تانسور چیست؟ — مفاهیم اصلی

تانسورها در بسیاری از حوزه‌­های علم فیزیک از جمله الاستیسیته، مکانیک سیالات و نسبیت عام، چارچوب ریاضی فشرده و مختصری را برای فرمول­‌بندی و حل مسائل گوناگون فراهم می­‌کنند و به همین دلیل، از اهمیت خاصی برخوردار هستند. از زمینه‌های دیگری که مفهوم تانسور در آن‌ها کاربرد دارد، می‌توان به یادگیری عمیق در علم داده اشاره کرد. در این آموزش، مفاهیم مربوط به تانسور را بیان می‌کنیم.

تعریف تانسور

«تانسور» (Tensor)، نقطه‌ای از فضا است که توسط یک یا چند شاخص که بیانگر مرتبه آن است، توصیف می‌شود. به‌طور کلی، تانسوری با مرتبه $$n$$ در فضای $$m$$بعدی، $$n$$ شاخص و $$m^n$$ مؤلفه دارد و از قواعد تبدیل معینی تبعیت می‌کند. مثلاً، تانسوری با مرتبه یک در فضای سه‌بعدی، یک شاخص و 3 مؤلفه دارد. در واقع، تانسورها تعمیمی از اسکالرها (که بدون شاخص هستند)، بردارها (که یک شاخص دارند) و ماتریس‌ها (که دو شاخص دارند) با تعداد دلخواهی از شاخص‌ها هستند.

فیلم آموزش ریاضی فیزیک 1 + مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال، همان‌گونه که در شکل زیر می‌­بینید، بردار، ماتریس و تانسور ۶۴ مؤلفه دارند که این مؤلفه­‌ها در تانسور به‌صورت سه‌بعدی هستند. از این رو می­‌توان گفت تانسورها آرایه­‌های چندبعدی دارند.

نمادگذاری یک تانسور شبیه ماتریس است (یعنی $$A=\{a_{ij} \}$$)، البته تانسور می‌‌تواند تعداد دلخواهی از شاخص‌‌ها را به صورت $$a_{ijk…}$$، $$a^{ijk…}$$، $$a_i^{jk…}$$ و ... داشته باشد. به‌طور کلی، تانسوری مثل $$t$$ با مرتبه‌ $$r+s$$ می‌‌تواند یک تانسور از نوع آمیخته $$(r,s)$$ باشد (یعنی $${t^{\alpha_1 \ldots \alpha _r}}_{\beta _1 \ldots \beta _s}$$ که $$r$$ (تعداد شاخص‌‌های بالا) را شاخص‌‌های «پادوردا» (Contravariant) و $$s$$ (تعداد شاخص‌‌های پایین) را شاخص‌‌های «هموردا» (Covariant) می‌‌نامند. اصطلاحاً گفته می‌‌شود تانسور  نسبت به شاخص‌‌های بالا پادوردا و نسبت به شاخص‌‌های پایین هموردا است. توجه داشته باشید که محل قرار گرفتن شاخص‌‌های پادوردا و هموردا نیز حائز اهمیت است. برای مثال، $${\alpha_ {\mu \nu}}^{\lambda}$$ و $${\alpha_ \mu}^{\nu \lambda}$$ با هم متفاوت‌ هستند.

تانسورهای مرتبه‌ صفر، یک و دو به ترتیب، اسکالر، بردار و ماتریس نامیده می‌‌شوند. از این رو، در نمادگذاری تانسوری، برداری مثل $$\mathrm{v}$$ را به‌صورت $$v_i$$ ($$i=1, \ldots, m$$) و ماتریس را که تانسوری از نوع $$(1,1)$$ است، به‌شکل $${a_i}^j$$ نمایش می‌‌دهند.

نمادگذاری تانسوری این امکان را فراهم می‌‌کند که اتحادهای برداری و کلی‌‌تر را به‌طور فشرده و مختصر بنویسیم. برای مثال، ضرب داخلی $$\mathrm{u\cdot v}$$ را می‌‌توان به‌صورت تانسوری زیر نوشت:

$$\large \mathrm {u \cdot v}=u_i v^i$$

در این‌جا طبق قرارداد جمع انیشتین که بیان می‌‌کند هرگاه شاخصی در یک طرف معادله دو بار (یک بار به صورت شاخص بالا و یک بار به صورت شاخص پایین) ظاهر شود، روی آن شاخص جمع زده می‌‌شود، روی شاخص $$i$$ جمع می‌‌زنیم. مثلاً، در فضای سه‌بعدی، ضرب داخلی بالا را می‌‌توان این‌گونه نوشت:

$$\large \mathrm {u \cdot v } = u_i v^i = \sum \limits_ {i = 1}^3{u_i}v^i = u_1 v^1 + u_2 v^2 + u_3 v^3.$$

