در آموزشهای قبلی مجله فرادرس درباره سری فوریه و تبدیل فوریه صحبت کردیم. در این آموزش به بررسی سری فوریه مختلط خواهیم پرداخت.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
معادله اویلر
معادله اویلر ، یک تابع نمایی را به جمع توابع و سینوسی و کسینوسی تبدیل می‌کند:
e i θ = c o s θ + i s i n θ \Large e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta e i θ = cos θ + i s in θ
که در آن، i i i i 2 = − 1 i^2 =-1 i 2 = − 1
c o s θ = e i θ + e − i θ 2 = 1 2 e i θ + 1 2 e − i θ \Large cos \theta = \frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}=\frac{1}{2} e^{i \theta} + \frac{1}{2} e^{-i \theta} cos θ = 2 e i θ + e − i θ = 2 1 e i θ + 2 1 e − i θ
s i n θ = e i θ − e − i θ 2 i = − 1 2 i e i θ + 1 2 i e − i θ \Large sin \theta = \frac{e^{i \theta }- e^{-i \theta}}{2i} = -\frac{1}{2} ie^{i \theta} + \frac{1}{2} i e^{-i \theta} s in θ = 2 i e i θ − e − i θ = − 2 1 i e i θ + 2 1 i e − i θ
اگر از e i θ e^{i \theta} e i θ c o s θ cos \theta cos θ s i n θ sin \theta s in θ
استفاده از توابع s i n θ sin \theta s in θ c o s θ cos \theta cos θ e i θ e^{i \theta} e i θ c o s ( θ + ϕ ) = c o s θ c o s ϕ − s i n θ s i n ϕ cos (\theta + \phi) = cos \theta cos \phi - sin \theta sin \phi cos ( θ + ϕ ) = cos θ cos ϕ − s in θ s in ϕ e i ( θ + ϕ ) = e i θ e i ϕ e^{i(\theta + \phi)} = e^{i \theta} e^{i \phi} e i ( θ + ϕ ) = e i θ e i ϕ c o s θ c o s ϕ − s i n θ s i n ϕ = c o s ( θ + ϕ ) cos \theta cos \phi - sin \theta sin \phi = cos (\theta + \phi) cos θ cos ϕ − s in θ s in ϕ = cos ( θ + ϕ ) e i θ e i ϕ = e i ( θ + ϕ ) e^{i \theta} e^{i \phi} = e^{i(\theta + \phi)} e i θ e i ϕ = e i ( θ + ϕ ) d d θ c o s θ = − s i n θ \frac{d}{d \theta} cos \theta = -sin \theta d θ d cos θ = − s in θ d d θ e i θ = i e i θ \frac{d}{d \theta} e^{i \theta} = i e^{i \theta} d θ d e i θ = i e i θ
سری فوریه مختلط
سری مختلط فوریه نیز با استفاده از e i θ e^{i \theta} e i θ f ( x ) f(x) f ( x ) − l ≤ x ≤ l -l \leq x \leq l − l ≤ x ≤ l T = 2 l T=2l T = 2 l
f ( x ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( π n x l ) + b n sin ( π n x l ) ) \Large f(x)= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty \bigl( a_n\cos (\frac{\pi nx}{l})+b_n \sin (\frac{\pi nx}{l}) \bigr) f ( x ) = 2 1 a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( a n cos ( l πn x ) + b n sin ( l πn x ) )
حال اگر از روابط مربوط به تبدیل سینوس و کسینوس استفاده کنیم، خواهیم داشت:
cos ( π n x l ) = 1 2 e i π n x l + 1 2 e − i π n x l sin ( π n x l ) = 1 2 i e i π n x l − 1 2 i e − i π n x l \Large \begin{align*} &\cos(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{1}{2}e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\\ &\sin(\frac{\pi n x}{l})= \frac{1}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{1}{2i}e^{-\frac{i\pi n x}{l}} \end{align*} cos ( l πn x ) = 2 1 e l iπn x + 2 1 e − l iπn x sin ( l πn x ) = 2 i 1 e l iπn x − 2 i 1 e − l iπn x
