در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، با معادلات دیفرانسیل و روش‌های حل آن‌ها آشنا شدیم. دیدیم که جواب معادله دیفرانسیل، بدون ذکر جزئیات دیگر، یک معادله با پارامتری عمومی و به بیان دیگر، مجموعه‌ای از توابع خواهد بود. گاهی پیش می‌آید که بخواهیم جواب در نقطه خاصی صدق کند. در این حالت، یک مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem) یا IPV خواهیم داشت که در این آموزش با آن آشنا می‌شویم. برای آشنایی بیشتر با این موضوع، می‌توانید آموزش «شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده» را نیز مطالعه کنید.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

مسئله مقدار اولیه

همان‌طور که گفتیم، وقتی معادلات دیفرانسیل را حل می‌کنیم، اغلب جواب‌های زیادی را به دست می‌آوریم. برای مثال، معادله دیفرانسیل $$ \frac{dy}{dx} = y $$ را در نظر بگیرید. همه جواب‌های این معادله دیفرانسیل به صورت $$ y = C e ^ x $$ بوده که در آن، $$C$$ یک ثابت است. معادله $$ \frac{d}{dx} \left ( Ce^x \right ) = Ce^x $$ صحت این جواب را تأیید می‌کند.

گاهی می‌خواهیم یک جواب خاص برای معادله دیفرانسیل به دست آوریم. برای مثال، در معادله ساده $$ \frac{dy}{dx} = y $$، فرض کنید که می‌خواهیم $$ y $$ به گونه‌ای باشد که $$y(0) = 3$$. از آنجایی که جواب معادله $$ y = Ce^x $$ است، رابطه $$3= y(0) = Ce^0 = C$$ و در نتیجه $$ C = 0 $$ را خواهیم داشت. بنابراین، جوابِ $$ y = 3e^x $$ هم در $$ \frac{dy}{dx} = y $$ و هم در $$ y (0) = 3 $$ صدق می‌کند. این اساساً همان چیزی است که یک مسئله مقدار اولیه نامیده می‌شود که در آن، مقدار اولیه $$y ( 0 ) = 3 $$ است.

تعریف: یک مسئله مقدار اولیه (IPV) مسئله‌ای است که در آن، می‌خواهیم جوابی برای معادله دیفرانسیل بیابیم که در مقدار اولیه $$ y ( x _ 0 ) = y _ 0 $$ صدق کند.

مثال‌ها

در این بخش، چند مثال ساده را بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

فرض کنید جواب عمومی معادله دیفرانسیل $$ \frac{dy}{dt} +2yt = 2te^{-t^2} $$ به صورت $$ y = t^2 e^{-t^2} + Ce^{-t^2} $$ است. جوابی را پیدا کنید که هم در معادله دیفرانسیل و هم در مقدار اولیه $$ y ( 0 ) = 5 $$ صدق کند.

حل: اگر $$ y ( 0 ) = 5 $$، آنگاه داریم:

$$ \large \begin {align} \quad 5 = 0 ^ 2 e ^ { – 0 ^2 } + C e ^ { – 0 } \\ \quad 5 = 0 + C \\ \quad C = 5 \end {align} $$

بنابراین، جواب $$y = t^2 e^{-t^2} + 5e^{-t^2} $$ است.

مثال ۲

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید.

$$ \large \frac { d y } { d x } = 10 – x , \;\;\;\;\; y ( 0 ) = – 1 $$

حل: ابتدا جواب عمومی معادله دیفرانسیل را به دست می‌آوریم:

$$ \large \frac { d y } { d x } = 10 – x \implies d y = ( 10 – x ) d x \\ \large \int d y = \int ( 10 – x ) d x \implies y = 10 x – \frac { x ^ 2} { 2 } + C $$

طبق شرایط اولیه، وقتی $$ x = 0 $$ باشد، $$ y = 1 $$ است.

