تبدیل لاپلاس دو سویه — به زبان ساده

در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس، تبدیل لاپلاس و ویژگی‌های آن را توضیح دادیم. از این رو در این مطلب قصد داریم تا در مورد نوع دیگری از لاپلاس تحت عنوان تبدیل لاپلاس دو سویه صحبت کرده و ویژگی‌های آن را نیز توضیح دهیم.

تبدیل لاپلاس دو سویه

در ریاضیات، تبدیل لاپلاس دو سویه به تبدیلی انتگرالی گفته می‌شود که می‌توان تابع گشتاور مولد را با استفاده از آن بیان کرد. این تبدیل بسیار مشابه با تبدیل ملین، فوریه و تبدیل لاپلاس ساده است.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

برای معرفی تبدیل لاپلاس دو سویه در ابتدا فرض کنید $$f ( t )$$ تابعی مختلط یا حقیقی بوده که تابع مقدار حقیقی $$t$$ است. با این فرضیات تبدیل لاپلاس دو سویه $$B$$ مطابق با انتگرال زیر تعریف می‌شود.

$${ \displaystyle { \mathcal { B } } \{f\} ( s ) = F ( s ) = \int _ { -\infty } ^ { \infty } e ^ { - s t } f ( t ) \, d t }$$

بدیهی است که انتگرال فوق برابر با انتگرالی ناسره است. همچنین این انتگرال زمانی وجود دارد که هریک از انتگرال‌های زیر دارای پاسخ باشند.

$$\color {white} {\int _ { { - \infty } } ^ { 0 } e ^ { { -s t} } f ( t ) \, d t} \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { { - s t } } f (‌ t ) \,d t,\quad \int _ { { - \infty } } ^ { 0 } e ^ { { -s t} } f ( t ) \, d t \color {white} { \int _ { { - \infty } } ^ { 0 } e ^ { { -s t} } f ( t ) \, d t }$$

البته توجه داشته باشید که در برخی از منابع، این تبدیل دوطرفه، به‌صورت زیر نیز بیان می‌شود:

$$\color {white} {\int _ { { - \infty } } ^ { 0 } e ^ { { -s t} } f ( t ) \, d t} {\displaystyle { \mathcal { T } } \{f\}(s ) = s { \mathcal { B } } \{f\}( s ) =s F ( s ) = s \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - s t} f ( t ) \,dt.} \color {white} { \int _ { { - \infty } } ^ { 0 } e ^ { { -s t} } f ( t ) \, d t }$$

در ریاضیات محض، متغیر $$t$$ می‌تواند هر متغیری باشد. در این موارد از تبدیل لاپلاس به‌منظور مطالعه تاثیر اوپراتور‌های دیفرانسیلی بر توابع استفاده می‌شود. در کاربرد‌های علوم و مهندسی متغیر $$t$$ معمولا نشان‌دهنده زمان و تابع $$f ( t )$$، نشان‌دهنده موج یا سیگنالی است که با زمان تغییر می‌کند. در این موارد سیگنال‌ها با استفاده از فیلتر‌هایی تغییر می‌کنند.

معمولا در هنگام کار با توابع وابسته به زمان، به $$f ( t )$$ حوزه زمانی گفته می‌شود. به همین صورت به خروجی $$F ( s )$$ نیز حوزه $$S$$ گفته می‌شود. با استفاده از تبدیل معکوس نیز سنتز سیگنال بدست می‌‌آید.