پس می‌توان تابع f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 e i π n x l + a n 2 e − i π n x l + b n 2 i e i π n x l − b n 2 i e i π n x l ) \Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\frac{a_n}{2}e^{\frac{-i\pi n x}{l}}+\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}-\frac{b_n}{2i}e^{\frac{i\pi n x}{l}}\bigr) f ( x ) = 2 a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( 2 a n e l iπn x + 2 a n e l − iπn x + 2 i b n e l iπn x − 2 i b n e l iπn x )
بنابراین:
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( ( a n 2 − i b n 2 ) e i π n x l + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + i b n 2 ) e − i π n x l ) = ∑ − ∞ ∞ c n e i π n x l \Large f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \bigl( \bigl( \frac{a_n}{2}-\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{i\pi n x}{l}}+\sum_{n=1}^\infty \bigl( \frac{a_n}{2}+\frac{ib_n}{2}\bigr)e^{\frac{-i\pi n x}{l}}\bigr)= \sum_{-\infty} ^\infty c_n e^{\frac{i\pi n x }{l}} f ( x ) = 2 a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( ( 2 a n − 2 i b n ) e l iπn x + n = 1 ∑ ∞ ( 2 a n + 2 i b n ) e l − iπn x ) = − ∞ ∑ ∞ c n e l iπn x (۱)
ضرایب سری فوریه مختلط
ضرایب c n c_n c n
c 0 = a 0 2 , c n = a n – i b n 2 , c – n = a n + i b n 2 . \Large {{c_0} = \frac{{{a_0}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{{c_n} = \frac{{{a_n} – i{b_n}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{{c_{ – n}} = \frac{{{a_n} + i{b_n}}}{2}.} c 0 = 2 a 0 , c n = 2 a n – i b n , c – n = 2 a n + i b n .
این ضرایب از طریق رابطه زیر محاسبه می‌شوند:
c n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e − i π n x l d x n = … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … . \Large c_n= \frac{1}{2l}\int_{-l}^{l} f(x)e^{-\frac{i\pi n x}{l}}\,dx \qquad n=\ldots,-2, -1, 0,1,2,\ldots. c n = 2 l 1 ∫ − l l f ( x ) e − l iπn x d x n = … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … . معادله (۲)
رابطه پارسوال برای سری فوریه مختلط به صورت زیر خواهد بود:
2 l ∑ n = − ∞ ∞ ∣ c n ∣ 2 = ∫ − l l ∣ f ( x ) ∣ 2 d x . \Large 2l\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2= \int_{-l}^{l} |f(x)|^2\,dx. 2 l n = − ∞ ∑ ∞ ∣ c n ∣ 2 = ∫ − l l ∣ f ( x ) ∣ 2 d x . معادله (۳)
در ادامه با حل چند مثال، به بررسی فرم مختلط سری فوریه می‌پردازیم.
مثال ۱
سری فوریه مختلط را برای تابع علامت زیر بیابید:
f ( x ) = sign x = { − 1 , − π ≤ x ≤ 0 1 , 0 < x ≤ π . \Large {f\left( x \right) = \text{sign}\,x }=
{\begin{cases}
-1, & -\pi \le x \le 0 \\
1, & 0 \lt x \le \pi
\end{cases}.} f ( x ) = sign x = ⎩ ⎨ ⎧ − 1 , 1 , − π ≤ x ≤ 0 0 < x ≤ π .
