سینوس و کسینوس جمع دو زاویه – به زبان ساده

از فرمول‌های پرکابرد در مثلثات، رابطه سینوس و کسینوس جمع دو زاویه است. معمولا این دو رابطه به‌صورت هندسی اثبات شده و دیگر روابط مثلثاتی نیز با استفاده از این دو رابطه بدست می‌آیند.

سینوس و کسینوس جمع دو زاویه

در این مطلب قصد داریم تا رابطه‌ای را اثبات کنیم که با استفاده از آن می‌توان سینوس و کسینوسِ مجموع دو زاویه را بدست آورد. در ادامه رابطه مربوط به سینوس و کسینوس جمعِ دو زاویه ارائه شده‌اند.

$$\large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta$$
$$\large \cos ( \alpha + \beta) = \cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta$$

به منظور اثبات روابط فوق، در ابتدا شکل زیر را در نظر بگیرید.

با توجه به مثلث $$A E F$$، می‌توان سینوس و کسینوسِ $$\beta$$ را به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\large \cos \beta = \dfrac { \overline { A E } } { 1 } ; \,\, \overline { A E } = \cos \beta$$
$$\large \sin \beta = \dfrac { \overline { E F } } { 1 } ; \,\, \overline { E F } = \sin \beta$$

با در نظر گرفتن مثلثِ $$E D F$$ نیز می‌توان سینوس زاویه $$\alpha$$ را مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

$$\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \overline { E F } }$$
$$\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { D E } } { \sin \beta }$$

در نتیجه طول $$D E$$ را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد:

$$\large \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta$$

هم‌چنین مقادیر کسینوس $$\alpha$$ نیز برابرند با:

$$\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \overline { E F } }$$
$$\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { D F } } { \sin \beta }$$

در نتیجه طول‌های $$D F$$ و $$B C$$ برابرند با:

$$\large \overline { D F } = \cos \alpha \, \sin \beta$$
$$\large \overline { B C } = \overline { D E } = \sin \alpha \, \sin \beta$$

با توجه به مثلثِ $$A C E$$ نیز می‌توان سینوس $$\alpha$$ را به روشی متفاوت، همان‌طور که در ادامه آمده بازنویسی کرد:

$$\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \overline { A E } }$$
$$\large \sin \alpha = \dfrac { \overline { C E } } { \cos \beta }$$

در نتیجه طولِ $$C E$$ برابر است با:

$$\large \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta$$

با توجه به مثلثِ $$A C E$$، کسینوس زاویه $$\alpha$$ نیز هم‌چون سینوس، به‌صورت زیر قابل بازنویسی است.

$$\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \overline { A E } }$$
$$\large \cos \alpha = \dfrac { \overline { A C } } { \cos \beta }$$

نهایتا طول‌های $$A C$$ و $$B D$$ برابر با عبارات زیر بدست خواهند آمد.

$$\large \overline { A C } = \cos \alpha \, \cos \beta$$
$$\large \overline { B D } = \overline { C E } = \sin \alpha \, \cos \beta$$

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین در فرادرس

کلیک کنید

در شکل زیر طول‌ها بر حسب مقادیر مثلثاتی زوایا نشان داده شده‌اند.

در قدم آخر، مثلثِ $$A B F$$ را در نظر بگیرید. با توجه به این مثلث، سینوس زاویه $$\alpha + \beta$$ برابر می‌شود با:

$$\large \sin ( \alpha + \beta ) = \overline { B D } + \overline { D F }$$

حال کافی است به‌جای طول‌های $$B D$$ و $$D F$$، رابطه بدست آمده برای آن‌ها را جایگزین کنیم. در نتیجه نهایتا سینوس مجموعِ دو زاویه، برابر با عبارت زیر بدست خواهد آمد.

$$\boxed {\large \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta }$$

با توجه به طول‌های محاسبه شده، مقدار کسینوس مجموع دو زاویه نیز برابر است با:

$$\boxed { \large \cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta }$$

با بدست آمدن سینوس و کسینوس مجموع زوایا، تانژانت $$\alpha + \beta$$ نیز به‌صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin ( \alpha + \beta ) } { \cos ( \alpha + \beta ) }$$

$$\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta + \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta }$$

$$\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha \, \cos \beta }{ \cos \alpha \, \cos \beta } + \dfrac { \cos \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } } { \dfrac { \cos \alpha \, \cos \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } - \dfrac { \sin \alpha \, \sin \beta } { \cos \alpha \, \cos \beta } }$$

$$\large \tan (\alpha + \beta) = \dfrac { \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} + \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } } { 1 - \dfrac { \sin \alpha } { \cos \alpha} \, \dfrac { \sin \beta } { \cos \beta } }$$

در نتیجه نهایتا مقدار تانژانت مجموع دو زاویه برابر می‌شود با:

$$\large \tan ( \alpha + \beta ) = \dfrac { \tan \alpha + \tan \beta } { 1 - \tan \alpha \, \tan \beta }$$

حال به‌منظور بدست آوردن رابطه مربوط به اختلاف دو زاویه، کافی است تا $$\sin ( \alpha + \beta )$$ را به‌صورت زیر بیان کنیم:

$$\large \sin [ \, \alpha + ( - \beta ) \, ] = \sin \alpha \, \cos ( - \beta ) + \cos \alpha \, \sin ( - \beta )$$

توجه داشته باشید که رابطه زیر نیز برای سینوس منفیِ یک زاویه برقرار است.

$$\large \sin ( - \beta ) = - \sin ( \beta )$$

بنابراین با توجه به دو رابطه فوق، سینوس اختلاف دو زاویه مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\large \sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \, \cos \beta - \cos \alpha \, \sin \beta$$

به همین ترتیب کسینوس نیز مطابق با رابطه زیر بدست می‌آید.

$$\large \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \, \cos \beta + \sin \alpha \, \sin \beta$$

نهایتا تانژانتِ اختلافِ دو زاویه نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large \tan [ \, \alpha + ( - \beta ) \, ] = \dfrac { \tan \alpha + \tan ( -\beta ) } { 1 - \tan \alpha \, \tan ( - \beta ) }$$

$$\large \tan ( \alpha - \beta ) = \dfrac { \tan \alpha - \tan \beta } { 1 + \tan \alpha \, \tan \beta }$$

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• مجموعه‌ آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• سینوس، کسینوس و تانژانت یک زاویه -- به زبان ساده
• بردار چیست -- به زبان ساده
• قانون سینوس‌‌ها (Law of Sines) — به زبان ساده

^^