تقسیم کسرها — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

ما به‌راحتی می‌توانیم اعداد صحیح را بشماریم و ضرب و تقسیم آن‌ها انجام دهیم. اما در مواردی که با اعداد کسری کار می‌کنیم، کار کمی دشوارتر و زمان‌برتر خواهد بود. در چنین مواردی باید چه‌کار کنیم؟ اگر کسی نصف یک تکه از پیتزای شما را خورد، چقدر باقی می‌ماند؟ ما مطمئناً دیگر نه ۱ پیتزا داریم و نه ۰ پیتزا. اینجاست که باید با کسرها و عملیات روی آن‌ها آشنا باشیم. در این آموزش، با تقسیم کسرها آشنا می‌شویم.

کسر چیست؟

کسرها اعدادی هستند که با تقسیم تعریف می‌شوند و برای نشان دادن هر تعداد از قسمت‌های مساوی یک چیز به‌کار می‌روند. آن‌ها اعدادی حقیقی به‌فرم $$\frac p  q$$ هستند که در آن‌ها $$p$$ و $$q$$ اعدادی صحیح‌اند. عدد $$p$$ صورت کسر و عدد $$q$$  مخرج کسر نامیده می‌شود. بنابراین، در کسر $$\frac 23$$ عدد ۲ صورت و عدد ۳ مخرج کسر است و آن را «دو سوم» می‌خوانیم.

در اینجا یک نمایش بصری از مفهوم کسر ارائه می‌کنیم. به شکل زیر دقت کنید که به سه قسمت مساوی تقسیم و دو قسمت آن آبی شده است. می‌گوییم دو سوم این شکل آبی است و آن را با $$\frac {  2 } { 3 }$$ نشان می‌دهیم.

فرایندی که این $$\frac 23$$ حاصل شده را می‌توان در گام‌های زیر بیان کرد:

۱. ابتدا از کل شکل که ۱ واحد است شروع می‌کنیم.

۲. یک واحد را طبق مخرج (عدد ۳) به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم (یعنی $$\frac 13$$).

۳. نتیجه را در عدد صورت، یعنی ۲، ضرب می‌کنیم و به کسر $$\frac 23$$ می‌رسیم.

کسرها را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:

• کسرهای سره که در آن‌ها صورت از مخرج کوچک‌تر است، مثل $$\frac 45$$
• کسرهای ناسره که در آن‌ها صورت کسر از مخرج آن بزرگ‌تر است، مانند $$\frac 7 4$$.
• عدد آمیخته (مخلوط) که بخشی از آن یک عدد صحیح و بخشی از آن یک کسر است. بخش کسری این عدد همواره یک کسر سره است.

برای آنکه تقسیم کسرها را انجام دهیم، باید نحوه ضرب کسرها را بدانیم.

ضرب کسرها

ضرب کسرها کار آسانی است و برای انجام آن باید سه مرحله ساده زیر را طی کنیم:

1. ضرب صورت‌ها در یکدیگر
2. ضرب مخرج‌ها در یکدیگر
3. ساده‌سازی کسر با تقسیم صورت و مخرج بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه‌های مشترک

برای آشنایی با نحوه محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک، به آموزش «ب م م یا بزرگترین مقسوم علیه مشترک چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

مثال اول ضرب کسرها

فرض کنید می‌خواهیم ضرب کسری $$\frac { 2 } { 3 } \times \frac { 9 } { 4 }$$ را انجام دهیم.

حل: همان‌طور که گفتیم، صورت و مخرج را  در یکدیگر ضرب می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$\large \dfrac { 2 } { 3 } \times \dfrac{ 9 } { 4 } = \dfrac { 2 \times 9 } { 3 \times 4 } = \dfrac { 18 } { 12 } .$$

از آنجا که بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک بین دو عدد ۱۲ و ۱۸، عدد ۶ است، صورت و خرج را بر این دو عدد تقسیم می‌کنیم تا کسر ساده شود:

$$\large \dfrac { 2 } { 3 } \times \dfrac{ 9 } { 4 } = \dfrac { 2 \times 9 } { 3 \times 4 } = \dfrac { 18 } { 12 } .$$

بنابراین، داریم:

$$\large \frac { 2 } { 3 } \times \frac { 9 } { 4 } = \frac { 3 } { 2 }$$

اگر کسر یک کسر مخلوط باشد، ابتدا آن را به یک کسر ناسره تبدیل می‌کنیم، سپس ضرب را طبق مراحلی که پیش‌‌تر گفتیم انجام می‌دهیم. در ادامه، مثالی را از این مورد بررسی می‌کنیم.

مثال دوم ضرب کسرها

حاصل ضرب $$\frac { 2 } { 3 } \times 2 \frac { 3 } { 4 }$$ را به‌دست آورید.

حل: ابتدا دو کسر مخلوط را به کسرهای ناسره تبدیل می‌کنیم. بنابراین، داریم:

$$\large 1 \dfrac { 2 } { 3 } = \dfrac { 1 \times 3 + 2 } { 3 } = \dfrac { 5 } { 3 } , \quad 2 \dfrac { 3 } { 4 } = \dfrac { 2 \times 4 + 3 } { 4 } = \dfrac { 11 } { 4 }$$

سپس، صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب می‌کنیم:

$$\dfrac { 5 } { 3 }\times \dfrac { 11 } { 4 } = \dfrac { 5 \times 11}{ 3 \times 4} = \dfrac { 55 } { 12 }$$

از آنجا که بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک دو عدد $$55$$ و $$12$$، عدد $$1$$ است، جواب نهایی $$\frac {55}{12}$$ خواهد بود.

دقت کنید که کاری مانند زیر انجام ندهید:

$$\large 1 \dfrac { 2 } { 3 } \times 2 \dfrac { 3 } { 4 } \neq ( 1 \times 2 ) \dfrac { 2 \times 3 } { 3 \times 4 } = 2 \dfrac { 1 } { 2 }$$

یک مثال دیگر را بررسی می‌کنیم.

مثال سوم ضرب کسرها

عبارت زیر را ساده کنید:

$$\large \dfrac { 4 } { 5 } \times 3 \dfrac { 3 } { 2 } .$$

حل: ابتدا کسر آمیخته را به یک کسر ناسره تبدیل می‌کنیم:

$$\large \frac { 3 } { 2 } = \frac { 3 \times 2 + 3 } { 2 } = \frac { 9 } { 2 } .$$

بنابراین، داریم:

$$\large \dfrac { 4 } { 5 } \times 3 \dfrac { 3 } { 2 } = \dfrac { 4 } { 5 } \times \dfrac { 9 } { 2 } =\dfrac { 4 \times 9 } { 5 \times 2 } = \dfrac { 3 6 } { 1 0 } = \dfrac { 1 8 } { 5 }$$

مثال چهارم ضرب کسرها

حاصل‌ضرب عبارت زیر را به‌دست آورید:‌

$$\large \frac { 2 } { 3 } \times 1 \frac { 3 } { 4 } \times \frac { 6 } { 5 } .$$

حل: ابتدا کسر آمیخته را به یک کسر ناسره تبدیل می‌کنیم:‌