حل: ضرایب c 0 c_0 c 0 c n c_n c n
$$\begin{align*}<br />
\large \require{cancel}<br />
{{c_0} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right)dx} }<br />
&=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ – \pi }^0 {\left( { – 1} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {dx} } \right] } \\<br />
&=\large {\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\left. {\left( { – x} \right)} \right|_{ – \pi }^0 + \left. x \right|_0^\pi } \right] }<br />
= {\frac{1}{{2\pi }}\left( { – \cancel{\pi} + \cancel{\pi }} \right) }={0}<br />
\end{align*}$$
به ازای n ≠ 0 n \ne 0 n = 0
c n = 1 2 π ∫ – π π f ( x ) e – i n x d x = 1 2 π [ ∫ – π 0 ( – 1 ) e – i n x d x + ∫ 0 π e – i n x d x ] = 1 2 π [ – ( e – i n x ) ∣ – π 0 – i n + ( e – i n x ) ∣ 0 π – i n ] = i 2 π n [ – ( 1 – e i n π ) + e – i n π – 1 ] = i π n [ e i n π + e – i n π 2 – 1 ] = i π n [ cos n π – 1 ] = i π n [ ( – 1 ) n – 1 ] . \large \begin{align*}
{{c_n} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ – \pi }^\pi {f\left( x \right){e^{ – inx}}dx} }
&= {{\frac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_{ – \pi }^0 {\left( { – 1} \right){e^{ – inx}}dx} }\right.}+{\left.{ \int\limits_0^\pi {{e^{ – inx}}dx} } \right] }} \\
&= {{\frac{1}{{2\pi }}\left[ { – \frac{{\left. {\left( {{e^{ – inx}}} \right)} \right|_{ – \pi }^0}}{{ – in}} }\right.}+{\left.{ \frac{{\left. {\left( {{e^{ – inx}}} \right)} \right|_0^\pi }}{{ – in}}} \right] }} \\
&= {{\frac{i}{{2\pi n}}\left[ { – \left( {1 – {e^{in\pi }}} \right) }\right.}+{\left.{ {e^{ – in\pi }} – 1} \right] }}
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ – in\pi }}}}{2} – 1} \right] } \\
&= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {\cos n\pi – 1} \right] }
= {\frac{i}{{\pi n}}\left[ {{{\left( { – 1} \right)}^n} – 1} \right].}
\end{align*} c n = 2 π 1 – π ∫ π f ( x ) e – in x d x = 2 π 1 – π ∫ 0 ( –1 ) e – in x d x + 0 ∫ π e – in x d x = 2 π 1 – – in ( e – in x ) – π 0 + – in ( e – in x ) 0 π ] = 2 πn i [ – ( 1– e inπ ) + e – inπ –1 ] = πn i [ 2 e inπ + e – inπ –1 ] = πn i [ cos nπ –1 ] = πn i [ ( –1 ) n –1 ] .
اگر n = 2 k n = 2k n = 2 k c 2 k = 0 {c_{2k}} = 0 c 2 k = 0 n = 2 k – 1 n = 2k – 1 n = 2 k –1 c 2 k – 1 = – 2 i ( 2 k – 1 ) π {c_{2k – 1}} = – {\frac{{2i}}{{\left( {2k – 1} \right)\pi }}\normalsize} c 2 k –1 = – ( 2 k –1 ) π 2 i
f ( x ) = sign x = – 2 i π ∑ k = – ∞ ∞ 1 2 k – 1 e i ( 2 k – 1 ) x . \Large {f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = – \infty }^\infty {\frac{1}{{2k – 1}}{e^{i\left( {2k – 1} \right)x}}} .} f ( x ) = sign x = – π 2 i k = –∞ ∑ ∞ 2 k –1 1 e i ( 2 k –1 ) x .
سری مختلط فوریه بیان‌شده برای تابع علامت را می‌توان به سری فوریه سینوسی و کسینوسی تبدیل کرد. با تغییر متغیر n n n n = 2 k – 1 , n = ± 1 , ± 2 , ± 3 , … n = 2k – 1,n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots n = 2 k –1 , n = ± 1 , ± 2 , ± 3 , …
f ( x ) = sign x = – 2 i π ∑ k = – ∞ ∞ 1 2 k – 1 e i ( 2 k – 1 ) x = – 2 i π ∑ n = – ∞ ∞ e i n x n = – 2 i π ∑ n = 1 ∞ ( e – i n x – n + e i n x n ) = 4 π ∑ n = 1 ∞ e i n x – e – i n x 2 i n = 4 π ∑ n = 1 ∞ sin n x n = 4 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 k – 1 ) x 2 k – 1 . \large \begin{align*}
{f\left( x \right) = \text{sign}\,x }
&= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{k = – \infty }^\infty {\frac{1}{{2k – 1}}{e^{i\left( {2k – 1} \right)x}}}}
= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = – \infty }^\infty {\frac{{{e^{inx}}}}{n}} } \\
&= { – \frac{{2i}}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{e^{ – inx}}}}{{ – n}} + \frac{{{e^{inx}}}}{n}} \right)} } \\
&= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{inx}} – {e^{ – inx}}}}{{2in}}} }
= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\sin nx}}{n}} } \\
&= {\frac{4}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin \left( {2k – 1} \right)x}}{{2k – 1}}} .}
\end{align*} f ( x ) = sign x = – π 2 i k = –∞ ∑ ∞ 2 k –1 1 e i ( 2 k –1 ) x = – π 2 i n = –∞ ∑ ∞ n e in x = – π 2 i n = 1 ∑ ∞ ( – n e – in x + n e in x ) = π 4 n = 1 ∑ ∞ 2 in e in x – e – in x = π 4 n = 1 ∑ ∞ n sin n x = π 4 k = 1 ∑ ∞ 2 k –1 sin ( 2 k –1 ) x .
