گرد کردن اعداد در ریاضیات | به زبان ساده

اعداد، کلید دسترسی به محاسبات هستند. ولی کار با اعداد اعشاری، مشکل‌تر از اعداد صحیح است. به خصوص ذهن ما برای کار روی اعداد اعشاری، آمادگی کافی ندارد و راحت‌تر است که محاسبات را حتی به طور تقریبی، به کمک اعداد صحیح انجام دهیم. به این منظور، قبل از انجام محاسبات، اعداد مورد محاسبه را «گرد» (Round) می‌کنیم تا به سرعت محاسباتمان بیفزاییم. البته واضح است که با این کار دقت محاسبات را کاهش داده‌ایم. در این نوشتار از مجله فرادرس به موضوع گرد کردن اعداد (Rounding) خواهیم پرداخت و شیوه‌های مختلف آن را بازگو خواهیم کرد. به یاد داشته باشید که گرد کردن هر عدد، هزینه‌ای دارد که همان کاهش دقت در انجام محاسبات است.

برای آشنایی بیشتر با اعداد اعشاری و اعداد صحیح بهتر است نوشتارهای اعداد اعشاری — به زبان ساده و اعداد صحیح — به زبان ساده از مجله فرادرس را مطالعه کنید. همچنین خواندن مطالب توابع جز صحیح — به زبان ساده و تقسیم عدد صحیح — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

گرد کردن اعداد در ریاضیات

همانطور که بیان کردیم، «گرد کردن» (Rounding) به معنی ساده‌سازی اعداد است تا محاسبات روی آن‌ها با سرعت و سادگی بیشتر همراه شود. البته این ساده‌سازی، به بهای کاهش دقت در انجام محاسبات همراه است. وقتی عددی را گرد می‌کنیم، مقدار حاصل یا نتیجه اصلی، یک عدد صحیح است که بسیار به عدد اولیه نزدیک است و می‌تواند جایگزینی برای انجام محاسبات باشد.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال عدد ۷۳ را در نظر بگیرید. اگر این عدد را به نزدیک‌ترین مضرب ۱۰ گرد کنیم، مقدار ۷۰ حاصل می‌شود. به این معنی که ۷۰ نزدیک‌ترین عدد به ۷۳ است که البته مضرب ۱۰ نیز هست. واضح است که اختلاف این دو عدد، ۳ واحد است.

نکته: مضرب‌های ده، اعدادی هستند که رقم یکان آن‌ها صفر باشد.

این بار عدد ۷۸ را در نظر بگیرید. نزدیک‌ترین عدد مضرب ۱۰ به این عدد، ۸۰ است. واضح است که ۸۰ مضرب ۱۰ بوده و فاصله یا اختلاف آن از ۷۸ برابر با ۲ واحد است. همانطور که مشاهده کردید، اعداد ۷۳ و ۷۸ به نزدیک‌ترین عدد مضرب ۱۰ گرد شدند. اگر ۷۳ را به ۸۰ گرد می‌کردیم، فاصله یا اختلافی برابر با ۷ واحد داشتیم. از طرفی اگر ۷۸ را به ۷۰، گرد می‌کردیم، حاصل اختلاف این دو عدد، ۸ واحد بود. بنابراین کمترین فاصله بدست نمی‌آمد.

به این موضوع نیز توجه داشته باشید که اگر عدد A را گرد کنیم و حاصل از A بزرگتر باشد، عمل گرد کردن را به نام «تقریب اضافی» می‌شناسند. برعکس اگر عمل گرد کردن A باعث شود که عدد حاصل از گرد کردن از A کوچکتر باشد، عمل گرد کردن، با «تقریب نقصانی» رخ داده است. انتخاب روش تقریب اضافی یا نقصانی براساس هدف از انجام محاسبات بعدی، صورت می‌گیرد. البته این کار با در نظر گرفتن کمترین میزان خطا همراه است.

