معادلات دیفرانسیل مرتبه بالا – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

در این آموزش، معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه $$n$$اُم را بررسی می‌کنیم. از آن‌جایی که حل این معادلات، تعمیمی از حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول و مرتبه دوم است، پیشنهاد می‌کنیم قبل از خواندن این مطلب، آموزش‌های «معادلات دیفرانسیل مرتبه اول» و «معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم» را مطالعه کنید. در این آموزش، روش‌های اصلی حل معادلات مرتبه بالا را بیان می‌کنم. توجه کنید که منظور از مرتبه بالا، مراتب بالاتر از ۲ است.

تعاریف و قضایا

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه $$n$$اُم زیر را در نظر بگیرید:

$$\begin{equation}{P_n}\left( t \right){y^{\left( n \right)}} + {P_{n - 1}}\left( t \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {P_1}\left( t \right)y' + {P_0}\left( t \right)y = G\left( t \right)\end{equation} \,\,\,\,\,\,\,\, (1)$$

که در آن:

$${y^{\left( m \right)}} = \frac{{{d^m}y}}{{d{x^m}}}$$

در بسیاری از قضایا و روابطی که وجود دارد، ضریب $$y^{(n)}$$ برابر با $$1$$ است؛ بنابراین، اگر معادله را بر $$P_n(t)$$ تقسیم کنیم، داریم:

$$\begin{equation}{y^{\left( n \right)}} + {p_{n - 1}}\left( t \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {p_1}\left( t \right)y' + {p_0}\left( t \right)y = g\left( t \right)\end{equation} \,\,\,\,\,\,\,\, (2)$$

اگر معادله دیفرانسیل مرتبه $$n$$اُم، یک مسئله مقدار اولیه باشد، به $$n$$ شرط اولیه زیر نیاز خواهیم داشت:

$$\begin{equation}y\left( {{t_0}} \right) = {\overline{y}_0},\hspace{0.25in}y'\left( {{t_0}} \right) = {\overline{y}_1},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{y^{\left( {n - 1} \right)}}\left( {{t_0}} \right) = {\overline{y}_{n - 1}}\end{equation}\,\,\,\,\,\,\,\, (3)$$

قضیه زیر بیان می‌کند که می‌توان یک حل منحصربه‌فرد برای یک مسئله مقدار اولیه، دو رابطه اخیر ارائه کرد.

قضیه ۱

فرض کنید توابع $${p_0},{p_1}, \ldots ,{p_{n - 1}}$$ و $$g(t)$$ همه در بازه باز $$I$$ که شامل $$t_0$$ است، پیوسته باشند. آن‌گاه یک حل منحصربه‌فرد برای مسئله مقدار اولیه (۲) و (۳) در همه $$t$$های بازه $$I$$ وجود دارد.

---

این قضیه، تعمیمی ساده از همان قضیه‌ای است که برای معادلات مرتبه اول بیان کردیم.

ابتدا درباره معادله دیفرانسیل مرتبه $$n$$ همگن بحث می‌کنیم. بنابراین، معادله همگن زیر را در نظر بگیرید:

$$\begin{equation}{y^{\left( n \right)}} + {p_{n - 1}}\left( t \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {p_1}\left( t \right)y' + {p_0}\left( t \right)y = 0\end{equation}\,\,\,\,\,\,\,\, (4)$$

فرض کنید همه $$n$$ پاسخ $${y_1}\left( t \right),{y_2}\left( t \right), \ldots ,{y_n}\left( t \right)$$ معادله (۴) را می‌دانیم؛ آن‌گاه با تعمیمی اصل برهمنهی داریم:

$$y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{y_n}\left( t \right)$$

که حل معادله (۴) است. حال این پرسش مطرح می‌شود که آیا جواب بالا حل عمومی معادله دیفرانسیل مرتبه $$n$$ است؟