به‌طور مشابه، می‌‌توانیم ضرب خارجی را به‌صورت خلاصه زیر بنویسیم:

$$\large (u \times v)_i = \epsilon_{ijk} u^j v^k$$

که $$\epsilon _{ijk}$$ تانسور جایگشت نام دارد و به نماد «لوی-چیویتا» (Levi-Civita) معروف است. زمانی که تعداد جایگشت‌‌های سه شاخص $$i$$، $$j$$ و $$k$$ زوج و فرد باشد، مقدار این تانسور به ترتیب برابر با $$1$$ و $$-1$$ خواهد بود و در صورتی که حداقل دو تا از شاخص‌‌های $$i$$، $$j$$ و $$k$$ برابر باشند، مقدار آن صفر خواهد شد. برای مثال، اگر در فضای سه‌بعدی مؤلفه‌ اول ضرب خارجی $$(u \times v)_i$$ را به‌دست آوریم، خواهیم داشت:

$$\large ( u \times v)_1 = \epsilon _ {1jk} u^j v^k$$

طبق تعریف، اگر دو شاخص برابر باشند، مقدار تانسور جایگشت صفر می‌‌شود، بنابراین در فضای سه‌بعدی فقط دو حالت داریم:

$$\large (u \times v)_1 = \epsilon _{123} u^2 v^3 + \epsilon _{132} u^3 v^2$$

در جمله‌ اول، جایگشتی نداریم اما در جمله‌ی دوم، ترتیب قرار گرفتن شاخص‌‌ها متفاوت بوده و بین 2 و 3، یک جایگشت صورت گرفته است. از این رو، مقدار تانسور $$- 1$$ خواهد بود:

$$\large (u \times v)_1 = u^2 v^3 -u^3 v^2$$

با دستکاری شاخص‌‌های تانسور (بالا و پایین آوردن شاخص‌‌ها) می‌‌توان عباراتی را که به‌شکل تانسور نوشته شده‌‌اند ساده کرد. این کار را می‌‌توان توسط تانسوری به‌نام تانسور متریک ($$g _{ij}$$، $$g^{i j}$$، $${g_i}^ j$$ و...) انجام داد. به‌ازای جابه‌جایی هر شاخص از یک تانسور متریک استفاده می‌‌کنیم. برای مثال:

$$\large g^ {i j } A _ j = A ^ i , \, \, \, \, \, g_ {i j } A ^ j = A _ i \\ \large g^ {i k }g^ {j l } A _ {i j} = A ^ { k l } , \, \, \, \, \, g_ {i k }g_ {j l } A ^ {i j} = A _ { k l }$$

عبارت $$g_{i j}$$ یک تانسور مرتبه‌‌ دو است و به فضا و ابعادی بستگی دارد که محاسبات را در آن انجام می‌‌دهیم. این تانسور معمولاً به‌صورت یک ماتریس قطری است و در این حالت، $$g ^ {i j }$$ که وارون $$g_{i j}$$ است نیز قطری خواهد بود.

جمع و تفریق تانسورها

اگر دو تانسور $$A$$ و $$B$$ هم‌‌مرتبه بوده و شاخص‌‌های هموردا و پادوردای یکسانی داشته باشند، می‌‌توان آن‌ها را با هم جمع یا از هم کم کرد که حاصل آن نیز تانسوری با همان مرتبه و با همان شاخص‌‌ها خواهد بود:

$$\large A^{ij} + B^{ij} = C^{ij},\\ \large A_{ij} + B_{ij} = C_{ij},\\ \large {A^i}_{j} + {B^i}_{j} = {C^i}_{j}.$$

لازم به ذکر است که هر دو تانسور $$A$$ و $$B$$ باید در یک فضا و با تعداد ابعاد یکسان تعریف شده باشند.