برای مثال هنگامی که ریسک یک سرمایه‌گذاری را محاسبه می‌کنیم، معمولا بیشترین میزان ضرر را به عنوان حد تحمل انتخاب می‌کنیم. به این ترتیب از تقریب اضافی کمک می‌گیریم. و اعداد را گرد می‌کنیم. برعکس هنگام محاسبه سود، به علت دخالت عوامل غیر قابل کنترل، معمولا از تقریب نقصانی استفاده کرده تا در بدترین حالت، میزان سود را بدست آورده باشیم.

روش‌های مختلفی برای گرد کردن (چه اعداد صحیح و چه اعداد اعشاری) وجود دارد که در ادامه متن به آن‌ها اشاره خواهیم کرد. جدا از اینکه چه روشی را برای گرد کردن به کار می‌برید، مراحل گرد کردن اعداد به صورت زیر است:

• تعیین تعداد ارقام باقی‌مانده از عدد گرد شده (ارقام معنی‌دار- Significant)
• انتخاب قانون برای حذف ارقام (روش گرد کردن)
• حذف ارقام مورد نظر و نمایش عدد گرد شده
• مشخص کردن میزان خطای حاصل از گرد کردن

البته گرد کردن اعداد& ساده به نظر می‌رسد و همین سادگی، آن را روشی موفق برای سرعت بخشیدن به انجام محاسبات پیچیده و تقریبی کرده است.

گرد کردن اعداد به پایین

بهتر است ابتدا «گردن کردن اعداد به پایین» (Rounding Down) را به کمک یک مثال معرفی کنیم.

مثال ۱

فرض کنید می‌خواهیم عدد ۱۲۳٫۸۶ را به نزدیک‌ترین عدد صحیح و به پایین، گرد کنیم. بنابراین باید ارقام اعشاری حذف شوند. به این ترتیب به سه رقم صحیح احتیاج داریم. از آنجایی که می‌خواهیم عدد ۱۲۳٫۸۶ را به پایین گرد کنیم، بزرگترین عدد صحیح که از 123٫86 کوچکتر یا مساوی است را در نظر می‌گیریم. به این ترتیب حاصل گرد کردن این عدد به نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچکتر از آن (گرد کردن به پایین- Round Down)، برابر است با ۱۲۳.

فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده در فرادرس

کلیک کنید

مشخص است که در این حالت، خطای گرد کردن برابر با ۰٫۸۶ است.

$$\large | 123.86 \; - 123 | = 0.86$$

همانطور که در این مثال متوجه شدید، پس از مشخص کردن رقم یا رقم‌های قابل حذف، نحوه گرد کردن عدد به پایین به صورت زیر مشخص می‌شود. علامت این تفاضل (بدون در نظر گرفتن قدر مطلق) نشانه «تقریب اضافی» یا «تقریب نقصانی» است. به این ترتیب اگر حاصل تفاضل عدد نتیجه گرد کردن از عدد اصلی، مثبت باشد، تقریب اضافی و اگر این تفاضل منفی بدست آید، تقریب نقصانی خواهد بود.

قاعده گرد کردن به پایین: گرد کردن یک عدد به پایین، یعنی پیدا کردن بزرگترین عددی که با توجه به تعداد ارقام باقی‌مانده، از عدد مورد نظر کوچکتر یا مساوی باشد.

نکته: اگر با تابع جزء صحیح آشنا باشید، متوجه می‌شوید که گرد کردن اعداد به پایین و نزدیک‌ترین عدد صحیح، دقیقا با «تابع جزء صحیح» (Floor Function) برابر است. به این ترتیب تابع جزء صحیح یک تقریب نقصانی ایجاد می‌کند.

