با انجام یک فرض بدست آورد. در ادامه در مورد این فرض بیشتر توضیح خواهیم داد.

به منظور جایگذاری پاسخ فرض شده در معادله اصلی، به مشتقات تابع(Y_p(t نیاز خواهیم داشت. از این رو مشتق اول تابع را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$\large { Y ^ { \prime } _ P } \left ( t \right ) = { u ^ { \prime } _ 1 } { y _ 1 } + { u _ 1 } { y ^ { \prime } _ 1 } + { u ^ { \prime } _ 2 } { y _ 2 } + { u _ 2 } { y ^ { \prime } _ 2 }$$

در این قسمت فرضی را می‌کنیم که در حقیقت معادله دوم محسوب می‌شود. تصور کنید رابطه زیر بین yها و uها برقرار باشد.

$$\large \begin {equation} { u ^ { \prime } _1 } { y _ 1 } + { u ^ { \prime } _ 2 } { y _ 2 } = 0 \end{equation}$$

در ادامه مطلب دلیل فرض فوق را توضیح خواهیم داد. با استفاده از فرض بالا، مشتق اول تابع (Y_p(t به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large { Y ^ { \prime } _ P } \left ( t \right ) = { u _ 1 } { y ^ { \prime } _ 1 } + { u _ 2 } { y ^ { \prime } _ 2 }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین مشتق دوم نیز برابر است با:

$$\large { Y ^ { \prime\prime } _ P } \left ( t \right ) = { u ^ { \prime } _ 1 } { y ^ { \prime } _ 1 } + { u _ 1 } { y ^ { \prime\prime } _ 1 } + { u ^ { \prime } _ 2 } { y ^ { \prime } _ 2 } + { u _ 2 } { y ^ { \prime\prime } _ 2 }$$

با قرار دادن $$Y ^ { \prime } ( t )$$ و $$Y ^ { \prime\prime } ( t )$$ در رابطه ۱، داریم:

$$\large p \left ( t \right ) \left ( { { { u ^ { \prime} } _ 1 } { { y ^ { \prime} } _ 1 } + { u _ 1 } { { y ^ {\prime\prime} } _ 1 } + { { u ^ { \prime} } _ 2 } { { y ^ { \prime} } _ 2 } + { u _ 2 } { { y ^ {\prime\prime} } _ 2 } } \right ) + q \left ( t \right ) \left ( { { u _ 1 } { { y ^ { \prime} } _ 1 } + { u _ 2 }{ { y ^ { \prime} } _ 2 } } \right ) + r \left ( t \right ) \left ( { u { _ 1 } { y _ 1 } + u { _ 2 } { y _ 2 } } \right) = g \left ( t \right )$$

با مرتب کردن معادله فوق به عبارت زیر می‌رسیم.

$$\large \begin {align*} & p \left ( t \right ) \left ( { { { u ^ { \prime} } _ 1 } { { y ^ { \prime} } _ 1 } + { { u ^ { \prime} } _ 2 } { { y ^ { \prime} } _ 2 } } \right ) + { u _ 1 } \left ( t \right ) \left ( { p \left ( t \right ) { { y ^ {\prime\prime} } _ 1 } + q \left ( t \right ) { { y ^ { \prime} } _ 1 } + r \left ( t \right ) { y _ 1 } } \right ) + \\ & \hspace{3.0in} { u _ 2 } \left ( t \right ) \left ( { p \left ( t \right ) { { y ^ {\prime\prime} } _ 2 } + q \left ( t \right ) { { y ^ { \prime} } _ 2 } + r \left ( t \right ) { y _ 2 } } \right ) = g \left ( t \right ) \end {align*}$$

از طرفی می‌دانیم که y₁ و y₂، پاسخ‌هایی برای معادله همگن هستند. بنابراین در معادله فوق، ترم دوم و سوم برابر با صفر هستند؛ لذا معادله فوق نیز به صورت زیر بازنویسی می‌شود.

$$\large p \left ( t \right ) \left ( { { { u ^ { \prime} } _ 1 } { { y ^ { \prime} } _ 1 } + { { u ^ { \prime} } _ 2 } { { y ^ { \prime} } _ 2 } } \right ) + { u _ 1 } \left ( t \right ) \left ( 0 \right ) + { u _ 2 } \left ( t \right ) \left ( 0 \right ) = g \left ( t \right )$$

$$\large \Rightarrow \begin {equation} { u ^ { \prime} _ 1 } { y ^ { \prime} _ 1 } + { u ^ { \prime} _ 2 } { y ^ { \prime} _ 2 } = \frac { { g \left ( t \right ) } }{ { p \left ( t \right ) } } \end {equation}$$

تاکنون تقریبا به دو معادله‌‌ی مد نظر دست یافته‌ایم. تنها به منظور راحت‌تر شدن مسئله، ترم (p(t را در رابطه فوق برابر با ۱ در نظر می‌گیریم (1=(p(t). این فرض معادل با آن است که معادله دیفرانسیل، به صورت زیر در نظر گرفته شود.

$$\large y ^ {\prime\prime} + q \left ( t \right ) y ^ { \prime} + r \left ( t \right ) y = g \left ( t \right )$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

البته توجه داشته باشید که در صورتی که (p(t برابر با ۱ نباشد نیز می‌توان با تقسیم تمامی عبارات به (p(t ضریب را برابر با ۱ در نظر گرفت. نهایتا دو معادله مد نظر به منظور یافتن $$u _ 1 , u _ 2$$ به صورت زیر بدست می‌آیند.

$$\large \begin {equation} { u ^ { \prime} _ 1 } { y _ 1 } + { u ^ { \prime} _ 2 } { y _ 2 } = 0 \end {equation}$$

$$\large \begin {equation} { u ^ { \prime} _ 1 } { y ^ { \prime} _ 1 } + { u ^ { \prime} _ 2 } { y ^ { \prime} _ 2 } = g \left ( t \right ) \end {equation}$$

توجه داشته باشید که در روابط فوق، مجهولات، $$u ^ { \prime } _ 1 , u ^ { \prime } _ 2$$ هستند. حل دستگاه معادلات فوق کاری پیچیده محسوب نمی‌شود. از معادله اول $$u ^ { \prime } _ 1$$ را محاسبه کرده و با قرار دادن آن در معادله دوم، $$u ^ { \prime } _ ۲$$ نیز بدست خواهد آمد. بنابراین داریم:

$$\large \begin {equation} { u ^ { \prime } _ 1 } = - \frac { { { { u ^ { \prime } } _ 2 } { y _ 2 } } } { { { y _ 1 } } } \end {equation}$$
رابطه ۲

$$\large \begin {align*} \left ( { - \frac { { { { u ^ { \prime } } _ 2 } { y _ 2 } } } { { { y _ 1 } } } } \right ){ { y ^ { \prime } } _ 1 } + { { u ^ { \prime } } _ 2 } { { y ^ { \prime } } _ 2 } & = g \left ( t \right ) \\ { { u ^ { \prime } } _ 2 } \left ( { { { y ^ { \prime } } _ 2 } - \frac { { { y _ 2 } { { y ^ { \prime } } _ 1 } } }{ { { y _ 1 } } } } \right ) & = g \left ( t \right ) \\ { { u ^ { \prime } } _ 2 } \left ( { \frac { { { y _ 1 } { { y ^ { \prime } } _ 2 } - { y _ 2 } { { y ^ { \prime} } _ 1 } } } { { { y _ 1 } } } } \right ) & = g \left ( t \right ) \end {align*}$$

$$\large \begin {equation} { u ^ { \prime } _ 2 } = \frac { { { y _ 1 } g \left ( t \right ) } } { { { y _ 1 } { { y ^ { \prime } } _ 2 } - { y _ 2 } { { y ^ { \prime } } _ 1 } } } \end {equation}$$
رابطه ۳

حال با قرار دادن رابطه ۲ در رابطه ۳، $$u ^ { \prime } _ 1$$ نیز به صورت زیر بدست می‌آید.با توجه به عبارت بدست آمده برای $$u ^ { \prime } _ 1$$ و $$u ^ { \prime } _ ۲$$ می‌توان فهمید که مخرج کسر آن‌ها نباید برابر با صفر باشد. بنابراین گذاره زیر همواره باید برقرار باشد.

$$\large W \left ( { { y _ 1 } , { y _ 2 } } \right ) = { y _ 1 } { y ^ { \prime } _ 2 } - { y _ 2 } { y ^ { \prime } _ 1 } \ne 0$$

W در ریاضی تحت عنوان «رونسکین» (Wronskian) شناخته می‌شود. همان‌طور که در ابتدای مطلب نیز عنوان شد، y₁ و y₂ پاسخ‌هایی هستند که در معادله‌ی همگن صدق می‌کنند. در نهایتا با انتگرال‌گیری از روابط ۲ و ۳، توابع u₁ و u₂ به صورت زیر بدست می‌آیند.

