انتگرال ناسره – به زبان ساده

در راستای ارائه مفاهیم مرتبط با انتگرال، در این مطلب قصد داریم تا نوعی دیگر از انتگرال‌های معین، تحت عنوان «انتگرال ناسره» (Improper Integral) را معرفی کنیم. ناسره نوعی از انتگرال است که بازه‌های آن در حالتی حدی قرار دارند. انتگرال ناسره عمدتا در دو دسته مورد بررسی قرار می‌گیرند که در ادامه با جزئیات آن‌ها را توضیح خواهیم داد.

فاصله نامتناهی

در این نوع از انتگرال یک یا هر دو بازه‌ انتگرال‌گیری در بینهایت قرار دارد. بنابراین طول بازه انتگرال برابر با بینهایت است. در ادامه، در قالب مثال این نوع از انتگرال را توضیح خواهیم داد.

مثال ۱

حاصل انتگرال $$\int _ { { \, \,1 } } ^ { { \, \infty } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } \, d x } }$$ را بدست آورید.

احتمالا پاسخ این انتگرال را می‌توانید محاسبه کنید؛ اما اجازه دهید تا در قالب مساحتِ سطح به آن نگاه کنیم. بنابراین سوال به این صورت در می‌آید که مساحت زیر نمودارِ تابع $$f \left ( x \right ) = \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } }$$ از ۱ تا بینهایت چقدر است؟

بدین منظور می‌توان در ابتدا اندازه مساحت را در بازه $$\left [ { 1 , t } \right ]$$ محاسبه کرده و با میل دادن t به بینهایت، اندازه مساحت را بدست آورد. بنابراین مساحت در بازه مذکور برابر است با:

$$\large { A _ {\,t } } = \int _ { { \, \, 1 } } ^ { { \, t } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } \, d x } } = \left. { - \frac { 1 } { x } } \right | _ 1 ^ t = 1 - \frac { 1 } { t }$$

عبارت بدست آمده در بالا، مساحت $$f \left ( x \right ) = \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } }$$ را در بازه $$\left [ { 1 , t } \right ]$$ نشان می‌دهد. بنابراین اگر t را به بینهایت میل دهیم، مساحت در بازه $$\left [ { 1 , ∞ } \right ]$$ بدست خواهد آمد.

$$\large A = \mathop { \lim } \limits_ { t \to \infty } { A _ { \, t } } = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \left ( { 1 - \frac { 1 } { t } } \right ) = 1$$

عدد بدست آمده نشان دهنده مساحتی است که هدف ما محاسبه آن بود. البته سریع‌تر آن است که انتگرال را به صورت مستقیم محاسبه کنیم.

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, \, 1 } } ^ { { \, \infty } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } \, d x } } & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \int _ { { \, \, 1 } } ^ { { \,t } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } \, d x } } \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \left. { \left ( { - \frac { 1 } { x } } \right ) } \right| _ 1 ^ t \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \left ( { 1 - \frac { 1 } { t } } \right ) = 1 \end {align*}$$

اگر مثال ۱ را با دقت مطالعه کرده باشید، متوجه خواهید شد که چطور بایستی انتگرال ناسره را محاسبه کرد. در حقیقت ابتدا بایستی از یک متغیر به جای ∞ استفاده کرده و پس از محاسبه انتگرال، t را به سمت بینهایت میل داد. بدیهی است که همواره اندازه مساحت در بازه‌ای به طول بینهایت، عددی ثابت نخواهد بود.

بنابراین انتگرال‌های ناسره را به دو دسته «همگرا» (Convergent) و «واگرا» (Divergent) تقسیم می‌کنند. حاصل انتگرال‌های واگرا بینهایت و انتگرال‌های همگرا عددی مشخص خواهد بود. در حالت کلی در مواجه با انتگرال‌های با فاصله نامتناهی، سه حالت وجود دارد که در ادامه ذکر شده‌اند.

۱. اگر انتگرال $$\displaystyle \int _ { { \, a } } ^ { { \, t } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ به ازای هر $$t > a$$ وجود داشته باشد در این صورت انتگرال زیر متناهی بوده و همگرا است.

$$\large \int _ { { \, a } } ^ { { \, \,\infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \int _ { { \, a } } ^ { { \, t } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

۲. اگر به ازای هر $$t < b$$ انتگرال $$\displaystyle \int _ { { \, t } } ^ { { \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ وجود داشته باشد،‌ در این صورت حاصل انتگرال زیر متناهی و همگرا است.

$$\large \int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \, - \infty } \int_{{\,t}} ^ { { \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

۳. اگر انتگرا‌ل‌های $$\displaystyle \int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, c } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ و $$\displaystyle \int _ { { \, c } } ^ { { \, +\infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ موجود باشند، در این صورت انتگرال زیر نیز متناهی و همگرا خواهد بود.

$$\large \int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right) \, d x } } = \int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, c } } { { f \left ( x \right ) \,d x } } + \int _ { { \, c } } ^ { { \, \infty } } { { f \left ( x \right ) \, d x }}$$

توجه داشته باشید که در رابطه فوق، c می‌تواند هر عددی باشد. اگر هریک از انتگرال‌های نیمه متناهیِ بیان شده در صورت گذاره سوم، واگرا باشد، در این صورت حاصل انتگرال فوق نیز واگرا خواهد بود.

