ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع دو متغیره – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس، نحوه بدست آوردن ماکزیمم و مینیمم توابع تک متغیره را توضیح دادیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا نوع دیگری از ماکزیمم و مینیمم تحت عنوان ماکزیمم و مینیمم نسبی را در توابع چندمتغیره توضیح دهیم. البته به منظور درک بهتر پیشنهاد می‌شود مطالب توابع چند متغیره، ماکزیمم و مینیمم و نقطه بحرانی در ریاضیات را مطالعه فرمایید. هم‌چنین نماد‌های به کار رفته در محاسبه مشتقات جزئی، در این مطلب مشتقات جزئی توضیح داده شده‌اند.

ماکزیمم و مینیمم نسبی

تعریف ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع دومتغیره دقیقا مشابه با تعریف در تابع تک‌متغیره است. توجه داشته باشید که معمولا از واژه اکسترمم به منظور اشاره به هر دو مفهوم ماکزیمم و مینیمم استفاده می‌شود.

تعریف:

• تابع $$f ( x )$$ دارای مینیمم نسبی در نقطه $$\left ( { a , b } \right )$$ است، اگر به ازای تمامی مقادیر $$( x , y )$$ قرار گرفته در نزدیکی این نقطه، نامساوی $$f \left ( { x , y } \right ) \ge f \left ( { a , b } \right )$$ برقرار باشد.
• تابع $$f ( x )$$ دارای ماکزیمم نسبی در نقطه $$\left ( { a , b } \right )$$ است، اگر به ازای تمامی مقادیر $$( x , y )$$ قرار گرفته در نزدیکی این نقطه، نامساوی $$f \left ( { x , y } \right ) \le f \left ( { a , b } \right )$$ برقرار باشد.

توجه داشته باشید که تعریف فوق این نکته را بیان می‌کند که مینیمم یا ماکزیمم نسبی، الزاما کوچکترین یا بزرگ‌ترین مقدار یک تابع در بازه‌ای مشخص نیستند. در حقیقت این تعریف‌ها میزان بزرگ‌تر بودن یا کوچک‌تر بودن تابع  را در بازه‌ای نزدیک به $$( a , b )$$ بررسی می‌کنند.

همچون تابع تک متغیره در حالت دو متغیره نیز می‌توان نقطه بحرانی را با استفاده از مفهوم اکسترمم نسبی بدست آورد. در ادامه نقطه بحرانی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

تعریف:

نقطه $$( a , b )$$، نقطه‌ای بحرانی از تابع $$f ( x )$$ بوده که یکی از دو شرط زیر در آن صدق کند.

• $$\nabla f \left ( { a , b } \right ) = \overrightarrow 0$$ ( این شرط معادل $${ f _ x } \left ( { a , b } \right ) = 0$$ و $${ f _ y } \left ( { a , b } \right ) = 0$$ است).
• $${ f _ x } \left ( { a , b } \right)$$ یا $${ f _ y } \left ( { a , b } \right )$$ وجود نداشته باشند.

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه اول و دوم – از درس تا کنکور در فرادرس

کلیک کنید

به منظور مشاهده معادل تعریف فوق از $$\nabla f = \overrightarrow 0$$ استفاده می‌کنیم. در نتیجه با توجه به تعریف فوق می‌توان گفت:

$$\large \begin {align*} \nabla f \left ( { a , b } \right ) & = \overrightarrow 0 \\ \left \langle { { f _ x } \left ( { a , b } \right ) , { f _ y } \left ( { a , b } \right)} \right \rangle & = \left \langle { 0 , 0 } \right \rangle \end {align*}$$

بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که مشتقات جهتی در هر دو جهت صفر هستند ( $${ f _ x } \left ( { a , b } \right ) = 0$$ و $${ f _ y } \left ( { a , b } \right ) = 0$$ ). در حقیقت معمولا از تعریف نقطه بحرانی به منظور ارزیابی نقاط اکسترمم نسبی استفاده می‌شود. هم‌چنین توجه داشته باشید هر دو مشتق اول باید در نقطه $$( a , b )$$ صفر باشند. در حقیقت اگر حتی یکی از مشتقات نیز صفر نباشد، نمی‌توان گفت نقطه مذکور، نقطه بحرانی است. حال می‌توان گفت که مشتق جزئی ارتباطی بین اکسترمم و نقاط بحرانی برقرار می‌کند.