با بدست آمدن توابع u₁ و u₂، پاسخ خصوصی نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} { Y _ P } \left ( t \right ) & = { y _ 1 } { u _ 1 } + { y _ 2 } { u _ 2 } \\ & = - { y _ 1 } \int { { \frac { { { y _ 2 } g \left ( t \right ) } } { { W \left ( { { y _ 1 } , { y _ 2 } } \right ) } } \, d t } } + { y _ 2 } \int { { \frac { { { y _ 1 } g \left ( t \right ) } } { { W \left ( { { y _ 1 } , { y _ 2 } } \right ) } } \, d t } } \end {align*}$$

خلاصه روش تغییر متغیر

معادله دیفرانسیلی به صورت زیر را در نظر بگیرید.

$$\large y ^ { \prime\prime } + q \left ( t \right ) y ^ { \prime } + r \left ( t \right ) y = g \left ( t \right )$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

فرض کنید دو تابع $$y _ { 1 } ( t )$$ و $$y _ { ۲ } ( t )$$ در معادله همگن زیر صدق کنند:

$$\large y ^ {\prime\prime} + q \left ( t \right ) y ^ { \prime} + r \left ( t \right ) y = 0$$

در این صورت پاسخ خصوصی معادله برابر است با:

$$\large \bf { \boxed { { Y _ P } \left ( t \right ) = - { y _ 1 } \int { { \frac { { { y _ 2 } g \left ( t \right ) } } { { W \left ( { { y _ 1 } , { y _ 2 } } \right ) } } \, d t } } + { y _ 2 } \int { { \frac { { { y _ 1 } g \left ( t \right ) } }{ { W \left ( { { y _ 1 } , { y _ 2 } } \right ) } } \, d t } } } }$$

تنها با حل چند مثال از این روش می‌توانید به مساله مسلط شوید.

مثال ۱

پاسخ معادله زیر را بیابید.

$$\large 2 y ^ { \prime \prime } + 1 8 y = 6 \tan \left ( { 3 t } \right )$$

همان‌طور که در بالا نیز عنوان شد، ضریب مشتق دوم باید واحد باشد. بنابراین با تقسیم کردن کل معادله به ۲ داریم:

$$\large y ^ { \prime\prime } + 9 y = 3 \tan \left ( { 3 t } \right )$$

در مبحث معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم در مورد بدست آوردن پاسخ عمومی صحبت شد. پاسخ عمومی این معادله نیز برابر است با:

$$\large { y _ c } \left ( t \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 3 t } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 3 t } \right )$$

بنابراین دو تابع زیر را می‌توان به عنوان جواب‌هایی برای معادله همگن در نظر گرفت.

$$\large { y _ 1 } \left ( t \right ) = \cos \left ( { 3 t } \right ) \hspace {0.25in} \hspace {0.25in}{ y _ 2 } \left ( t \right ) = \sin \left ( { 3 t } \right)$$

در این صورت رونسکین دو تابع برابر است با:

$$ \large W = \left | { \begin {array} {*{20}{c}} { \cos \left ( { 3 t } \right ) } & { \sin \left ( { 3 t } \right ) } \\ { - 3 \sin \left ( { 3 t } \right ) } & { 3 \cos \left ( { 3 t } \right ) } \end {array} } \right | = 3 { \cos ^ 2 } \left ( { 3 t } \right ) + 3 { \sin ^ 2 } \left ( { 3 t } \right ) = 3 $$