برای آنکه این جواب، عمومی باشد، باید بتوانیم ثابت‌های $${c_1},{c_2}, \ldots ,{c_n}$$ را برای هر $$t_0$$ (که در بازه $$I$$ برای قضیه ۱ بیان شد) و هر $${\overline{y}_1},{\overline{y}_2}, \ldots ,{\overline{y}_n}$$ به‌دست آوریم. به‌عبارت دیگر، باید ضرایب $${c_1},{c_2}, \ldots ,{c_n}$$ را پیدا کنیم که در معادله زیر صدق کنند:

$$\begin{align*}{c_1}{y_1}\left( {{t_0}} \right) + {c_2}{y_2}\left( {{t_0}} \right) + \cdots + {c_n}{y_n}\left( {{t_0}} \right) & = {{\overline{y}}_0}\\ {c_1}{{y'}_1}\left( {{t_0}} \right) + {c_2}{{y'}_2}\left( {{t_0}} \right) + \cdots + {c_n}{{y'}_n}\left( {{t_0}} \right) & = {{\overline{y}}_1}\\ & \vdots \\ {c_1}y_1^{\left( {n - 1} \right)}\left( {{t_0}} \right) + {c_2}y_2^{\left( {n - 1} \right)}\left( {{t_0}} \right) + \cdots + {c_n}y_n^{\left( {n - 1} \right)}\left( {{t_0}} \right) & = {{\overline{y}}_{n - 1}}\end{align*}$$

همان‌طور که در مورد معادله مرتبه دوم دیدیم، می‌توان از روش کرامر استفاده کرد. مخرج هریک از پاسخ‌ها به‌صورت زیر است:

$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}\\{{{y'}_1}}&{{{y'}_2}}& \cdots &{{{y'}_n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{y_1^{\left( {n - 1} \right)}}&{y_2^{\left( {n - 1} \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( {n - 1} \right)}}\end{array}} \right|$$

اکنون می‌توانیم رونسکین (Wronskian) را به‌صورت زیر تشکیل دهیم (در قضیه ۲ از آن استفاده خواهیم کرد):

$$W\left( {{y_1},{y_2}, \ldots {y_n}} \right)\left( t \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1}}&{{y_2}}& \cdots &{{y_n}}\\{{{y'}_1}}&{{{y'}_2}}& \cdots &{{{y'}_n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{y_1^{\left( {n - 1} \right)}}&{y_2^{\left( {n - 1} \right)}}& \cdots &{y_n^{\left( {n - 1} \right)}}\end{array}} \right|$$

قضیه ۲

فرض کنید توابع $${p_0},{p_1}, \ldots ,{p_{n - 1}}$$ در بازه باز $$I$$ پیوسته هستند. همچنین فرض کنید توابع $${y_1}\left( t \right),{y_2}\left( t \right), \ldots {y_n}\left( t \right)$$ حل معادله (۴) باشند. اگر $$W\left( {{y_1},{y_2}, \ldots {y_n}} \right)\left( t \right) \ne 0$$ آن‌گاه توابع $${y_1}\left( t \right),{y_2}\left( t \right), \ldots {y_n}\left( t \right)$$‌ یک مجموعه پایه برای پاسخ معادله تشکیل می‌دهند و جواب عمومی معادله (۴) به‌صورت زیر خواهد بود:

$$y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{y_n}\left( t \right)$$

---

لازم به یادآوری است اگر مجموعه‌ای از جواب‌ها، یک مجموعه پایه جواب را تشکیل دهند، مجموعه‌ای از توابع مستقل خطی خواهند بود. طبق قضیه زیر می‌توان جواب معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه $$n$$ را ارائه کرد.

قضیه ۳

فرض کنید $$Y_1(t)$$ و $$Y_2(t)$$ دو جواب معادله (۲)‌، و توابع $${y_1}\left( t \right),{y_2}\left( t \right), \ldots {y_n}\left( t \right)$$ یک مجموعه پایه از جواب‌های معادله دیفرانسیل ناهمگن (۴) باشند. آن‌گاه،

$${Y_1}\left( t \right) - {Y_2}\left( t \right)$$

یک جواب برای معادله (۴) بوده و می‌توان آن را به‌صورت زیر نوشت:

$${Y_1}\left( t \right) - {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{y_n}\left( t \right)$$