مثال ۲
سری فوریه مختلطِ تابع f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ]
حل: نیم‌تناوب در این حالت برابر با l = T 2 = 1 l=\frac{T}{2}=1 l = 2 T = 1 c 0 c_0 c 0
c 0 = 1 2 L ∫ – L L f ( x ) d x = 1 2 ∫ – 1 1 x 2 d x = 1 2 [ ( x 3 3 ) ∣ – 1 1 ] = 1 6 [ 1 3 – ( – 1 ) 3 ] = 1 3 . \Large {{c_0} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ – L}^L {f\left( x \right)dx} } = {\frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}dx} } = {\frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ – 1}^1} \right] } = {\frac{1}{6}\left[ {{1^3} – {{\left( { – 1} \right)}^3}} \right] } = {\frac{1}{3}.} c 0 = 2 L 1 – L ∫ L f ( x ) d x = 2 1 –1 ∫ 1 x 2 d x = 2 1 3 x 3 –1 1 = 6 1 [ 1 3 – ( –1 ) 3 ] = 3 1 .
برای n ≠ 0 n \ne 0 n = 0
c n = 1 2 L ∫ – L L f ( x ) e – i n π x L d x = 1 2 ∫ – 1 1 x 2 e – i n π x d x . \Large {{c_n} = \frac{1}{{2L}}\int\limits_{ – L}^L {f\left( x \right){e^{ – \frac{{in\pi x}}{L}}}dx} } = {\frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}{e^{ – {in\pi x}}}dx} .} c n = 2 L 1 – L ∫ L f ( x ) e – L inπ x d x = 2 1 –1 ∫ 1 x 2 e – inπ x d x .
با استفاده از انتگرال‌گیری جزء به جزء داریم:
c n = 1 2 [ ( x 2 e – i n π x – i n π ) ∣ – 1 1 − ∫ – 1 1 2 x e – i n π x – i n π d x ] = 1 2 [ ( x 2 e – i n π x – i n π ) ∣ – 1 1 + 2 i n π ∫ – 1 1 x e – i n π x d x ] = − 1 2 i n π [ e – i n π + 2 i n π e – i n π + 2 ( i n π ) 2 e – i n π + 2 i n π e i n π − 2 ( i n π ) 2 e i n π ] = 1 2 i n π [ e i n π – e – i n π − 2 i n π ( e i n π + e i n π ) + 2 ( i n π ) 2 ( e i n π – e – i n π ) ] = 1 n π ⋅ e i n π – e – i n π 2 i + 2 n 2 π 2 ⋅ e i n π + e – i n π 2 – 2 n 3 π 3 ⋅ e i n π – e – i n π 2 i = 1 n π ⋅ sin n π + 2 n 2 π 2 cos n π − 2 n 3 π 3 sin n π . \large \begin{align*}
{c_n} &=\kern0pt{{ \frac{1}{2}\Big[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}} \right)} \right|_{ – 1}^1 }}-{{ \int\limits_{ – 1}^1 {\frac{{2x{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}dx} } \Big] }}
= {{\frac{1}{2}\Big[ {\left. {\left( {\frac{{{x^2}{e^{ – in\pi x}}}}{{ – in\pi }}} \right)} \right|_{ – 1}^1 }}+{{\frac{2}{{in\pi }}\int\limits_{ – 1}^1 {x{e^{ – in\pi x}}dx} } \Big] }}\\
& \large = {{- \frac{1}{{2in\pi }}\Big[ {{e^{ – in\pi }} + \frac{2}{{in\pi }}{e^{ – in\pi }} }}+{{ \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{ – in\pi }}}} + {{\frac{2}{{in\pi }}{e^{in\pi }} }}-{{ \frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}{e^{in\pi }}} \Big] }} \\
&= {{\frac{1}{{2in\pi }}\Big[ {{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }} }}}-{{{ \frac{2}{{in\pi }}\left( {{e^{in\pi }} + {e^{in\pi }}} \right)}}} + {{{\frac{2}{{{{\left( {in\pi } \right)}^2}}}\left( {{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}} \right)} \Big] }} \\
&= {{\frac{1}{{n\pi }} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}}}{{2i}} } + {\frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} + {e^{ – in\pi }}}}{2} } – {\frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}} \cdot \frac{{{e^{in\pi }} – {e^{ – in\pi }}}}{{2i}} }} \\
&= {{\frac{1}{{n\pi }} \cdot \sin n\pi }+{ \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}\cos n\pi }-{ \frac{2}{{{n^3}{\pi ^3}}}\sin n\pi .}}
\end{align*} c n = 2 1 [ ( – inπ x 2 e – inπ x ) –1 1 − –1 ∫ 1 – inπ 2 x e – inπ x d x ] = 2 1 [ ( – inπ x 2 e – inπ x ) –1 1 + inπ 2 –1 ∫ 1 x e – inπ x d x ] = − 2 inπ 1 [ e – inπ + inπ 2 e – inπ + ( inπ ) 2 2 e – inπ + inπ 2 e inπ − ( inπ ) 2 2 e inπ ] = 2 inπ 1 [ e inπ – e – inπ − inπ 2 ( e inπ + e inπ ) + ( inπ ) 2 2 ( e inπ – e – inπ ) ] = nπ 1 ⋅ 2 i e inπ – e – inπ + n 2 π 2 2 ⋅ 2 e inπ + e – inπ – n 3 π 3 2 ⋅ 2 i e inπ – e – inπ = nπ 1 ⋅ sin nπ + n 2 π 2 2 cos nπ − n 3 π 3 2 sin nπ .
با قرار دادن sin n π = 0 \sin n\pi = 0 sin nπ = 0 cos n π = ( – 1 ) n \cos n\pi = {\left( { – 1} \right)^n} cos nπ = ( –1 ) n
c n = 2 n 2 π 2 ( – 1 ) n {c_n} = \frac{2}{{{n^2}{\pi ^2}}}{\left( { – 1} \right)^n} c n = n 2 π 2 2 ( –1 ) n
بنابراین تعمیم مختلط سری فوریه به صورت زیر است:
f ( x ) = x 2 = 1 3 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 e i n π x + e – i n π x 2 = 1 3 + 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ ( – 1 ) n n 2 cos n π x . \large {f\left( x \right) = {x^2} }
= {{\frac{1}{3} }+{ \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\frac{{{e^{in\pi x}} + {e^{ – in\pi x}}}}{2}} }}
= {{\frac{1}{3} }+{ \frac{4}{{{\pi ^2}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { – 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\cos n\pi x} .}} f ( x ) = x 2 = 3 1 + π 2 4 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n 2 e inπ x + e – inπ x = 3 1 + π 2 4 n = 1 ∑ ∞ n 2 ( –1 ) n cos nπ x .
مثال ۳
سری فوریه مختلط را برای تابع زیر بیابید:
f ( x ) = a sin x 1 – 2 a cos x + a 2 , ∣ a ∣ < 1. {f\left( x \right) = \frac{{a\sin x}}{{1 – 2a\cos x + {a^2}}},\;\;}\kern-0.3pt{\left| a \right| \lt 1.} f ( x ) = 1–2 a cos x + a 2 a sin x , ∣ a ∣ < 1.