مثال ۲

انتگرال $$\int _ { { \, \, 1 } } ^ { { \, \infty } } { { \frac { 1 } { x } \, d x } }$$ واگرا یا همگرا است؟

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + مرور و حل تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، در ابتدا به جای بینهایت از متغیری دلخواه استفاده کرده و حد آن را در بینهایت محاسبه کنید. حد مذکور در ادامه بیان شده است.

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, \, 1 } } ^ { { \,\infty } } { { \frac { 1 } { x } \, d x } } & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \left. {\ln \left( x \right ) } \right| _ 1 ^ t \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \left ( { \ln \left ( t \right ) - \ln 1 } \right ) \\ & = \infty \end {align*}$$

بنابراین حاصل حد، بینهایت بوده و سری نیز واگرا محسوب می‌شود. از این رو مساحت زیر نمودار $$g \left ( x \right ) = \frac { 1 } { x }$$ در بازه $$\left [ { 1 , \, \infty } \right )$$، عددی ثابت نبوده و برابر با بینهایت است.

مثال ۳

انتگرال $$\int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, 0 } } { { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - x } } } \, d x } }$$ واگرا یا همگرا است.

همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، به‌منظور بررسی یک انتگرال ناسره، بایستی بازه‌ی حدی را با یک متغیر جایگزین کرده و پس از محاسبه انتگرال از آن حد گرفت.

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, 0 } } { { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - x } } } \, d x } } & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to - \infty } \int _ { { \, t } } ^ { { \, 0 } } { { \frac { 1 } { { \sqrt {3 - x} } } \, d x } } \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to - \infty } \left. { - 2 \sqrt { 3 - x } } \right |_t^0 \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to - \infty } \left ( { - 2 \sqrt 3 + 2 \sqrt { 3 - t } } \right ) \\ & = - 2 \sqrt 3 + \infty \\ & = \infty \end {align*}$$

حاصل انتگرال فوق بینهایت است، بنابراین این انتگرال واگرا محسوب می‌شود.

مثال ۴

انتگرال $$\int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, \infty } } { { x { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } } } \, d x } }$$، همگرا یا واگر است؟

این انتگرال را می‌توان به دو بخش نامتناهی تقسیم کرده و انتگرال آن‌ها را محاسبه کرد. بخش منفیِ انتگرال برابر است با:

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, 0 } } { { x { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } } } \, d x } } & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to - \infty } \int _ { { \, t } } ^ { { \, 0 } } { { x { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } } } \,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left. {\left( { - \frac { 1 } { 2 } { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } } } } \right)} \right|_t^0\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {t^2}}}} \right)\\ & = - \frac{1}{2}\end{align*}$$

به همین صورت حاصل انتگرال در بخش مثبتِ بازه برابر است با:

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, \infty } } { { x { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } } } \, d x } } & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\,0}}^{{\,t}}{{x{{\bf{e}}^{ - { x ^ 2 } } } \, d x } }\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( { - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}} \right)} \right|_0^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {t^2}}} + \frac{1}{2}} \right)\\ & = \frac{1}{2}\end{align*}$$

با جمع زدن دو انتگرال بدست آمده در بالا، حاصل انتگرالِ صورت سوال برابر می‌شود با:

$$\large \int _ { { \, - \infty } } ^ { { \, \infty } } { { x {{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} = \int_{{\, - \infty }}^{{\,0}}{{x { { \bf{ e } } ^ { - { x ^ 2} } }\,dx}} + \int_{{\,0}}^{{\,\infty } } { { x { { \bf { e } } ^ { - { x ^ 2 } } } \, d x } } = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$

بنابراین انتگرالِ مدنظر در بازه نامتناهی همگرا است.

مثال ۵

وضعیت همگرایی انتگرال $$\int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, \infty } } { { \sin x \, d x } }$$ را مشخص کنید.

با جایگذاری t به جای بینهایت، حاصل انتگرال برابر می‌شود با:

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, \infty } } { { \sin x \, d x } } & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, t } } { { \sin x \, d x } } \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \left. { \left ( { - \cos x } \right ) } \right| _ { - 2 } ^ t \\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to \infty } \left ( { \cos 2 - \cos t } \right ) \end {align*}$$

حد فوق وجود ندارد و بنابراین، می‌توان گفت که انتگرال واگرا است.