نکته ۱: اگر $$\left ( { a , b } \right )$$، اکسترمم نسبی تابع $$f \left ( { x , y } \right )$$ بوده و مشتق اول این تابع نیز در $$\left ( { a , b } \right )$$ موجود باشد، در این صورت نقطه $$\left ( { a , b } \right )$$، نقطه‌ای بحرانی برای تابع $$f \left ( { x , y } \right )$$ محسوب شده و گرادیان تابع نیز در این نقطه صفر خواهد بود ($$\nabla f \left ( { a , b } \right ) = \overrightarrow 0$$).

توجه داشته باشید که نکته فوق بیان نمی‌کند که تمامی نقاط بحرانی، اکسترمم هستند. این نکته تنها می‌گوید که اکسترمم‌های نسبی یک تابع، همان‌ نقاط بحرانی تابع هستند. به منظور مثال زدن در مورد این دو جمله، تابع دو متغیره $$f ( x , y )$$ را که در ادامه آمده، در نظر بگیرید.

$$f \left ( { x , y } \right ) = x y$$

مشتقات این تابع در راستاهای $$x , y$$ برابرند با:

$$\large { f _ x } \left ( { x , y } \right ) = y \hspace {0.3in} , \hspace {0.3in} { f _ y } \left ( { x , y } \right ) = x$$

تنها نقطه‌ای که هر دو عبارت فوق را در یک زمان صفر خواهد کرد، $$( 0 , 0 )$$ است. از این رو این نقطه، نقطه‌ای بحرانی برای این تابع محسوب می‌شود. در ادامه شکل این رویه نشان داده شده است.

توجه داشته باشید که محور‌ها در جهت‌های استانداردشان قرار ندارند. البته می‌توان نحوه تغییرات رویه را در مرکز مشاهده کرد. همان‌طور که مشاهده می‌کنید اگر در جهتی حرکت کنیم که هر دو علامت $$x$$ و $$y$$ مشابه باشند، در این صورت رویه به سمت بالا حرکت کرده یا بهتر است بگوییم $$f$$ افزایش خواهد یافت. این در حالی است که اگر در جهتی حرکت کنیم که تغییراتِ $$x , y$$ مخالف هم باشند، در این صورت مقدار $$f$$ نیز کاهش خواهد یافت. از این رو مرکز را نمی‌توان به عنوان یک اکسترمم نسبی در نظر گرفت. به چنین نقاطی، زینی گفته می‌شود.

نکته ۲: فرض کنید $$\left ( { a , b } \right )$$ نقطه‌ای بحرانی برای تابع $$f \left ( { x , y } \right )$$ محسوب شده که در ناحیه‌ای اطراف $$( a , b )$$ پیوسته است. در این صورت عبارتِ $$D$$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.

$$\large D = D \left ( { a , b } \right ) = { f _ { x \, x } } \left ( { a , b } \right ) { f _ { y \, y } } \left ( { a , b } \right ) - { \left[ { { f _ { x \,y } } \left ( { a , b } \right ) } \right] ^ 2 }$$

در این صورت نوع نقاط با توجه به علامت $$D$$ و همان‌طور که در ادامه آمده تفسیر می‌شوند:

1. اگر $$D > 0$$ و $${ f _ { x \, x } } \left ( { a , b } \right ) > 0$$ در این صورت $$( a , b )$$ یک مینیمم نسبی است.
2. اگر $$D > 0$$ و $${ f _ { x \, x } } \left ( { a , b } \right ) < 0$$ در این صورت $$( a , b )$$ به عنوان ماکزیممی نسبی محسوب می‌شود.
3. اگر $$D < 0$$ باشد، در این صورت نقطه $$( a , b )$$، زینی خواهد بود.
4. اگر $$D = 0$$ باشد، در این صورت نقطه $$( a , b )$$، هریک از ۳ حالت فوق را ممکن است داشته باشد.