---

اکنون اگر $$Y(t)$$ را به‌عنوان جواب عمومی معادله (۲) و $$Y_P(t)$$ را هر جواب دیگری برای آن در نظر بگیریم، با استفاده از قضیه فوق می‌توان گفت:

$$Y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{y_n}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right) = {y_c}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right)$$

که در آن، $${y_c}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + \cdots + {c_n}{y_n}\left( t \right)$$ «جواب مکمل» (Complementary Solution) و $$Y_P(t)$$ یک «جواب خصوصی» (Particular Solution) نامیده می‌شود.

معادلات دیفرانسیل همگن

مشابه معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم، برای حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه بالا باید ابتدا معادله همگن را حل کنیم.

معادله دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید:

$${a_n}{y^{\left( n \right)}} + {a_{n - 1}}{y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {a_1}y' + {a_0}y = 0$$

فرض می‌کنیم حل معادله بالا به‌فرم $$y\left( t \right) = {{\bf{e}}^{r\,t}}$$ باشد و آن را در معادله دیفرانسیل جایگذاری می‌کنیم. با کمی ساده‌سازی داریم:

$${{\bf{e}}^{r\,t}}\left( {{a_n}{r^n} + {a_{n - 1}}{r^{n - 1}} + \cdots + {a_1}r + {a_0}} \right) = 0$$

برای آنکه معادله بالا برقرار باشد، باید تساوی زیر را داشته باشیم:

$${a_n}{r^n} + {a_{n - 1}}{r^{n - 1}} + \cdots + {a_1}r + {a_0} = 0$$

معادله بالا، چندجمله‌ای یا معادله مشخصه نامیده می‌شود و با یافتن ریشه‌های آن می‌توان پاسخ معادله دیفرانسیل را به‌دست آورد. می‌دانیم که یک معادله دیفرانسیل مرتبه $$n$$اُم، تعداد $$n$$ ریشه (با احتساب ریشه‌های تکراری)‌ دارد.

در معادله مشخصه بالا، با سه دسته پاسخ مواجه هستیم: اول ریشه‌های مجزا و حقیقی، دوم ریشه‌های تکراری و سوم، ریشه‌های مختلط.

فرض کنید یک معادله دیفرانسیل مرتبه نهم داریم. ممکن است ترکیب ریشه‌ها این‌گونه باشد: ۳ ریشه حقیقی مجزا، یک ریشه که چهار بار تکرار شده و ۲ ریشه مزدوج مختلط. لازم به ذکر است که چون ضرایب معادله حقیقی هستند، اگر ریشه مختلط وجود داشته باشد، همراه با مزدوج آن خواهد بود.

بنابراین، برای هر معادله دیفرانسیل مرتبه $$n$$اُم باید $$n$$ تابع مستقل خطی (یعنی یک مجموعه پایه از جواب‌ها) تشکیل دهیم. البته قبل از این کار باید ماتریس رونسکین را بررسی کنیم که صفر نباشد. در ادامه، جواب‌های متناظر با هر دسته از ریشه‌های معادله مشخصه را بیان می‌کنیم.

(۱) ریشه‌های حقیقی و مجزا: فرض کنید ریشه‌های معادله مشخصه به‌صورت $${r_{\,1}},{r_{\,2}}, \ldots ,{r_{\,k}}$$ و مجزا از هم باشند. جواب متناظر با هریک از این ریشه‌ها به‌صورت زیر است:

$${{\bf{e}}^{{r_{\,1}}\,t}},\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{r_{\,2}}\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{{r_{\,k}}\,t}}$$

(۲) ریشه‌های حقیقی تکراری: اکنون فرض می‌کنیم ریشه تکراری داشته باشیم. این مورد نیز مشابه موردی است که در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم گفتیم. فرض کنید $$r$$ ریشه‌‌ای است که $$k$$ بار تکرار شده است. بنابراین، تعداد $$k$$ پاسخ به‌صورت زیر داریم:

$${{\bf{e}}^{r\,t}},\hspace{0.25in}t\,{{\bf{e}}^{r\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{r\,t}}$$

(۳) ریشه‌های مختلط: حال پاسخ مربوط به ریشه‌های مزدوج مختلط را بررسی می‌کنیم. فرض کنید ریشه‌های مزدوج مختلط $$r = \lambda \pm \mu \,i$$ را داریم که تکرار هم نشده‌اند. در این حالت، دو پاسخ استاندارد داریم:

$${{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right)\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right)$$

(۴) ریشه‌های مختلط تکراری: مسئله‌ای که در این مورد وجود دارد، این است که ریشه‌های تکراری مختلط در معادلات دیفرانسیل مرتبه چهارم به بالا وجود دارند. اکنون فرض کنید $$r = \lambda \pm \mu \,i$$ به‌ تعداد $$k$$ بار تکرار شده باشد. در این حالت، مشابه ریشه‌های تکراری حقیقی عمل می‌کنیم و $$2k$$ پاسخ مختلط خواهیم داشت:

$$\begin{align*}&{{\bf{e}}^{\left( {\lambda + \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in}t\,{{\bf{e}}^{\left( {\lambda + \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\left( {\lambda + \mu \,i} \right)\,t}}\\ & {{\bf{e}}^{\left( {\lambda - \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in}t\,{{\bf{e}}^{\left( {\lambda - \mu \,i} \right)\,t}},\hspace{0.25in} \cdots ,\hspace{0.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\left( {\lambda - \mu \,i} \right)\,t}}\end{align*}$$

توجه کنید که ما پاسخ‌های حقیقی را می‌خواهیم. بنابراین از فرمول اویلر استفاده می‌کنیم و قسمت‌های حقیقی و موهومی عبارات بالا را به‌صورت جداگانه می‌نویسیم:

$$\begin{align*}&{{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in}t{{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in}t{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right),\hspace{0.25in} \cdots ,\\ & \hspace{3.25in}{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\cos \left( {\mu \,t} \right),\,\,\,\,\,\,\,{t^{k - 1}}{{\bf{e}}^{\lambda t}}\sin \left( {\mu \,t} \right)\end{align*}$$

قبل از اینکه چند مثال را بررسی کنیم، باید نکته‌ای را یادآور شویم و آن این است که یافتن ریشه چندجمله‌ای‌هایی با درجه بالاتر از ۳، به‌صورت دستی، کار دشواری است. بنابراین برای حل آن‌ها باید از نرم‌افزاهای مناسب کمک بگیریم.

مثال ۱

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.

$${y^{\left( 3 \right)}} - 5y'' - 22y' + 56y = 0\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,y'\left( 0 \right) = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,y''\left( 0 \right) = - 4$$

حل: معادله مشخصه و ریشه‌های آن به‌صورت زیر هستند:

$${r^3} - 5{r^2} - 22r + 56 = \left( {r + 4} \right)\left( {r - 2} \right)\left( {r - 7} \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{r_{\,1}} = - 4,\,\,\,{r_{\,2}} = 2,\,\,\,{r_{\,3}} = 7$$

بنابراین، سه ریشه حقیقی مجزا داریم و پاسخ عمومی به‌صورت زیر خواهد بود:

$$y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{ - 4t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{2t}} + {c_3}{{\bf{e}}^{7t}}$$

با دو بار مشتق‌گیری از معادله فوق و اعمال شرایط اولیه به آن، سه معادله زیر را خواهیم داشت که برای یافتن ضرایب جواب، کافی هستند:

$$\begin{array}{*{20}{l}}{\,\,\,\,\,1 = y\left( 0 \right) = {c_1} + {c_2} + {c_3}}\\{ - 2 = y'\left( 0 \right) = - 4{c_1} + 2{c_2} + 7{c_3}}\\{ - 4 = y''\left( 0 \right) = 16{c_1} + 4{c_2} + 49{c_3}}\end{array}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{l}}{{c_1} = \frac{{14}}{{33}}}\\{{c_2} = \frac{{13}}{{15}}}\\{{c_3} = - \frac{{16}}{{55}}}\end{array}$$

در نتیجه، پاسخ نهایی برابر است با:

$$y\left( t \right) = \frac{{14}}{{33}}{{\bf{e}}^{ - 4t}} + \frac{{13}}{{15}}{{\bf{e}}^{2t}} - \frac{{16}}{{55}}{{\bf{e}}^{7t}}$$

مثال ۲

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$$2{y^{\left( 4 \right)}} + 11{y^{\left( 3 \right)}} + 18y'' + 4y' - 8y = 0$$

حل: معادله مشخصه به‌صورت زیر است:

$$2{r^4} + 11{r^3} + 18{r^2} + 4r - 8 = \left( {2r - 1} \right){\left( {r + 2} \right)^3} = 0$$

با توجه به معادله بالا، دو ریشه $${r_{\,1}} = \frac{1}{2}$$ و $${r_{\,2}} = - 2$$ داریم که دومی ۳ بار تکرار شده است. طبق مواردی که در بالا گفتیم، وقتی ریشه تکراری داریم توان‌هایی از $$t$$ در پاسخ ظاهر می‌شود. بنابراین، حل عمومی معادله به‌صورت زیر خواهد بود:

$$y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{\frac{1}{2}t}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - \,2t}} + {c_3}t{{\bf{e}}^{ - \,2t}} + {c_4}{t^2}{{\bf{e}}^{ - \,2t}}$$

مثال ۳

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$${y^{\left( 5 \right)}} - 15{y^{\left( 4 \right)}} + 84{y^{\left( 3 \right)}} - 220y'' + 275y' - 125y = 0$$

حل: معادله مشخصه به‌صورت زیر است:

$${r^5} - 15{r^4} + 84{r^3} - 220{r^2} + 275r - 125 = \left( {r - 1} \right){\left( {r - 5} \right)^2}\left( {{r^2} - 4r + 5} \right) = 0$$

همان‌طور که از معادله بالا مشخص است، یک ریشه حقیقی $$r=1$$، دو ریشه تکراری $$r=5$$ و دو ریشه مزدوج مختلط $$r = 2 \pm i$$ داریم. بنابراین، حل معادله بالا به‌صورت زیر است:

$$y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^t} + {c_2}{{\bf{e}}^{5t}} + {c_3}\,t\,{{\bf{e}}^{5t}} + {c_4}{{\bf{e}}^{2t}}\cos \left( t \right) + {c_5}{{\bf{e}}^{2t}}\sin \left( t \right)$$

مثال ۴

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$${y^{\left( 4 \right)}} + 16y = 0$$

حل: معادله مشخصه به‌صورت زیر است:

$${r^4} + 16 = 0$$

حل معادله بالا، ساده است. برای یافتن ریشه‌های آن باید ریشه‌های چهارم $$-16$$ را محاسبه کنیم. برای آشنایی بیشتر با روش یافتن ریشه‌ها می‌توانید آموزش «توان و ریشه اعداد مختلط — از صفر تا صد» را مطالعه کنید. ریشه‌های چهارم عدد $$-16$$ به‌صورت زیر قابل محاسبه است:

$$\sqrt[4]{{ - 16}} = {\left( { - 16} \right)^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{16}}{{\bf{e}}^{\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2}} \right)i}} = 2\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2}} \right)} \right)\hspace{0.25in}k = 0,1,2,3$$

با قرار دادن مقادیر مختلف $$k$$، ریشه‌ها به‌دست می‌آیند:

$$\begin{align*}&k = 0:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 + i\sqrt 2 \\ & k = 1:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + \frac{{\pi k}}{2}} \right)} \right) = 2\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = - \sqrt 2 + i\sqrt 2 \\ & k = 2:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)} \right) = 2\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = - \sqrt 2 - i\sqrt 2 \\ & k = 3:\hspace{0.25in}2\left( {\cos \left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right)} \right) = 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 - i\sqrt 2 \end{align*}$$