ادغام و ضرب مستقیم

تعمیم ضرب داخلی تانسورها، «ادغام» (Contraction) تانسور گفته می‌‌شود و شامل برابر قرار دادن دو شاخص متفاوت (یکی پادوردا و دیگری هموردا) و جمع بستن روی آن شاخص با استفاده از قرارداد جمع انیشتین است. به بیان دیگر، این کار، تانسور نوع $$( r, s )$$ را به یک تانسور نوع $$(r-1 , s-1 )$$ تبدیل می‌‌کند. مثلاً با ادغام دو شاخص $$\mu$$ و $$\lambda$$ در تانسور $$t _ \lambda ^ {\mu \nu}$$ خواهیم داشت:

$$\large{ t ^ {\mu \nu}} _ \mu = t ^ \nu.$$

فیلم آموزش ریاضی مهندسی – مرور و حل مساله در فرادرس

کلیک کنید

همان‌گونه که می‌‌بینیم، با ادغام، دو واحد از مرتبه‌ تانسور کم می‌‌شود.

اگر دو تانسور در هم ضرب شوند، حاصل، تانسوری خواهد شد که مرتبه‌ آن مساوی با مجموع مرتبه‌‌های دو تانسور اولیه است:

$$\large A_{ij} B^{kl} = C_{ij}^{kl}$$

در صورتی که یکی از شاخص‌‌های $$B ^ {kl}$$ با یکی از شاخص‌‌های $$A _ {i j }$$ برابر باشد، می‌‌توان از ادغام شاخص‌‌ها استفاده کرد:

$$\large A _ {i k } B ^ { k l } = C _i ^ l.$$

چنانچه تمام شاخص‌‌های $$B ^ {kl}$$ و $$A _ {I j }$$ با هم برابر باشند، حاصل‌ضرب آن‌ها یک تانسور مرتبه‌‌ صفر یا به‌عبارتی، یک اسکالر خواهد بود.

تقارن و پادتقارن

ترتیب قرار گرفتن تانسورها اهمیت دارد. به‌عنوان نمونه، تانسورهای $$t ^ { \mu \nu }$$ و $$t ^ { \nu \mu }$$ با هم متفاوت هستند، اما در بعضی موارد این دو تانسور با هم برابرند، یعنی:

$$\large t^{\mu \nu} = t^{\nu \mu}$$

در این حالت می‌‌گوییم تانسور متقارن است. ولی اگر داشته باشیم:

$$\large t^{\mu \nu} = -t^{\nu \mu}$$

تانسور پادمتقارن خواهد بود.

مثال

در این‌جا برای درک بهتر مفهوم تانسور و نحوه‌‌ کاربرد آن، تانسوری به نام تانسور الکترومغناطیسی را معرفی می‌‌کنیم که در نسبیت عام کاربرد فراوانی دارد. این تانسور یک تانسور مرتبه دو و پادمتقارن است:

$$\large F_{\mu \nu} = \partial _\mu A_\nu - \partial _\nu A_\mu$$       $$\large F_{\mu \nu} = - F_{\nu \mu}$$

فیلم آموزش نسبیت خاص – جامع و با مفاهیم کلیدی در فرادرس

کلیک کنید

که در آن، $$\partial _\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu} = ( \frac{\partial}{C\partial t}, \frac {\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} )$$ مشتق جزئی در فضا-زمان مینکوفسکی $$(ct, x , y, z)$$ است و $$A$$ چهاربردار پتانسیل نام دارد که شکل پادوردا و هموردای آن به‌ترتیب، $$A^\mu = (\frac{\phi}{c}, \overrightarrow{A})$$ و $$A_\mu = (\frac{\phi}{c}, -\overrightarrow{A})$$ هستند. همچنین، $$\overrightarrow{A}$$ پتانسیل برداری، $$\phi$$ پتانسیل اسکالر و $$C$$ سرعت نور است.

واضح است که این تانسور در فضا-زمان چهاربعدی، $$4 ^ 2 = 16$$ مؤلفه دارد و به‌شکل یک ماتریس $$4 \times 4$$ است که عناصر قطر اصلی آن یعنی $$(F _ {tt}, F_{xx}, F_{yy}, F_{zz})$$ صفر هستند. برای نمونه، چند مؤلفه‌ این تانسور را در فضای «مینکوفسکی» (Minkowski) به‌دست می‌‌آوریم:

$$\large F_{tx}= \partial _t A_x- \partial _x A_t \\ \large = \frac{\partial (-A_x)} {C\partial t} - \frac{\partial}{\partial t} -\frac {\partial}{\partial x} (\frac{\phi}{C})=\frac{1}{C} (-\frac{\partial A_x}{\partial t} - \frac{\partial \phi} {\partial x})$$

