مدل خط سه فاز – به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی با معادل تکفاز مدل خط انتقال آشنا شدیم و دیدیم که وقتی سیستم متعادل باشد و هادی‌ها به طور کامل جابه‌جا شده باشند، می‌توانیم از مدل تکفاز برای خطوط سه‌فاز استفاده کنیم. البته، وقتی سیستم نامتعادل باشد یا خطوط جابه‌جا شده نباشند، این مدل‌ها با شکست مواجه شده و باید از یک مدل خط سه فاز استفاده کرد.

دکل تک مداره سه‌فاز شکل ۱ را در نظر بگیرید که هادی‌های سه فاز و هادی زمین در آن مشخص است.

یک تکه از این خط با چند هادی را می‌توان با مدار معادل شکل ۲ نشان داد.

می‌بینیم که در یک سیستم با چند هادی، تزویج متقابل بین هادی‌های فاز ($$a$$، $$b$$ و $$c$$) وجود دارد که آن را با اندوکتانس‌‌ها و ظرفیت‌های شنت نشان می‌دهیم. در مدل خط تکفاز از این تزویج‌ها صرف‌نظر می‌شود. توجه کنید که مقاومت بین فازها نیز ممکن است وجود داشته باشد که در شکل ۲ نشان داده نشده است. دلیل این امر آن است که این مقاومت‌ها معمولاً در خطوط هوایی بسیار ناچیز هستند.

همان‌طور که می‌دانیم، در مدل خط معادل تکفاز، مقادیر مختلط را برای امپدانس سری $$\boldsymbol{Z} = R + j X_{L}$$ و ادمیتانس شنت $$\boldsymbol{Y} = G + jB$$ خط داریم. اما در خطی با چند هادی، این مقادیر مختلط تکفاز با ماتریس‌های $$n \times n$$ جایگزین می‌شوند که در $$n$$ تعداد هادی‌های سیستم است.

برای مثال، در سیستم چهار هادی شکل ۲، ماتریس امپدانس $$4 \times 4$$ است:

$$\large [ Z ] = \left[ \begin {matrix} Z _ { a a } & Z _ { a b } & Z _ { a c } & | & Z _ { a e } \\ Z _ { b a } & Z _ { b b } & Z _ { b c } & | & Z _ { b e } \\ Z _ { c a } & Z _ { c b } & Z _ { c c } & | & Z _ { c e } \\ -- & -- & -- & | & -- \\ Z _ { e a } & Z _ { e b } & Z _ { e c } & | & Z _ { e e } \end {matrix} \right] \,$$

و ماتریس ادمیتانس $$4 \times 4$$ نیز به صورت زیر خواهد بود:

$$\large [ Y ] = \left[ \begin {matrix} Y _ { a a } & Y _ { a b } & Y _ { a c } & | & Y _ { a e } \\ Y _ { b a } & Y _ { b b } & Y _ { b c } & | & Y _ { b e } \\ Y _ { c a } & Y _ { c b } & Y _ { c c } & | & Y _ { c e } \\ -- & -- & -- & | & -- \\ Y _ { e a } & Y _ { e b } & Y _ { e c } & | & Y _ { e e } \end {matrix} \right] \,$$

از آنجایی که فرض می‌کنیم در شرایط عادی هستیم، پتانسیل سیم زمین صفر است (یعنی ولتاژی بین سیم زمین و نول وجود ندارد). می‌توانیم با استفاده از روش کاهش کرون (Kron Reduction) ماتریس‌های $$n \times n$$ امپدانس و ادمیتانس را به ماتریس‌هایی $$3 \times 3$$ کاهش دهیم:

$$\large [ Z' ] = \left[ \begin {matrix} Z _ { a a }' & Z _ { a b }' & Z _ { a c }' \\ Z _ { b a }' & Z _ { b b }' & Z _ { b c }' \\ Z _ { c a }' & Z _ { c b }' & Z _ { c c }' \end {matrix} \right] \,$$

$$\large [ Y' ] = \left[ \begin {matrix} Y _ { a a }' & Y _ { a b }' & Y _ { a c }' \\ Y _ { b a }' & Y _ { b b }' & Y _ { b c }' \\ Y _ { c a }' & Y _ { c b }' & Y _ { c c }' \end {matrix} \right] \,$$

این ماتریس‌ها را ماتریس‌های امپدانس و ادمیتانس کاهش یافته کرون می‌نامیم.

مدل $$\LARGE \pi$$ نامی

مدل خط $$\pi$$ نامی برای چند هادی که در شکل ۳ نشان داده شده است، مدلی حاصل از جایگزینی پارامترهای $$1 \times 1$$ مختلط در خط $$\pi$$ نامی تکفاز با ماتریس‌های $$n \times n$$ است.

$$\pi$$ نامی با چند هادی " width="346" height="167">

فیلم آموزش دینامیک سیستم های قدرت ۱ در فرادرس

کلیک کنید

اگر به مورد کاهش یافته کرون توجه کنیم، $$[Z ]$$ و $$[ Y ]$$ ماتریس‌هایی $$3 \times 3$$ هستند که در بخش قبل درباره آن‌ها توضیح دادیم. ولتاژها و جریان‌ها بردارهای مختلط $$3 \times 1$$ و به فرم زیر هستند:

$$\large \boldsymbol { V _ { s } } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s , a } } \\ \boldsymbol { V _ { s , b } } \\ \boldsymbol { V _ { s , c } } \end {matrix} \right] \, , \;\;\; \boldsymbol { I _ { s } } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { I _ { s , a } } \\ \boldsymbol { I _ { s , b } } \\ \boldsymbol { I _ { s , c } } \end {matrix} \right] \, , \;\;\; \boldsymbol { V _ { r } } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r , a } } \\ \boldsymbol { V _ { r , b } } \\ \boldsymbol { V _ { r , c } } \end {matrix} \right] \, , \;\;\; \boldsymbol { I _ { r } } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { I _ { r , a } } \\ \boldsymbol { I _ { r , b } } \\ \boldsymbol { I _ { r , c } } \end {matrix} \right] \,$$

پارامترهای ABCD خط $$\pi$$ نامی با چند هادی برابرند با:

$$\large \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s } } \\ \\ \boldsymbol { I _ { s } } \end {matrix} \right] = \left[ \begin {matrix} \left ( I + \frac { [ Z ] [ Y ] } { 2 } \right ) & [ Z ] \\ \\ Y \left ( I + \frac { [ Z ] [ Y ] } { 4 } \right ) & \left ( I + \frac { [ Z ] [ Y ] } { 2 } \right ) \end {matrix} \right] \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r } } \\ \\ \boldsymbol { I _ { r } } \end {matrix} \right] \,$$

مدل خط سه فاز با پارامتر توزیع شده

در مدل خط تکفاز، دیدیم که می‌توان نمایشی از مدل پارامتر توزیع شده خط را با استفاده از مدار معادل مشابه، مانند مدل $$\pi$$ نامی نمایش داد، اما این کار با پارامترهای اصلاح شده $$\boldsymbol{Z}$$ و $$\boldsymbol{Y}$$ خط امکان‌پذیر است. این مدل، مدل $$\pi$$ معادل نامیده می‌شود و پارامترهای اصلاح شده را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$$\large \boldsymbol { Z' } = \boldsymbol { Z } _ { c } \sinh ( \boldsymbol { \gamma } l )$$

$$\large \frac { \boldsymbol { Y' } } { 2 } = \frac { 1 } { \boldsymbol { Z } _ { c } } \tanh \left ( \frac { \boldsymbol { \gamma } l } { 2 } \right )$$

که در آن، $$\gamma = \sqrt{\boldsymbol{zy}}$$ ضریب انتشار بر حسب $$\text{m} ^ { -1}$$ است.

البته در خط با چند هادی، ضریب انتشار می‌تواند ماتریسی به فرم زیر باشد:

$$\large [\gamma] = \left ( [ Z ] [ Y ] \right ) ^ { \frac { 1 } { 2 } }$$

روش سرراستی برای محاسبه توابع سینوس هیپربولیک و تانژانت هیپربولیک یک ماتریس وجود ندارد. البته می‌توان آن‌ها را با استفاده از بسط تیلور باز کرد، اما باز هم محاسبات ساده نیست. این امر منجر به گسترش تبدیل مُدال (Modal Transformation) شده که یک روش برای دکوپله‌سازی فازهای ماتریس‌های امپدانس و ادمیتانس است.

پارامترهای ABCD خط با پارامتر توزیع شده با چند هادی (به فرم مدال) به صورت زیر هستند:

$$\large \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s }' } \\ \\ \boldsymbol { I _ { s }' } \end {matrix} \right] = \left[ \begin {matrix} \left[ \cosh { ( \gamma l ) } \right] & \left[ \boldsymbol { Z _ { c } } \sinh { ( \gamma l ) } \right] \\ \\ \left[ \frac { 1 } { \boldsymbol { Z _ { c } } } \sinh { ( \gamma l ) } \right] & \left[ \cosh { ( \gamma l ) }\right] \end {matrix} \right] \left[ \begin {matrix} \boldsymbol{ V _ { r }' } \\ \\ \boldsymbol { I _ { r }' } \end{matrix} \right]\,$$

که در آن، $$\boldsymbol{V_{s}'}$$، $$\boldsymbol{I_{s}'}$$، $$\boldsymbol{V_{r}'}$$ و $$\boldsymbol{I_{r}'}$$ به ترتیب، ولتاژها و جریان‌های مدال ابتدا و انتهای خط هستند:

$$\large \boldsymbol { V _ { s }' } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { s0 } } \\ \boldsymbol { V _ { s 1 } } \\ \boldsymbol { V _ { s 2 } } \end {matrix} \right] \, , \;\;\; \boldsymbol { I _ { s }' } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { I _ { s 0 } } \\ \boldsymbol { I _ { s 1 } } \\ \boldsymbol { I _ { s 2 } } \end {matrix} \right] \, , \;\;\; \boldsymbol { V _ { r }' } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { V _ { r 0 } } \\ \boldsymbol { V _ { r 1 } } \\ \boldsymbol { V _ { r 2 } } \end {matrix} \right] \, , \;\;\; \boldsymbol { I _ { r }' } = \left[ \begin {matrix} \boldsymbol { I _ { r 0 } } \\ \boldsymbol { I _ { r 1 } } \\ \boldsymbol { I _ { r 2 } } \end {matrix} \right] \,$$

پارامترهای ABCD، زیرماتریس‌هایی قطری به فرم زیر خواهند بود:

$$\large \left[ \cosh { ( \gamma l ) } \right] = \left[ \begin {matrix} \cosh { ( \gamma _ 0 x ) } & & \\ & \cosh { ( \gamma _ 1 x ) } & \\ & & \cosh { ( \gamma _ 2 x ) } \end {matrix} \right]$$

$$\large \left[ \boldsymbol { Z _ { c } } \sinh { ( \gamma l)} \right] = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol{Z_0} \sinh{(\gamma_0 x)} & & \\ & \boldsymbol{Z_1} \sinh{(\gamma_1 x)} & \\ & & \boldsymbol{Z_2} \sinh{(\gamma_2 x)} \end{matrix} \right]$$

$$\large \left[ \frac { 1 } { \boldsymbol { Z _ { c } } } \sinh { ( \gamma l ) } \right] = \left[ \begin{matrix} \frac { 1 } { \boldsymbol { Z _ 0 } } \sinh { ( \gamma _ 0 x ) } & & \\ & \frac { 1 } { \boldsymbol { Z _ 1 } } \sinh { ( \gamma _ 1 x ) } & \\ & & \frac { 1 } { \boldsymbol { Z _ 2 } } \sinh { ( \gamma _ 2 x ) } \end {matrix} \right]$$

اگر علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزش‌هایی که در ادامه آمده‌اند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• آموزش شبیه سازی سیستم های قدرت با PowerWorld Simulator
• سیستم پریونیت (Per-Unit) — از صفر تا صد
• نمودار تک خطی (Single Line Diagram) — به زبان ساده
• پخش بار در سیستم قدرت — مفاهیم و معادلات

^^