توجه داشته باشید در حالتی که $$D > 0$$ باشد، در این صورت علامت هر دو عبارتِ $$f _ { x x }$$ و $$f _ { y y }$$ مشابه است. از این رو در حالت‌های اول و دوم می‌توان تنها یکی از عبارت‌های $$f _ { x x }$$ و $$f _ { y y }$$ را محاسبه کرده و علامت دیگری را مشابه با آن در نظر گرفت. در ادامه در مورد هریک از حالات فوق مثال‌هایی ارائه شده که پیشنهاد می‌شود آن‌ها را مطالعه فرمایید.

مثال ۱: نقاط بحرانی و ماکزیمم و مینیمم نسبی

تمامی نقاط بحرانی تابع زیر و ماکزیمم و مینیمم نسبی آن را بیابید.

$$\large f \left ( { x , y } \right ) = 4 + { x ^ 3 } + { y ^ 3 } - 3 x y$$

در ابتدا باید تمامی مشتقات اول و دوم را همان‌طور که در ادامه آمده بیابیم.

$$\begin {gather*} { f _ x } = 3 { x ^ 2 } - 3 y \hspace {0.2in} , \hspace {0.2in} { f _ y } = 3 { y ^ 2 } - 3 x \\\\ { f _ { x \, x } } = 6 x \hspace {0.2in} , \hspace {0.2in} { f _ { y \,y} } = 6 y \hspace {0.2in} , \hspace {0.2in} { f _ { x \, y } } = - 3 \end {gather*}$$

در گام دوم باید نقاط بحرانی یافته شوند. بدین منظور مشتقات مرتبه اول را همان‌طور که در ادامه آمده، برابر با صفر قرار می‌دهیم.

$$\large \begin {align*} { f _ x } & = 3 { x ^ 2 } - 3 y = 0 \\ { f _ y } & = 3 { y ^ 2 } - 3 x = 0 \end {align*}$$

عبارت فوق نشان‌دهنده سیستمی غیرخطی است؛ از این رو ممکن است حل آن دشوار باشد. البته در این مسئله حل سیستم مشکل نیست. با ترکیب دو معادله داریم:

$$\large 3 { x ^ 2 } - 3 y = 0 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} y = { x ^ 2 }$$

$$\large 3 { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ 2 } - 3 x = 3 x \left ( { { x ^ 3 } - 1 } \right ) = 0$$

در معادله آخر مقادیر $$x = 0 , 1$$ بدست می‌آیند. از این رو نهایتا مقادیر ریشه‌ها برابر می‌شوند با:

$$\large \begin {align*} x = 0 : & \hspace {0.25in} y = { 0 ^ 2 } = 0 \hspace {0.1in} & \Rightarrow & \hspace {0.5in} \left ( { 0 , 0 } \right ) \\ x = 1: & \hspace{0.25in} y = {1^2} = 1 \hspace {0.1in} & \Rightarrow & \hspace{0.5in} \left ( { 1 , 1 } \right ) \end {align*}$$

بنابراین برای این صفحه، دو نقطه بحرانی وجود دارد. در مرحله بعدی به منظور تعیین نوع نقاط، باید $$D$$ را بدست آورد.

$$\large \begin {align*} D \left ( { x , y } \right ) & = { f _ { x \,x } } \left ( { x , y } \right ) { f _ { y \, y } } \left ( { x , y } \right ) - { \left[ { { f _ { x \, y } } \left ( { x , y } \right ) } \right] ^ 2 } \\ & = \left ( { 6 x } \right ) \left ( { 6 y } \right ) - { \left ( { - 3 } \right ) ^ 2 } \\ & = 36 x y - 9 \end {align*}$$

مقدار $$D$$ برای نقطه $$( 0 , 0 )$$ برابر است با:

$$D = D \left ( { 0 , 0 } \right ) = - 9 < 0$$

با توجه به منفی بودن نقطه $$D$$ می‌توان دریافت که نقطه مذکور، زینی است. برای نقطه دوم نیز مقدار $$D$$ برابر است با:

$$\large D = D \left ( { 1 , 1 } \right ) = 3 6 - 9 = 27 > 0 \hspace {0.5in} { f _ { x \, x } } \left ( { 1 , 1 } \right ) = 6 > 0$$

با توجه به مثبت بودن مقدار $$D$$ و $$f _ { x x }$$ می‌توان دریافت که این نقطه نیز مینیمم نسبی محسوب می‌شود. در ادامه شکل رویه نشان داده شده است.

مثال ۲: نقاط بحرانی و ماکزیمم و مینیمم نسبی

نقاط بحرانی و ماکزیمم و مینیمم نسبی را برای تابع $$f \left ( { x , y } \right ) = 3 { x ^ 2 } y + { y ^ 3 } - 3 { x ^ 2 } - 3 { y ^ 2 } + 2$$ بیابید. همانند مثال قبل در اولین گام مقادیر مشتقات اول و دوم را می‌یابیم.

$$\large \begin{gather*} { f _ x } = 6 x y - 6 x \hspace{0.2in} , \hspace{0.2in} { f _ y } = 3 { x ^ 2 } + 3 { y ^ 2 } - 6 y \\\\ { f _ { x \,x } } = 6y - 6 \hspace{0.2in} , \hspace{0.2in} { f _ { y \, y } } = 6 y - 6 \hspace{0.2in} , \hspace{0.2in} { f_ { x \, y } } = 6 x \end{gather*}$$

فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم علوم انسانی در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین معادلاتی که باید حل شوند، مطابق با عبارات زیر بدست می‌آیند.

$$\large \begin {align*} 6 x y - 6 x & = 0 \\ 3 { x ^ 2 } + 3 {y ^ 2 } - 6 y & = 0 \end {align*}$$

معادله اول را به صورت زیر بیان می‌کنیم:

$$\large 6 x \left ( { y - 1 } \right ) = 0$$

معادله فوق دو مقدار $$x = 0$$ و $$y = 1$$ را به ما می‌دهد. حال باید هریک از پاسخ‌های فوق را به صورت مجزا در معادله دوم قرار داده و نقاط بحرانی را بدست آورد. با فرض $$x = 0$$ و قرار دادن آن در معادله دوم مقادیر $$y$$ برابرند با:

$$\large 3 { y ^ 2 } - 6 y = 3 y \left ( { y - 2 } \right ) = 0 \hspace {0.25in} \Rightarrow \hspace {0.25in} y = 0,\,\,y = 2$$

هم‌چنین با فرض $$y = 1$$، مقادیر $$x$$ نیز برابر می‌شوند با:

$$\large 3 { x ^ 2 } - 3 = 3 \left ( { { x ^ 2 } - 1 } \right ) = 0 \hspace {0.5in} \Rightarrow \hspace {0.25in} x = - 1 ,\, \, x = 1$$

از این رو اگر مقدار $$x = 0$$ در نظر گرفته شود، در این صورت نقاط بحرانی برابرند با:

$$\large \left ( { 0 , 0 } \right ) \hspace {0.2in} , \hspace {0.2in} \left ( { 0 , 2 } \right )$$

هم‌چنین اگر $$y = 1$$ در نظر گرفته شود، نقاط بحرانی، برابر با زوج‌های زیر بدست می‌آیند.

$$\large \left ( { 1 , 1 } \right ) \hspace{0.2in} , \hspace{0.2in} \left ( { - 1 , 1 } \right )$$

در گام بعد مقادیر $$D$$ را به ازای هریک از نقاط بحرانی بدست آمده، محاسبه می‌کنیم. در ابتدا باید بگوییم شکل کلی محاسبه $$D$$ برابر است با:

$$\large D \left ( { x , y } \right ) = \left ( { 6 y - 6 } \right ) \left ( { 6 y - 6 } \right) - {\left ( { 6 x } \right ) ^ 2 } = { \left ( { 6 y - 6 } \right ) ^ 2 } - 36 { x ^ 2 }$$

بنابراین $$D$$ به ازای هریک از نقاط، برابر با مقادیر زیر بدست می‌آیند.

$$\large \begin {align*} & ( 0 , 0 ): \ \ D = D \left ( { 0 ,0 } \right ) = 3 6 > 0 \hspace {0.5in} { f_ { x \,x } } \left ( { 0 , 0 } \right ) = - 6 < 0 \\ & ( 0 , 2 ): \ \ D = D \left ( { 0 , 2 } \right ) = 36 > 0 \hspace {0.5in} { f _ { x \, x } } \left ( { 0 , 2 } \right ) = 6 > 0 \\ & ( 1 , 1 ): \ \ D = D\left( {1,1} \right) = - 36 < 0 \\ & ( - 1 , 1 ): \ \ D = D \left ( { - 1 , 1 } \right ) = - 36 < 0 \end {align*}$$

همان‌طور که در بالا نیز مشاهده می‌کنید در دو حالت آخر مقادیر $$f _ { x x }$$ و $$f _ { y y }$$ محاسبه نشده‌اند. دلیل این امر منفی بودن $$D$$ در این حالات است. وضعیت نقاط نیز در ادامه توضیح داده شده‌اند (توجه داشته باشید که نقاط زینی با $$Saddle$$، نقاط ماکزیمم نسبی با $$Max$$ و نقاط مینیمم نسبی با $$Min$$ نام‌گذاری شده‌اند).

$$ \large \begin {align*} & \left ( { 0 , 0 } \right ) & & :\hspace {0.5in} { \mbox {Max} } \\ & \left( { 0 , 2 } \right ) & & : \hspace {0.5in} { \mbox {Min}}\\ & \left( {1,1} \right) & & :\hspace{0.5in} { \mbox {Saddle}} \\ & \left( { - 1,1} \right) & & :\hspace{0.5in} { \mbox {Saddle} } \end{align*}$$

هم‌چنین شکل رویه به صورت زیر است.

مثال ۳: نقاط بحرانی و ماکزیمم و مینیمم نسبی

تمامی نقاط بحرانی تابع دو متغیره زیر و ماکزیمم و مینیمم نسبی آن را بدست آورید.

$$\large f \left ( { x , y } \right ) = 3 { y ^ 3 } - { x ^ 2 } { y ^ 2 } + 8 { y ^ 2 } + 4 { x ^ 2 } - 20 y$$

در اولین گام مشتقات مراتب اول و دوم را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

$$\large \begin {array} { c } { f _ x } = - 2 x { y ^ 2 } + 8 x \hspace {0.75in} { f _ y } = 9 { y ^ 2 } - 2 { x ^2 } y + 16 y - 20 \\ { f _ { x \, x } } = - 2 { y ^ 2 } + 8 \hspace {0.5in} { f _ { x \, y } } = - 4 x y \hspace {0.5in} { f _ { y \, y } } = 18 y - 2 { x ^ 2 } + 16 \end {array}$$

در گام بعد به منظور بدست آوردن نقاط بحرانی سیستم معادلات زیر را حل می‌کنیم.

$$ \large \begin {align*} { f _ x } & = 0 : \,\,\, - 2 x { y ^ 2 } + 8 x = 2 x \left ( { 4 - { y ^ 2 } } \right ) = 0 \hspace {0.25in} \to \hspace {0.25in} y = \pm 2 \,\,\,{\mbox { or } } \,\,\,x = 0 \\ { f _ y } & = 0 : \,\,\,\,9 { y ^ 2 } - 2 { x ^ 2 } y + 16 y - 20 = 0 \end {align*} $$

همان‌طور که در بالا نیز نشان داده شده، معادله سه مقدار مختلف را برای مقادیر $$x$$ و $$y$$ به ما می‌دهد. با قرار دادن هریک از این حالات در معادله دوم، نقاط زیر به عنوان نقاط بحرانی بدست می‌آیند.

$$ \large y = - 2 : 4 { x ^ 2 } - 16 = 0 \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,x = \pm 2\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( { 2 , - 2 } \right ) \,\,\,\, { \mbox {and}} \,\,\, \left ( { - 2 , - 2 } \right ) $$

$$ \large y = 2 : - 4 { x ^ 2 } + 48 = 0 \,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,x = \pm 2 \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left ( { 2 \sqrt 3 , 2 } \right ) \,\,\,\, { \mbox {and} } \,\,\,\left ( { - 2\sqrt 3 , 2 } \right ) $$

$$ \mbox{} \\ \\ \large \begin {align*} x & = 0 : 9 { y ^ 2 } + 16 y - 20 = 0 \, \Rightarrow \, y = \frac{{ - 16 \pm \sqrt {976} } } { { 18 } } \, \\ & \Rightarrow y= \, \left( {0,\frac{{ - 16 - \sqrt {976} } } { { 18 } } } \right) \, {\mbox{and} } \, \left( {0,\frac { { - 16 + \sqrt {976} } } { { 18 } } } \right ) \end {align*} $$

نهایتا ۶ نقطه زیر به عنوان نقاط بحرانی بدست می‌آیند.

$$\large \left ( { - 2 , - 2 } \right ) ,\,\, \left ( { 2 , - 2 } \right ) ,\,\,\left ( { 2 \sqrt 3 , 2 } \right ) , \,\,\left ( { - 2 \sqrt 3 ,2 } \right ) ,\,\,\,\left ( { 0 , \frac { { - 16 - \sqrt { 976 } } } { { 18 } } } \right ) ,\,\,\, \left ( { 0 , \frac { { - 16 + \sqrt { 976 } } } { { 18 } } } \right )$$

حال با بدست آوردن مقدار $$D$$ در هریک از این نقاط، وضعیت آن‌ها مشخص خواهد شد. عبارت کلی به منظور محاسبه $$D$$ به صورت زیر است.

$$\large \begin {align*} D \left ( { x , y } \right ) & = { f _ { x \,x } } { f _ { y \, y } } - { \left[ { { f _ { x \, y } } } \right] ^ 2 } \\ & = \left[ { - 2 { y ^ 2 } + 8 } \right] \left [ { 18 y - 2 { x ^ 2 } + 16 } \right] - { \left[ { - 4 x y } \right] ^ 2 } \\ & = \left[ { - 2 { y ^ 2 } + 8 } \right] \left[ { 18 y - 2 { x ^ 2 } + 16 } \right] - 16 { x ^ 2 }{ y ^ 2 } \end {align*}$$

در نتیجه مقادیر $$D$$ نیز برابرند با:

$$ \begin{align*} & \left( { - 2, - 2} \right) & : \hspace{0.05in} & D\left( { - 2, - 2} \right) = - 256 < 0 & \hspace{0.05in} & {\mbox{S}}\\ & \left( {2, - 2} \right) & : \hspace{0.05in} & D\left( {2, - 2} \right) = - 256 < 0 & \hspace{0.05in} & {\mbox{S}}\\ & \left( { - 2\sqrt 3 ,2} \right) & : \hspace{0.05in} & D\left( { - 2\sqrt 3 ,2} \right) = - 768 < 0 & \hspace{0.05in} & {\mbox{S}}\\ & \left( {2\sqrt 3 ,2} \right) & : \hspace{0.05in} & D\left( {2\sqrt 3 ,2} \right) = - 768 < 0 & \hspace{0.05in} & {\mbox{S}}\\ & \left( {0,\frac{{ - 16 - \sqrt {976} }}{{18}}} \right) & : \hspace{0.05in} & D\left( {0,\frac{{ - 16 - \sqrt {976} } } { { 18 } } } \right) = 180.4 > 0\,{f_{x\,x}}\left( {0,\frac{{ - 16 - \sqrt {976} } } { { 18 } } } \right) = - 5.8 < 0& \hspace{0.05in} & {\mbox{ Ma}}\\ & \left ( {0,\frac { { - 16 + \sqrt {976 } } } { { 18 } } } \right) & : \hspace {0.05in} & D \left ( {0,\frac { { - 16 + \sqrt {976} } } { { 18 } } } \right) = 205.1 > 0\,{f_{x\,x}}\left( {0,\frac { { - 16 + \sqrt {976} }}{ { 18 } } } \right) = 6.6 > 0 & \hspace {0.05in} & { \mbox{Mi } } \end{align*}$$

توجه داشته باشید در مواردی که مقادیر $$D$$ مثبت هستند، مقادیر $$f _ { x x }$$ نیز باید به منظور بررسی نوع نقاط چک شوند. در این مطلب مفهوم ماکزیمم و مینیمم نسبی در توابع دو متغیره توضیح داده شده و مثال‌هایی نیز از آن‌ ارائه شد. با این حال خوب است بدانید که این مفهوم را برای توابعی با متغیر‌های بیشتر نیز می‌توان بیان کرد. که در مطالب آینده توضیح خواهیم داد.