بنابراین، داریم:

$$ \large – 1 = 10 ( 0 ) – \frac { 0 } { 2 } + C \implies C = -1 $$

در نهایت، جواب این مسئله مقدار اولیه به صورت زیر است:

$$ \large y = 10 x – \frac { x ^ 2 } { 2 } – 1 $$

مثال ۳

جواب مسئله مقدار اولیه زیر را به دست آورید.

$$ \large \frac { d y } { d x } = 9 x ^ 2 – 4 x + 5 , \;\;\;\;\; y ( – 1 ) = 0 $$

حل: ابتدا جواب عمومی را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

$$ \large \frac { d y } { d x } = 9 x ^ 2 – 4 x + 5 \implies d y = ( 9 x ^ 2 – 4 x + 5 ) d x \\
\large \int d y = \int ( 9 x ^ 2 – 4 x + 5 ) d x \implies y = \frac {9 x ^ 3 } { 3 } – \frac { 4 x ^ 2 } { 2 } + 5 x + C $$

وقتی $$ x = -1 $$، آنگاه $$ y = 0 $$. در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$ \large 0 = 3 ( – 1 ) ^ 3 – 2 (-1) ^ 2 + 5 ( – 1 ) + C \\ \large \implies 0 = -3-2-5+C \implies C = 10 $$

بنابراین، جواب نهایی به صورت زیر خواهد بود:

$$ \large y = 3 x ^ 3 – 2 x ^ 2 + 5 x + 10 $$

مثال ۴

جواب معادله دیفرانسیل زیر را بیابید.

$$ \large \frac { d s } { d t } = \cos t + \sin t , \;\;\;\; \; s ( \pi ) = 1 $$

حل: جواب عمومی این معادله به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \frac { d s } { d t } = \cos t + \sin t \implies d s = ( \cos t + \sin t ) d t \\
\large \int d s = \int ( \cos t + \sin t ) d t \implies s = \sin t – \cos t + C $$

وقتی $$ t = \pi $$، $$s = 1 $$. بنابراین:

$$ \large 1 = \sin \pi – \cos \pi + C \implies 1 = 0 – ( – 1 ) + C \implies C = 0 $$

در نتیجه، جواب نهایی برابر است با:

$$ \large s = \sin t – \cos t $$

مثال ۵

مسئله مقدار اولیه زیر را حل کنید:

$$ \large \frac { d ^ 2 y } { d x ^ 2 } = 2 – 6 x , \;\;\;\;\; y’ ( 0 ) = 4 , \;\;\; y ( 0 ) = 1 $$

حل: جواب این مسئله را در دو گام ساده به دست می‌آوریم.

در گام اول، $$y’$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large y’ = \int ( 2 – 6 x ) d x \implies y’ = 2 x – \frac { 6 x ^ 2 } { 2 } + C $$

طبق شرایط اولیه مسئله، وقتی $$x = 0 $$، آنگاه $$ y’ = 4 $$. در نتیجه، $$y’$$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large 4 = 2 ( 0 ) – 3 ( 0 ) ^ 2 + C \implies C = 4 \\
\large \implies y’ = 2 x – 3 x ^ 2 + 4 $$

اکنون، با انتگرال‌گیری از $$y’$$، عبارت $$y$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large y = \int ( 2 x – 3 x ^ 2 + 4 ) d x \implies y = \frac {2 x ^ 2 } { 2 } – \frac { 3 x ^ 3 } { 3 } + 4 x + C $$

طبق شرایط اولیه، وقتی $$ x = 0 $$ باشد، $$ y = 1 $$ است و خواهیم داشت:

$$ \large 1 = 0 ^ 2 – 0 ^ 3 + 4 ( 0 ) + C \implies C = 1 \\ $$

بنابراین، جواب نهایی این معادله دیفرانسیل با توجه به شرایط اولیه، برابر است با:

$$ \large y = x ^ 2 – x ^ 3 + 4 x + 1 $$

اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش مسئله مقدار اولیه در معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی مسئله مقدار اولیه در معادلات دیفرانسیل

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی حل مثال از مسئله مقدار اولیه در معادلات دیفرانسیل

دانلود ویدیو

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 7 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *