شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
ویژگی های تابع نمایی – به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)
۱۱۷۵۳ بازدید
آخرین بهروزرسانی: ۱۶ اردیبهشت ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۱ دقیقه
دانلود PDF مقاله
در مطالب گذشته وبلاگ فرادرس در مورد توابع نمایی صحبت شد. از این رو در این مطلب قصد داریم تا قوانین حاکم بر این توابع را به طور خلاصه بیان کرده و مثالهایی از آن ارائه دهیم. البته به منظور درک بهتر، مطالعه مطالب توابع نمایی و عدد e و مشتق لگاریتم و تابع نمایی نیز خالی از لطف نخواهند بود.
حال تابع y=xn را در نظر بگیرید. این تابع در حقیقت به صورت زیر است.
xn=n timesx×x×⋯×x.
در رابطه فوق، x، پایه و n توان است. با توجه به تعریف فوق میتوان برخی ویژگیها را به منظور انجام اعمال ریاضی برای توابع نمایی بیان کرد. در ادامه جدولی ارائه شده که مهمترین این ویژگیها در آن ارائه شدهاند.
مثال
فرمول
قانون
2223=25=32
xaxb=xa+b
ضرب
2223=21=2
xbxa=xa−b
تقسیم
(23)2=26=64
(xa)b=xab
توانِ توانی
36=62=(2.3)2=22.32=4.9=36
(xy)a=xaya
پایه ضربی
21=2
x1=x
توان اول
20=1
x0=1
توان صفر
2−1=21
x−1=x1
توان ۱-
2−3=231=81
x−a=xa1
تغییر علامت توان
43/2=(4)3=23=8
xm/n=nxm=(nx)m
توان کسری
قوانین
در این جا قصد داریم تا تعدادی از مهمترین ویژگیهای برشمرده در بالا را اثبات کنیم.
اگر دو تابع با پایه برابر را در یکدیگر ضرب کنیم، در این صورت باید توان آنها را با هم جمع کرد.
xaxb=xa+b
در ادامه دو مثال در دو حالتِ عدد و تابع ارائه شدهاند.
3432=(3×3×3×3)×(3×3)=3×3×3×3×3×3=36
y2y3=(y×y)×(y×y×y)=y×y×y×y×y=y5
در ادامه اثبات این قانون نیز بیان شده است.
xaxb=a times x×⋯×x×b times x×⋯×x=a+b timesx×⋯×x=xa+b
تقسیم با پایه برابر
در مواردی که با تقسیم دو عبارت توانی مواجه هستیم، میتوان پایهها را نگه داشته و توانها را از یکدیگر کم کرد.
xbxa=xa−b
در ادامه مثالی از تقسیم دو تابع نمایی با پایه برابر ارائه شده است.
$$\large \begin {align*} \require {cancel} \frac { y ^ 5 } { y ^ 3 } & = \frac { y \times y \times y \times y \times y } { y \times y \times y } \\ & = \frac { ( y \times y) \times \cancel { ( y \times y \times y ) } } { \cancel { y \times y \times y } } \\ & = y \times y = y ^ 2 \end {align*} $$
به منظور اثبات این قانون دو حالت را در نظر میگیریم. حالت اول زمانی است که a>b باشد. در این حالت حاصل تقسیم را میتوان به صورت زیر بیان کرد:
xbxa=b times x×⋯×xx×⋯×xa times=b timesx×⋯×xx×⋯×xa−b times×x×⋯×xb times=a−b times x×⋯×x=xa−b
حالت دوم نیز زمانی است که a<b برقرار باشد. در این حالت حاصل تقسیم را میتوان به شکل زیر بیان کرد:
xbxa=b timesx×⋯×xx×⋯×xa times=b−a timesx×⋯×x×a times x×⋯×xx×⋯×xa times=b−a times x×⋯×x1
در این مرحله باید از قانون توان منفی بهره برد. در حقیقت در ابتدا توانِ منفی به صورت زیر تعریف میشود.
x−n=n timesx×x×⋯×x1
نهایتا با تعریف توان منفی به صورت فوق، حاصل تقسیم نیز به صورت زیر قابل بازنویسی میشود.
xbxa=b timesx×⋯×xa timesx×⋯×x=b−a times x×⋯×x1=xa−b
توانِ توان
میتوان تابع نمایی را به اندازه ۱ درجه نیز افزایش داد. در این حالت حاصل به صورت یک تابع نمایی واحد بدست میآید.
برای بدست آوردن حاصل عبارت بالا، کافی است، توانِ b را در نظر نگرفته و کسر را به صورت ضرب بیان کرد. در ادامه این کار انجام شده است.
(xa)b=b timesxa×xa×⋯×xa
حال با استفاده از قانون ضرب عبارت فوق به صورت زیر قابل بازنویسی است.
(xa)b=b times xa×xa×⋯×xa=xa+a+⋯+ab times=xab
پایه ضربی
همانطور که در جدول نیز ذکر شده در این حالت کافی است هریک از ترمهای ضرب شده، در ابتدا به توان رسیده، سپس در هم ضرب شوند. در حقیقت حاصل توان در این حالت برابر است با:
(xy)a=xaya
جهت اثبات کافی است عبارت ضرب را به شکل زیر بازنویسی کنید.
(xy)a=xaya
در ابتدا باید یادآوری کنیم که حاصل ضرب یک عدد در یک عبارت را میتوان به صورت زیر باز کرد.
این قانون را میتوان برای تقسیم نیز به شکل زیر بیان کرد:
(yx)a=yaxa
همانطور که میدانید این قانون برای جمع کار نمیکند. برای نمونه حاصل دو عبارت زیر با هم برابر نیستند.
(3+5)2=82=64
32+52=9+25=34
توانِ کسری
در حالتی که عدد به توان کسر رسیده باشد، میتوان عبارات قرار گرفته در صورت و مخرج کسر را به صورت مجزا در پرانتز قرار داده و عملیات توان را به صورت مجزا انجام داد. در ادامه مثالی ارائه شده است.
در حالتی کلی میتوان گفت که اگر a عددی گویا به صورت a=m/n باشد، در این صورت با فرض مثبت بودنِ x، میتوان عبارت زیر را بیان کرد:
xm/n=nxm=(nx)m
در حالتی که a عددی گنگ همانندِ a=π باشد، نمیتوان از روش فوق استفاده کرد. در این حالت میتوان مقدار تقریبی را با به توان رساندن عدد به عددی نزدیک به مقدار گنگ، تقریب زد.
در صورت علاقهمندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزشهای زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.