حل: با تبدیل توابع سینوسی و کسینوسی به معادل نمایی آن خواهیم داشت:
cos x = e i x + e – i x 2 , sin x = e i x – e – i x 2 i . {\cos x = \frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2},\;\;\;}\kern0pt
{\sin x = \frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}.} cos x = 2 e i x + e – i x , sin x = 2 i e i x – e – i x .
بنابراین تابع f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = a ⋅ e i x – e – i x 2 i 1 – 2 a ⋅ e i x + e – i x 2 + a 2 = 1 2 i ⋅ a ( e i x – e – i x ) 1 – a ( e i x + e – i x ) + a 2 = 1 2 i ⋅ a ( e i x – e – i x ) 1 – a e i x – a e – i x + a 2 e i x e – i x = 1 2 i ⋅ a ( e i x – e – i x ) ( 1 – a e i x ) – a e – i x ( 1 – a e i x ) = 1 2 i ⋅ a ( e i x – e – i x ) ( 1 – a e i x ) ( 1 – a e – i x ) . \large \begin{align*}
\Large {f\left( x \right) } &={ \frac{{a \cdot \frac{{{e^{ix}} – {e^{ – ix}}}}{{2i}}}}{{1 – 2a \cdot \frac{{{e^{ix}} + {e^{ – ix}}}}{2} + {a^2}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{1 – a\left( {{e^{ix}} + {e^{ – ix}}} \right) + {a^2}}} }
\\
&= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{1 – a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}} + {a^2}{e^{ix}}{e^{ – ix}}}} }
= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right) – a{e^{ – ix}}\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)}} } \\
&= {\frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)}}.}
\end{align*} f ( x ) = 1–2 a ⋅ 2 e i x + e – i x + a 2 a ⋅ 2 i e i x – e – i x = 2 i 1 ⋅ 1– a ( e i x + e – i x ) + a 2 a ( e i x – e – i x ) = 2 i 1 ⋅ 1– a e i x – a e – i x + a 2 e i x e – i x a ( e i x – e – i x ) = 2 i 1 ⋅ ( 1– a e i x ) – a e – i x ( 1– a e i x ) a ( e i x – e – i x ) = 2 i 1 ⋅ ( 1– a e i x ) ( 1– a e – i x ) a ( e i x – e – i x ) .
با تجزیه کسرها داریم:
f ( x ) = 1 2 i ⋅ a ( e i x – e – i x ) ( 1 – a e i x ) ( 1 – a e – i x ) = 1 2 i ( A 1 – a e i x + B 1 – a e – i x ) \large {f\left( x \right) \text{ = }}\kern0pt{ \frac{1}{{2i}} \cdot \frac{{a\left( {{e^{ix}} – {e^{ – ix}}} \right)}}{{\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)}} }
= {\frac{1}{{2i}}\left( {\frac{A}{{1 – a{e^{ix}}}} + \frac{B}{{1 – a{e^{ – ix}}}}} \right)} f ( x ) = 2 i 1 ⋅ ( 1– a e i x ) ( 1– a e – i x ) a ( e i x – e – i x ) = 2 i 1 ( 1– a e i x A + 1– a e – i x B ) معادله (۴)
بنابراین ضرایب A A A B B B
A ( 1 – a e – i x ) + B ( 1 – a e i x ) = a e i x – a e – i x , ⇒ A – a A e – i x + B – a B e i x = a e i x – a e – i x , ⇒ A = 1 , B = – 1. \large \begin{align*}
&{{A\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right) }+{ B\left( {1 – a{e^{ix}}} \right) } ={ a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}},\;\;}} \\
&\Rightarrow
{{ A – aA{e^{ – ix}} }+{ B – aB{e^{ix}} } = { a{e^{ix}} – a{e^{ – ix}},\;\;}}\\
&\Rightarrow
{A = 1,\;B = – 1.}
\end{align*} A ( 1– a e – i x ) + B ( 1– a e i x ) = a e i x – a e – i x , ⇒ A – a A e – i x + B – a B e i x = a e i x – a e – i x , ⇒ A = 1 , B = –1.