از آن‌جایی که $$\large - \frac { \partial \overrightarrow{A}} {\partial t}-\overrightarrow{\triangledown} \phi = \overrightarrow{E}$$ است، داریم:

$$\large F_ {t x } = - F_ {x t }= \frac {E_x}{C}$$

$$\large F _ {x y } = \partial _x A_y - \partial _y A_x = \frac{\partial}{\partial x} (- A _ y)- \frac { \partial} {\partial y} (-A _x)= \\ \large - \left ( \frac { \partial A_y}{ \partial x}- \frac { \partial A_x}{ \partial y} \right ) = - (\overrightarrow{\triangledown} \times \overrightarrow{A})_z = - B_z$$

$$F_{xy}=-F_{yx}=-B_z$$

سایر مؤلفه‌ها نیز به همین صورت محاسبه می‌شوند:

$$\large F _ {\mu \nu } = \left ( \begin {matrix} 0 & E_x /C & E_y /C & E_z /C \\ - E_x /C & 0 & - B _z & B_z \\ -E_y /C & B_z & 0 & - B_x \\ - E_ z / C & - B_y & B_x & 0 \end {matrix} \right )$$

برای به‌دست آوردن تانسور پادوردای الکترومغناطیسی، کافی است تانسور پادوردای متریک را در $$F_ { \mu \nu}$$ ضرب کنیم:

$$\large F ^ { \mu \nu } = g ^ { \mu \alpha} g ^ { \nu \beta } F _ { \alpha \beta}$$

در فضا-زمان چهاربعدی مینکوفسکی، به‌دلیل اینکه چهار بعد داریم، تانسور متریک را به‌شکل یک ماتریس $$4 \times 4$$ در نظر می‌گیریم که جز عناصر قطری، سایر عناصر آن صفر هستند:

$$\large g _ { \mu \nu} = \left ( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end {matrix} \right )$$

عبارت $$g ^ {ij}$$ وارون $$g_{ij}$$ است و چون $$g _{ij}$$ یک ماتریس قطری است، $$g ^ {ij}$$ نیز قطری خواهد بود. با این تفاوت که مؤلفه‌­های قطری آن، وارون مؤلفه­‌های قطری $$g_{ij}$$ است. بنابراین در این فضا-زمان خواهیم داشت:

$$\large g_{ij}=g^ {ij}$$

$$\large g _{tt}=g^{tt}=1, \, \, \, \, \, \, \, g _ {x x } = g _ { y y } = g _ { z z } =g ^ {x x } = g ^ { y y } = g ^ { z z } = -1$$

اکنون با استفاده از این تانسور، مؤلفه‌های $$F^ {\mu \nu}$$ را به‌دست می­‌آوریم:

$$\large F^{tx}=g^{t \alpha } g^{x \beta} F_{\alpha \beta}$$

از آن‌جایی که فقط عناصر قطری تانسور متریک غیرصفر هستند، تنها یک حالت غیرصفر داریم:

$$\large F^{tx}=g^{tt}g^{xx}F_{tx}= - \frac{E_x}{C} \Rightarrow F^{tx}=-F^{xt} = - \frac{E_x}{C} \\ \large F^{xy}= g^{x \alpha}g^{y \beta} F_{\alpha \beta} = g^{xx}g^{yy}F_{xy}=-B_z \Rightarrow F^{xy}=-F^{yx} = -B_z$$

سایر مؤلفه‌­ها را می‌­توان به‌طور مشابه به‌دست آورد:

$$\large F _ {\mu \nu } = \left ( \begin {matrix} 0 & -E_x /C & -E_y /C & -E_z /C \\ E_x /C & 0 & - B _z & B_y \\ E_y /C & B_z & 0 & - B_x \\ E_ z / C & - B_y & B_x & 0 \end {matrix} \right )$$

اگر شکل هموردا و پادوردای تانسور الکترومغناطیسی در هم ضرب شوند، یک کمیت عددی به‌دست می‌‌آید:

$$F _ {\mu \nu} F ^ { \mu \nu} = 2 \left ( B^2 - \frac { E^2} {C^2} \right )$$

اگر به موضوعات مرتبط با این مطلب علاقه‌مندید، پیشنهاد می‌کنیم آموزش‌های زیر را نیز ببینید:

• کاربرد جبر خطی در یادگیری عمیق
• تئوری الاستیسیته خطی — راهنمای جامع

^^