با بدست آمدن رونسکین، پاسخ خصوصی نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} { Y _ P } \left ( t \right ) & = - \cos \left ( { 3 t } \right ) \int { { \frac { { 3 \sin \left ( { 3 t } \right ) \tan \left ( { 3 t } \right ) } } { 3 } \, d t } } + \sin \left ( { 3 t } \right ) \int { { \frac { { 3 \cos \left ( { 3 t } \right ) \tan \left ( { 3 t } \right ) } } { 3 } \, d t } } \\ & = - \cos \left ( { 3 t } \right ) \int { { \frac { { { { \sin } ^ 2 } \left ( { 3 t } \right ) } } { { \cos \left ( { 3 t } \right ) } } \, d t } } + \sin \left ( { 3 t } \right ) \int { { \sin \left ( { 3 t } \right ) \, d t } } \\ & = - \cos \left ( { 3 t } \right ) \int { { \frac { { 1 - { { \cos } ^ 2 } \left ( { 3 t } \right ) } } { { \cos \left ( { 3 t } \right ) } } \, d t } } + \sin \left ( { 3 t } \right ) \int { { \sin \left ( { 3 t } \right ) \, d t } } \\ & = - \cos \left ( { 3 t } \right ) \int { { \sec \left ( { 3 t } \right ) - \cos \left ( { 3 t } \right ) \, d t } } + \sin \left ( { 3 t } \right ) \int { { \sin \left ( { 3 t } \right ) \, d t } } \\ & = - \frac { { \cos \left ( { 3 t } \right ) } } { 3 } \left ( { \ln \left | { \sec \left ( { 3 t } \right ) + \tan \left ( { 3 t } \right ) } \right | - \sin \left ( { 3 t } \right ) } \right ) + \frac { { \sin \left ( { 3 t } \right ) } } { 3 } \left ( { - \cos \left ( { 3 t } \right ) } \right ) \\ & = - \frac { { \cos \left ( { 3 t } \right ) } } { 3 } \ln \left | { \sec \left ( { 3 t } \right) + \tan \left ( { 3 t } \right ) } \right | \end {align*}$$

با بدست آمدن پاسخ خصوصی، پاسخ کلی نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large y \left ( t \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 3 t } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 3 t } \right ) - \frac { { \cos \left ( { 3 t } \right ) } } { 3 } \ln \left| { \sec \left ( { 3 t } \right ) + \tan \left ( { 3 t } \right ) } \right |$$

مثال ۲

پاسخ کلی معادله زیر را بدست آورید.

$$\large y ^ { \prime \prime } - 2 y ^ { \prime } + y = \frac { { { { \bf { e } } ^ t } } } { { { t ^ 2 } + 1 } }$$

فیلم آموزش محاسبات عددی با متمتیکا Mathematica – مقدماتی در فرادرس

کلیک کنید

پاسخ عمومی معادله به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large { y _ c } \left ( t \right ) = { c _ 1 } { { \bf { e } } ^ t } + { c _ 2 } t { { \bf { e } } ^ t }$$

بنابراین دو پاسخ برای معادله همگن را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large { y _ 1 } \left ( t \right ) = { { \bf{ e } } ^ t } \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} { y _ 2 } \left ( t \right ) = t { { \bf{ e } } ^ t }$$

در نتیجه رونسکین دو تابع y₁ و y₂ برابر است با:

$$ \large W = \left| { \begin {array} {*{20} { c } } { { { \bf { e } } ^ t } } & { t { {\bf { e } } ^ t } } \\{ { { \bf{e } } ^ t } } & { { { \bf { e } } ^ t } + t { { \bf { e } } ^ t } } \end {array} } \right | = { { \bf{ e } } ^ t } \left ( { { { \bf { e } } ^ t } + t { { \bf { e } } ^ t } } \right ) - { { \bf{ e } } ^ t } \left ( { t { { \bf { e } } ^ t } } \right ) = { { \bf{ e } } ^ { 2 t } } $$