مثال ۲

این بار یک عدد اعشاری را گرد می‌کنیم. فرض کنید همان عدد ۱۲۳٫۸۶ را می‌خواهیم با یک رقم اعشار نمایش دهیم. در نتیجه باید رقم دوم اعشار آن حذف شود. بزرگترین عدد که دارای یک رقم اعشار بوده و از ۱۲۳٫۸۶ نیز کوچکتر است، عدد ۱۲۳٫۸ است. به این ترتیب حاصل گرد کردن ۱۲۳٫۸۶ با یک رقم اعشار بدست آمده و خطای گرد کردن نیز برابر با ۰٫0۶ است.

$$\large | 123.86 \; - 123.8 | = 0.06$$

مثال ۳

این بار می‌خواهیم با استفاده از قاعده ذکر شده، یک عدد منفی را به پایین گرد کنیم. توجه داشته باشید که روی محور اعداد، هر چه به سمت چپ، حرکت کنیم، عددها کوچکتر خواهند شد. به تصویر ۲ توجه کنید. عدد ۱۲۳٫۸۶- را می‌خواهیم به عدد صحیح، گرد به پایین کنیم. از آنجایی که حاصل باید یک عدد صحیح باشد که از عدد مورد نظر نیز کوچکتر است، به پایین گرد کردن عدد ۱۲۳٫۸۶- حاصلی برابر با ۱۲۴- خواهد داشت. خطای گرد کردن نیز برابر با 0٫۱۴ است.

$$\large | -123.86 \; - (-124) | = 0.14$$

نکته: توجه کنید که میزان خطا همیشه به صورت «قدر مطلق» (Absolute Value) اختلاف مقدار واقعی با مقدار گرد شده حاصل می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

در ضمن اگر لازم باشد این عدد را با یک رقم اعشار گرد به پایین کنیم، طبق قاعده گرد کردن به پایین حاصل برابر با ۱۲۳٫۹- خواهد بود. بنابراین هر گاه اعداد را روی محور در نظر بگیریم، حاصل گرد کردن به پایین، عددی است که همیشه از عدد اولیه کوچکتر بوده و تقریب نقصانی است. خطای گرد کردن نیز در اینجا برابر با 0٫04 خواهد بود.

گرد کردن اعداد به بالا

«گرد کردن به بالا» (Round Up)، نیز به همان شیوه گرد کردن به پایین اجرا می‌شود ولی با این تفاوت که از میان مقادیر بزرگتر، نزدیکترین مقدار یا کوچکترین آن‌ها با توجه به حذف ارقام مورد نظر، به عنوان مقدار گرده شده، در نظر گرفته می‌شود. باز هم برای روشن شدن موضوع به مثال‌هایی در این زمینه خواهیم پرداخت.

مثال 4

می‌خواهیم عدد ۱۲۳٫86 را به بالا گرد کرده و به صورت یک عدد صحیح نمایش دهیم. واضح است که همه ارقام اعشار آن باید حذف شود.

نزدیک‌ترین اعداد صحیح به ۱۲۳٫۸۶ دو عدد ۱۲۳ و ۱۲۴ هستند ولی چون ۱۲۴ از بین مقادیر بزرگتر از ۱۲۳٫۸۶ از همه کوچکتر است، آن را نتیجه گردن کردن به بالا در نظر می‌گیریم. خطای گرد کردن در اینجا برابر با ۰٫1۴ است. برای مشخص شدن موضوع به تصویر ۱ توجه کنید. البته تصویر ۲ نیز چنین حالتی را برای زمانی که مقادیر منفی باشند، نشان داده است. به این ترتیب قانون برای گرد کردن اعداد به بالا را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

قاعده گرد کردن به بالا: گردن کردن یک عدد به بالا، یعنی پیدا کردن کوچکترین عددی که با توجه به تعداد ارقام باقی‌مانده، از عدد مورد نظر بزرگتر یا مساوی باشد.

مثال ۵

باز هم به سراغ عدد ۱۲۳٫۸۶- می‌رویم و می‌خواهیم آن را به نزدیک‌ترین عدد صحیح و رو به بالا گرد کنیم. مشخص است که طبق تصویر ۲، نتیجه این عمل عدد ۱۲۳- است زیرا کوچکترین عدد صحیح در بین مقادیر بزرگتر از ۱۲۳٫۸۶-، عدد ۱۲۳- خواهد بود. باز هم یادآوری می ‌کنیم که حرکت به سمت راست روی محور، مقادیر بزرگتر را مشخص می‌کند. خطای گرد کردن در این جا برابر با ۰٫۸۶ است.