ارتباط با دیگر تبدیلات انتگرالی

فرض کنید $$u ( t )$$ نشان‌دهنده تابع پله‌ای هویساید است. در این صورت تبدیل لاپلاس $$L$$ را می‌توان بر اساس تبدیل دوسویه، مطابق با رابطه زیر تعریف کرد:

$$\color {white} {{ \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \}} { \displaystyle { \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} } \color {white} {{ \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \}}$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

تبدیل ملین را نیز می‌توان با استفاده از تبدیل لاپلاس دو سویه به‌صورت زیر تعریف کرد:

$$\color {white} {{ \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \}} {\displaystyle \left\{ { \mathcal { M } } f \right \} ( s ) = \left\{ { \mathcal { B } } f ( e ^ { - x } ) \right\} ( s ) } \color {white} {{ \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} }$$

البته تبدیل لاپلاس دوسویه را نیز می‌توان به‌صورتی عکس بر حسب تبدیل ملین، مطابق با رابطه زیر بیان کرد:

$$\color {white} {{ \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} } {\displaystyle \left\{{\mathcal { B } } f \right\} ( s ) = \left\{ { \mathcal { M } } f ( - \ln x ) \right\} ( s ) } \color {white} { { \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} }$$

تبدیل فوریه نیز همچون دیگر تبدیلات انتگرالی می‌تواند بر حسب تبدیل لاپلاس دوسویه نوشته شود. البته توجه داشته باشید که این بیان می‌تواند به دو صورت انجام شود. در ابتدا تبدیل فوریه را مطابق با رابطه زیر یادآوری می‌کنیم.

$$\color {white} {{ \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} } {\mathcal { F } } \{ f ( t ) \} = F ( s = i \omega ) = F ( \omega ) \color {white} { { \mathcal { L } } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} }$$

اما تبدیل فوریه را می‌توان بر حسب تبدیل لاپلاس دوطرفه نیز مطابق با رابطه زیر بیان کرد:

$$\color {white} {{ } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} } {\mathcal‌ { F } } \{f(t)\} = F ( s = i \omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi } } } } {\mathcal { B } } \{f(t)\}(s) \color {white} { { } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} }$$

عکس رابطه فوق نیز (بیان تبدیل لاپلاس دوسویه بر حسب تبدیل فوریه) به‌صورت زیر قابل بیان است:

$$\color {white} { { } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} } { \displaystyle \left\{ { \mathcal { B } } f \right\} ( s ) = \left \{ { \mathcal { F } } f \right\} ( - i s ) } \color {white} { { } \{ f \} = { \mathcal { B } } \{ f u \} }$$

معمولا تبدیل فوریه به ازای مقادیر حقیقی تعریف می‌شود. با این حال توجه داشته باشید که در تعریف فوق ممکن است مقادیر $$s$$ در بازه $${ \displaystyle a < \Im ( s ) < b }$$ قرار داشته باشد. در حقیقت بخشی از این بازه ممکن است روی محور حقیقی نباشد. توجه داشته باشید که منظور از $$\Im ( s )$$، بخش مختلط اعداد $$s$$ است. تابع مولد گشتاور را نیز می‌توان بر حسب تبدیل لاپلاس دوطرفه به‌شکل زیر تعریف کرد:

$$\color {white} { { \mathcal { B } } \{ f \} ( – s ) } { \mathcal { B } } \{ f \} ( – s ) \color {white} { { \mathcal { B } } \{ f \} ( – s ) }$$

ویژگی‌ها

برای هر دو تابع $$f$$ و $$g$$ که برای آن‌ها، تبدیل لاپلاس دوطرفه به‌ترتیب برابر با $${ \textstyle { \mathcal { T } } \{ f \} , { \mathcal { T } } \{ g \} }$$ باشند، در حالتی که $${ \textstyle { \mathcal { T } } \{ f \} ( t ) = { \mathcal { T } } \{ g \}( t ) }$$ باشد، می‌توان گفت دو تابع $$f$$ و $$g$$ به ازای تمامی مقادیر $$t$$ با هم برابر است. شکل کلی تبدیل لاپلاس تابع مشتق نیز همانند تبدیل لاپلاس یک‌طرفه است. تنها تفاوت در این است که مقادیر اولیه در محاسبه تبدیل لاپلاس دوطرفه ظاهر نمی‌شوند. در جدول زیر فرمول محاسبه لاپلاس و لاپلاس دوطرفه مشتق توابع، ارائه شده است.