بنابراین پاسخ خصوصی برابر است با:

$$\large \begin {align*} { Y _ P } \left ( t \right ) & = - { { \bf { e } } ^ t } \int { { \frac { { t { { \bf { e } } ^ t } \, { { \ bf { e } } ^ t } } } { { { { \bf{ e } } ^ { 2 t } } \left ( { { t ^ 2 } + 1 } \right ) } } \, d t } } + t { { \bf { e } } ^ t } \int { { \frac { { { { \bf { e } } ^ t } \, { { \bf { e } } ^ t } } } { { { { \bf { e } } ^ { 2 t } } \left( { { t ^ 2 } + 1 } \right ) } } \, d t } } \\~\\ & = - { { \bf { e } } ^ t } \int { { \frac { t } { { { t ^ 2 } + 1 } } \, d t } } + t { { \bf { e } } ^ t } \int { { \frac { 1 } { { { t ^ 2 } + 1 } } \, d t } } \\~\\ & = - \frac { 1 } { 2 } { { \bf { e } } ^ t } \ln \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ) + t { { \bf { e } } ^ t } { \tan ^ { - 1 } } \left ( t \right ) \end {align*}$$

با بدست آمدن پاسخ خصوصی و داشتن پاسخ عمومی، جواب کلی معادله برابر با عبارت زیر بدست می‌آید:

$$\large y \left ( t \right ) = { c _ 1 } { { \bf { e } } ^ t } + { c _ 2 } t { { \bf{ e } } ^ t } - \frac { 1 } { 2 }{ { \bf{ e } } ^ t } \ln \left ( { 1 + { t ^ 2 } } \right ) + t { { \bf { e } } ^ t } { \tan ^ { - 1 } } \left ( t \right )$$

مثال ۳

پاسخ معادله زیر را بیابید.

$$\large t y ^ { \prime \prime } - \left ( { t + 1 } \right ) y ^ { \prime } + y = { t ^ 2 }$$

دو تابع y₁ و y₂ که در معادله همگن صدق می‌کنند، عبارتند از:

$$\large { y _ 1 } \left ( t \right ) = { { \bf { e } } ^ t } \hspace {0.25in} , \hspace {0.25in} { y _ 2 } \left ( t \right ) = t + 1$$

همانند مثال ۱ به منظور ۱ شدن ضریب مشتق دوم، تمامی معادله را به t تقسیم کرده و به رابطه زیر می‌رسیم.

$$\large y ^ { \prime \prime } - \left ( { 1 + \frac { 1 } { t } } \right ) y ^ { \prime } + \frac { 1 } { t } y = t$$

بنابراین رونسکین تابع برابر است با:

$$ \large W = \left | { \begin {array} {*{20} { c } } { { { \bf { e } } ^ t } } & { t + 1 } \\{ { { \bf{e } } ^ t } } & 1 \end {array} } \right | = { { \bf{ e } } ^ t } - { { \bf{e} } ^ t } \left ( { t + 1 } \right ) = - t { { \bf { e } } ^ t } $$

با بدست آمدن رونسکین، پاسخ خصوصی نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \begin {align*} { Y _ P } \left ( t \right ) & = - { { \bf { e } } ^ t } \int { { \frac { { \left ( { t + 1 } \right ) t } } { { - t { { \bf { e } } ^ t } } } \, d t } } + \left ( { t + 1 } \right ) \int { { \frac { { { { \bf{ e } } ^ t } \left ( t \right ) } } { { - t { { \bf{e } } ^ t } } } \, d t } } \\~\\ & = { { \bf { e } } ^ t } \int { { \left ( { t + 1 } \right ) { { \bf { e } } ^ { - t } } \, d t } } - \left ( { t + 1 } \right ) \int { { \, d t } } \\~\\ & = { { \bf { e } } ^ t } \left ( { - { { \bf { e } } ^ { - t } } \left ( { t + 2 } \right ) } \right ) - \left ( { t + 1 } \right ) t \\~\\ & = - { t ^ 2 } - 2 t - 2 \end {align*}$$

نهایتا پاسخ کلی معادله برابر است با:

$$\large y \left ( t \right ) = { c _ 1 } { { \bf { e } } ^ t } + { c _ 2 } \left ( { t + 1 } \right ) - { t ^ 2 } - 2 t - 2$$

تمرین: نشان دهید پاسخ بدست آمده در بالا را می‌توان به صورت زیر نیز بیان کرد:

$$\large y \left ( t \right ) = { c _ 1 } { { \bf{e } } ^ t } + { c _ 2 } \left ( { t + 1 } \right ) - { t ^ 2 }$$