می‌بینیم که دو ریشه مزدوج $$r = \sqrt 2 \pm i\sqrt 2$$ و $$r = - \sqrt 2 \pm i\sqrt 2$$ داریم. در نهایت، پاسخ عمومی معادله دیفرانسیل به‌صورت زیر خواهد بود:

$$y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{\sqrt 2 t}}\cos \left( {\sqrt 2 \,t} \right) + {c_2}{{\bf{e}}^{\sqrt 2 t}}\sin \left( {\sqrt 2 \,t} \right) + {c_3}{{\bf{e}}^{ - \sqrt 2 t}}\cos \left( {\sqrt 2 \,t} \right) + {c_4}{{\bf{e}}^{ - \sqrt 2 t}}\sin \left( {\sqrt 2 \,t} \right)$$

جواب خصوصی معادله

دو راه برای یافتن جواب خصوصی معادله دیفرانسیل مرتبه بالا وجود دارد. در این‌جا روش «ضرایب نامعین» (Undetermined Coefficients) را بررسی می‌کنیم.

معادله دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید:

$${y^{\left( n \right)}} + {p_{n - 1}}\left( t \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \cdots + {p_1}\left( t \right)y' + {p_0}\left( t \right)y = g\left( t \right)$$

اگر $$g(t)$$ یک تابع نمایی، چندجمله‌ای، سینوسی، کسینوسی یا جمع و ضریبی از این توابع باشد، باید شکل آن را مشابه معادله مرتبه دوم، حدس بزنیم. پس از آن می‌توانیم ضرایب را محاسبه کنیم.

مثال ۵

معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$${y^{\left( 3 \right)}} - 12y'' + 48y' - 64y = 12 - 32{{\bf{e}}^{ - 8t}} + 2{{\bf{e}}^{4t}}$$

حل: ابتدا جواب عمومی را محاسبه می‌کنیم. بنابراین، معادله مشخصه به‌صورت زیر خواهد بود:

$${r^3} - 12{r^2} + 48r - 64 = {\left( {r - 4} \right)^3} = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}r = 4\,\,$$

در نتیجه، یک ریشه حقیقی داریم که سه بار تکرار شده است. بنابراین، جواب مکمل به‌صورت زیر خواهد بود:

$${y_c}\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{4t}} + {c_2}t{{\bf{e}}^{4t}} + {c_3}{t^2}{{\bf{e}}^{4t}}$$

اکنون جواب خصوصی را حدس می‌زنیم:

$${Y_P} = A + B{{\bf{e}}^{ - 8t}} + C{{\bf{e}}^{4t}}$$

توجه کنید که جمله آخر معادله بالا، در پاسخ عمومی نیز وجود دارد. بنابراین می‌توان چنین تعبیر کرد که چهار ریشه $$r=4$$‌ داریم. در مورد ریشه‌های تکراری گفتیم که ضریبی از توان $$t$$ را باید در آن‌ها ضرب کرد. بنابراین، جواب خصوصی را به‌صورت زیر تصحیح می‌کنیم:

$${Y_P} = A + B{{\bf{e}}^{ - 8t}} + C{t^3}{{\bf{e}}^{4t}}$$

برای یافتن ضرایب، سه بار از معادله فوق مشتق می‌گیریم و آن را برابر با سمت راست معادله دیفرانسیل اصلی قرار می‌دهیم:

$$- 64A - 1728B{{\bf{e}}^{ - 8t}} + 6C{{\bf{e}}^{4t}} = 12 - 32{{\bf{e}}^{ - 8t}} + 2{{\bf{e}}^{4t}}$$

در نتیجه، ضرایب به‌صورت زیر خواهند بود:

$$\begin{aligned}{t^0} & : & - 64A &= 12\\{{\bf{e}}^{ - 8t}} & : & - 1728B & = - 32\\{{\bf{e}}^{4t}} & : & 6C & = 2\end{aligned}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{l}}{A = - \frac{3}{{16}}}\\{B = \frac{1}{{54}}}\\{C = \frac{1}{3}}\end{array}$$

و جواب خصوصی را می‌توان به‌شکل زیر بیان کرد:‌

$${Y_P} = - \frac{3}{{16}} + \frac{1}{{54}}{{\bf{e}}^{ - 8t}} + \frac{1}{3}{t^3}{{\bf{e}}^{4t}}$$