فیلم آموزش همگرایی و واگرایی انتگرال ها + مثال‌ (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

انتگرال ناپیوسته

در این مرحله قصد داریم تا نوع دوم انتگرال ناسره را مورد بررسی قرار دهیم. در این نوع از انتگرال،‌ بازه‌های انتگرال‌گیری بینهایت نبوده، اما شکل تابع انتگرال ناپیوسته است. در حقیقت باند‌های انتگرال‌گیری به صورت حدی در نظر گرفته می‌شوند. در این حالت از انتگرال‌گیری، یکی از حالت‌های زیر وجود خواهد داشت:

۱. اگر تابع (f(x در بازه (a,b] پیوسته بوده و در x=b پیوسته نباشد، در این صورت حاصل انتگرال در این بازه، به صورت زیر بدست خواهد آمد.

$$\large \int _ { { \, a } } ^ { { \, \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = \mathop {\lim } \limits _ { t \to { b ^ - } } \int _ { { \, a } } ^ { { \, t } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

۲. اگر تابع (f(x در بازه $$\left ( { a , b } \right ]$$ پیوسته بوده و در x=a پیوسته نباشد، در این صورت انتگرال تابع در این بازه به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large \int _ { { \, a } } ^ { { \, \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = \mathop { \lim } \limits _ { t \to { a ^ + } } \int _ { { \, t } } ^ { { \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

۳. اگر تابع (f(x در x=c پیوسته نبوده و c در بازه $$a < c < b$$ قرار داشته باشد، همچنین دو انتگرال $$\displaystyle \int _ { { \, a } } ^ { { \, c } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ و $$\displaystyle \int _ { { \, c } } ^ { { \, \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ همگرا باشند، در این صورت حاصل انتگرال در بازه $$( a , b )$$ برابر است با:

$$\large \int _ { { \, a } } ^ { b } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = \int _ { { \, a } } ^ { { \, c } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } + \int _ { { \, c } } ^ { { \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

۴. اگر تابع (f(x در x=a و x=b پیوسته نباشد و دو انتگرال $$\displaystyle \int _ { { \, a } } ^ { { \, c } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ و $$\displaystyle \int _ { { \, c } } ^ { { \, \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$ نیز همگرا باشند،‌ در این صورت حاصل انتگرال در بازه مذکور برابر است با:

$$\large \int _ { { \, a } } ^ { b } { { f \left ( x \right ) \, d x } } = \int _ { { \, a } } ^ { { \, c } } { { f \left ( x \right ) \, d x } } + \int _ { { \, c } } ^ { { \, b } } { { f \left ( x \right ) \, d x } }$$

مثال ۶

حاصل انتگرال $$\int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 3 } } { { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - x } } } \, d x } }$$ را بیابید.

بدیهی است که تابع تحت انتگرال در نقطه x=3 ناپیوسته است. بنابراین حاصل انتگرال برابر است با:

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 3 } } { { \frac { 1 } { { \sqrt { 3 - x } } } \, d x } } &= \mathop { \lim } \limits _ { t \to { 3 ^ - } } \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, t } } { { \frac { 1 } { { \sqrt {3 - x} }}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits _ { t \to { 3 ^ - } } \left. { \left ( { - 2 \sqrt { 3 - x } } \right ) } \right|_0 ^ t\\ & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to { 3 ^ - } } \left ( { 2 \sqrt 3 - 2\sqrt { 3 - t } } \right ) \\ & = 2 \sqrt 3 \end{align*}$$

بنابراین انتگرال در این بازه همگرا بوده و مقدار آن برابر با $$2 \sqrt 3$$ است. در این مثال حاصل انتگرال همگرا بود. در مثال ۷ انتگرالی مورد بررسی قرار گرفته که مقدار آن همگرا نیست.

مثال ۷

وضعیت همگرایی انتگرالِ $$\int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, 3 } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } \, d x } }$$ به چه صورت است؟

تابع تحت انتگرال در نقطه x=0 ناپیوسته است. بنابراین انتگرال را بایستی به دو بخش تقسیم کرده و به صورت حدی آن‌ها را با هم جمع کرد. در حقیقت حاصل انتگرال برابر است با:

$$\large \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, 3 } } { { \frac{ 1 } { { { x ^ 3 } } } \, d x } } = \int_{{\, - 2 } } ^ { { \, 0 } }{{\frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } \, d x } } + \int _ { { \, 0 } } ^ { { \, 3 } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } \, d x } }$$

حاصل هر دو انتگرالِ فوق بایستی همگرا باشد. برای نمونه انتگرال بخش منفی بازه، برابر است با:

$$\large \begin {align*} \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, 0 } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } \, d x } } & = \mathop { \lim } \limits _ { t \to { 0 ^ - } } \int _ { { \, - 2 } } ^ { { \, t } } { { \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } \, d x } } \\ & = \mathop {\lim }\limits _ { t \to { 0 ^ - } } \left. { \left ( { - \frac { 1 } { { 2 { x ^ 2 } } } } \right ) } \right|_ { - 2 } ^ t \\ & = \mathop { \lim } \limits_{t \to {0^ - }} \left( { - \frac{1}{{2{t^2}}} + \frac{ 1 } { 8 } } \right )\\ & = - \infty \end{align*}$$

همان‌طور که محاسبه شد، حاصل یک بخش از انتگرال اصلی واگرا است. لذا انتگرال اصلی نیز واگرا محسوب می‌شود. در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضی، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان
• انتگرال — به زبان ساده
• انتگرال و روش‌های محاسبه — به زبان ساده
• انتگرال دوگانه — به زبان ساده

^^