پس می‌توان تابع f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = 1 2 i ( 1 1 – a e i x − 1 1 – a e – i x ) . \large {f\left( x \right) }={ \frac{1}{{2i}}\left( {\frac{1}{{1 – a{e^{ix}}}} }\right.}-{\left.{ \frac{1}{{1 – a{e^{ – ix}}}}} \right).} f ( x ) = 2 i 1 ( 1– a e i x 1 − 1– a e – i x 1 ) .
می‌دانیم:
∣ a e i x ∣ = ∣ a ∣ ∣ e i x ∣ = ∣ a ∣ cos 2 x + sin 2 x = ∣ a ∣ < 1. {\left| {a{e^{ix}}} \right| = \left| a \right|\left| {{e^{ix}}} \right| }
= {\left| a \right|\sqrt {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} }
= {\left| a \right| \lt 1.} a e i x = ∣ a ∣ e i x = ∣ a ∣ cos 2 x + sin 2 x = ∣ a ∣ < 1.
مزدوج این رابطه به صورت زیر است:
∣ a e – i x ∣ = ∣ a e i x ∣ = ∣ a ∣ < 1. {\left| {a{e^{ – ix}}} \right| = \left| {a{e^{ix}}} \right| }={ \left| a \right| \lt 1.} a e – i x = a e i x = ∣ a ∣ < 1.
سری توانی کسرها برای معادله (۴) عبارت است از:
1 1 – a e i x = ( 1 – a e i x ) – 1 = ∑ n = 0 ∞ a n e i n x , {\frac{1}{{1 – a{e^{ix}}}} = {\left( {1 – a{e^{ix}}} \right)^{ – 1}} }={ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{inx}}} ,} 1– a e i x 1 = ( 1– a e i x ) –1 = n = 0 ∑ ∞ a n e in x ,
1 1 – a e – i x = ( 1 – a e – i x ) – 1 = ∑ n = 0 ∞ a n e – i n x . {\frac{1}{{1 – a{e^{ – ix}}}} = {\left( {1 – a{e^{ – ix}}} \right)^{ – 1}} }={ \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}{e^{ – inx}}} .} 1– a e – i x 1 = ( 1– a e – i x ) –1 = n = 0 ∑ ∞ a n e – in x .
پس سری فوریه تابع f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = 1 2 i ∑ n = 0 ∞ a n ( e i n x – e – i n x ) = ∑ n = 0 ∞ a n sin n x . \large {f\left( x \right) }={ \frac{1}{{2i}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\left( {{e^{inx}} – {e^{ – inx}}} \right)} }
= {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a^n}\sin nx} .} f ( x ) = 2 i 1 n = 0 ∑ ∞ a n ( e in x – e – in x ) = n = 0 ∑ ∞ a n sin n x .
از آنجا که sin n x = 0 \sin nx = 0 sin n x = 0 f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n sin n x . \large f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a^n}\sin nx} . f ( x ) = n = 1 ∑ ∞ a n sin n x .
در آموزش بعدی از این سری آموزش‌ها در مجله فرادرس، به بررسی انتگرال فوریه خواهیم پرداخت.
در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموزشهای زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
فیلم های آموزش سری فوریه مختلط — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان) فیلم آموزشی معادله اویلر فیلم آموزشی معرفی سری فوریه مختلط فیلم آموزشی حل مثال از سری فوریه مختلط 
فرادرس
سلام توی مثال 1 توی حل محاسبه Cn اشتباه نشده
؟
سلام امیررضای عزیز.
محاسبه ضریب Cn را بررسی کردیم و ایرادی در حل آن وجود نداشت.
شاد و پیروز باشید.
قسمت دوم تبديل سينوس به فرمت نمايي به نظرم اشتباه هست. بايستي از يك بر روي دو i فاكتور گرفته بشه. ولي توي قسمت سوم بخش اول كلا i نداره
سلام ثمین گرامی.
متن بازبینی و اصلاح شد.
سپاس از همراهی و بازخورد دقیقتان.
بسیار عالی و گویا. خیلی ممنونم
معادله (۱) آخرش یه i تو توان e جا افتاده
با سلام و عرض پوزش به دلیل خطای رخ داده در متن.
معادله مذکور اصلاح شد.