در نتیجه، جواب عمومی معادله به‌صورت زیر است:

$$y\left( t \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{4t}} + {c_2}t{{\bf{e}}^{4t}} + {c_3}{t^2}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{3}{{16}} + \frac{1}{{54}}{{\bf{e}}^{ - 8t}} + \frac{1}{3}{t^3}{{\bf{e}}^{4t}}$$

حل با استفاده از تبدیل لاپلاس

یکی دیگر از راه‌های حل معادلات، استفاده از تبدیل لاپلاس است. این روش را در قالب یک مثال توضیح می‌دهیم.

مثال ۶

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{30 - 5t}},\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = - 3\,\,\,y'\left( 0 \right) = 1\,\,\,\,\,y''\left( 0 \right) = 4$$

حل: ابتدا باید بررسی کنیم جابه‌جایی زمانی تابع پله $$u(t)$$ صحیح باشد:

$$y''' - 4y'' = 4t + 3{u_6}\left( t \right){{\bf{e}}^{ - 5\left( {t - 6} \right)}}$$

می‌بینیم که جابه‌جایی $${{\bf{e}}^{ - 5t}}$$ به‌درستی انجام شده است. اکنون باید از معادله تبدیل لاپلاس بگیریم. همان‌طور که می‌دانیم، تبدیل لاپلاس معادله مرتبه سوم به صورت زیر است:

$$\mathcal{L}\left\{ {y'''} \right\} = {s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right)$$

بنابراین، داریم:

$$\begin{align*}{s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - sy'\left( 0 \right) - y''\left( 0 \right) - 4\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right)} \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) + 3{s^2} - 13s & = \frac{4}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{4}{{{s^2}}} - 3{s^2} + 13s + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {{s^3} - 4{s^2}} \right)Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^2}}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{s + 5}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} + \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 6s}}}}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s + 5} \right)}}\\ \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Y\left( s \right) & = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\end{align*}$$

اکنون تبدیل لاپلاس جواب مورد نظر را در اختیار داریم. برای به‌دست آوردن جواب، باید $$F(s)$$ و $$G(s)$$ را به کسرهای جزئی تجزیه کرده و عکس تبدیل لاپلاس آن‌ها را محاسبه کنیم:

$$\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{{4 - 3{s^4} + 13{s^3}}}{{{s^4}\left( {s - 4} \right)}} = \frac{{\frac{{17}}{{64}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{{209}}{{64}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{16}}}}{{{s^2}}} - \frac{{\frac{1}{4}\left( {\frac{{2!}}{{2!}}} \right)}}{{{s^3}}} - \frac{{1\left( {\frac{{3!}}{{3!}}} \right)}}{{{s^4}}}\\ f\left( t \right) & = \frac{{17}}{{64}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{{209}}{{64}} - \frac{1}{{16}}t - \frac{1}{8}{t^2} - \frac{1}{6}{t^3}\end{align*}$$

$$\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{1}{{{s^2}\left( {s - 4} \right)\left( {s + 5} \right)}} = \frac{{\frac{1}{{144}}}}{{s - 4}} - \frac{{\frac{1}{{225}}}}{{s + 5}} - \frac{{\frac{1}{{400}}}}{s} - \frac{{\frac{1}{{20}}}}{{{s^2}}}\\ g\left( t \right) & = \frac{1}{{144}}{{\bf{e}}^{4t}} - \frac{1}{{225}}{{\bf{e}}^{ - 5t}} - \frac{1}{{400}} - \frac{1}{{20}}t\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم جواب معادله دیفرانسیل را به‌صورت زیر بنویسیم که در آن، $$f(t)$$ و $$g(t)$$ مطابق روابط اخیر هستند:

$$Y\left( s \right) = F\left( s \right) + 3{{\bf{e}}^{ - 6s}}G\left( s \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y\left( t \right) = f\left( t \right) + 3{u_6}\left( t \right)g\left( {t - 6} \right)$$