انتگرال جز به جز مثلثاتی – به زبان ساده با مثال و تمرین

انتگرال جزء مهمی در ریاضیات به حساب می‌آید و کاربردهای فراوانی در مهندسی دارد. روش‌های متنوعی برای محاسبه انتگرال وجود دارد از جمله جانشینی، حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس، جانشینی مثلثاتی، توابع کسری، جز به جز و غیره. در این مطلب از مجله فرادرس با روش انتگرال جز به جز مثلثاتی آشنا خواهید شد که فقط اعمال روش جز به جز برای انتگرال‌هایی است که شامل تابع مثلثاتی هستند. چندین مثال برای درک بهتر این موضوع در ادامه مطرح خواهد شد. اگر به این موضوع علاقه‌مند هستید این مطلب را تا انتها مطالعه کنید.

در این مطلب ابتدا روش جز به جز در انتگرال‌گیری معرفی می‌شود سپس مثال‌های متنوعی با تمرکز بر توابع مثلثاتی ارائه می‌شود و چگونگی حل آن‌ها را به تفصیل بیان می‌کنیم.

معرفی انتگرال جز به جز

انتگرال به روش جز به جز که گاهی به آن روش بازگشتی نیز گفته می‌شود، یک روش عالی و ساده است برای حل انتگرال‌های نسبتا پیچیده که معمولا به شکل حاصلضرب دو یا سه تابع هستند.

ابتدا از قضیه حاصلضرب مشتق شروع می‌کنیم:

$${\left( {f\,g} \right)^\prime } = f'\,g + f\,g'$$

اکنون از هر دو طرف رابطه انتگرال می‌گیریم:

$$\int{{{{\left( {f\,g} \right)}^\prime }\,dx}} = \int{{f'\,g + f\,g'\,dx}}$$

انتگرال از سمت چپ عبارت فوق آسان است زیرا از قبل می‌دانیم که انتگرال عکس عمل مشتق است. سمت راست عبارت را جدا می‌کنیم.

$$fg = \int{{f'\,g\,dx}} + \int{{f\,g'\,dx}}$$

حال رابطه فوق را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\int{{f\,g'\,dx}} = fg - \int{{f'\,g\,dx}}$$

به خاطر سپردن و استفاده از فرمول فوق زیاد آسان نیست به همین خاطر تغییر متغیرهای زیر را در این رابطه انجام می‌دهیم:

$$\begin{align*}u = f\left( x \right)\hspace{0.5in}v = g\left( x \right) \\ du = f'\left( x \right)\,dx\hspace{0.5in}dv = g'\left( x \right)\,dx\end{align*}$$

در زیر فرمول ساده انتگرال به روش جز به جز آمده است:

$$\int{{u\,dv}} = uv - \int{{v\,du}}$$

برای استفاده از این فرمول باید در هر انتگرال مقادیر $$u$$ و $$dv$$ را شناسایی کنیم و بعد $$v$$ و $$du$$ را حساب کنیم سپس در فرمول فوق قرار دهیم. توجه داشته باشید که محاسبه $$v$$ بسیار آسان است و فقط کافی است تا از $$dv$$ انتگرال بگیریم.

$$v = \int{{dv}}$$

یکی از موارد مهمی که باید برای به کار بردن روش انتگرال جز به جز به آن توجه کنید شناسایی درست مقادیر $$u$$ و $$dv$$ است. البته اگر انتخاب این دو مقدار را اشتباه انجام دهیم می‌توانیم دوباره از ابتدا انتخاب خود را تغییر دهیم.

اگر این مقادیر را درست انتخاب کرده باشیم آنگاه فرمول انتگرال جز به جز باید انتگرال‌های ساده برای محاسبه تولید کند. به مثال‌های زیر توجه کنید تا این موضوع را بهتر درک کنید.

انتگرال جز به جز مثلثاتی نامعین

انتگرال‌هایی که در آن‌ها حدود مشخص نشده‌اند و به اصطلاح به آن‌ها نامعین می‌گویند.

مثال‌های انتگرال جز به جز مثلثاتی نامعین

در این قسمت مثال‌های متنوعی برای آشنایی بیشتر با انتگرال‌های نامعینی که تابع آن‌ها مثلثاتی است و به روش جز به جز حل می‌شوند ارائه شده است.

مثال اول انتگرال جز به جز

انتگرال جز به جز مثلثاتی زیر را حل می‌کنیم.

$$\int{{\left( {3t + 5} \right)\cos \left( {\frac{t}{4}} \right)\,dt}}$$

دو روش برای حل انتگرال فوق وجود دارد. اول این‌که عبارت $$\left( {3t + 5} \right)$$ را در $$\cos \left( {\frac{t}{4}} \right)$$ ضرب کنیم و بعد انتگرال را به دو انتگرال تبدیل کنیم و سپس انتگرال اول را با روش جز به جز حل کنیم که این روش کمی طولانی خواهد شد. در عوض با تغییر متغیرهای زیر می‌توانیم مستقیما از روش جز به جز استفاده کنیم.

$$\begin{align*}u & = 3t + 5& \hspace{0.5in}dv & = \cos \left( {\frac{t}{4}} \right)\,dt\\ du & = 3\,dt & \hspace{0.5in}v & = 4\sin \left( {\frac{t}{4}} \right)\end{align*}$$

با این تغییر متغیر انتگرال جز به جز مثلثاتی به شکل ساده زیر تبدیل می‌شود:

$$\begin{align*}\int{{\left( {3t + 5} \right)\cos \left( {\frac{t}{4}} \right)\,dt}} & = 4\left( {3t + 5} \right)\sin \left( {\frac{t}{4}} \right) - 12\int{{\sin \left( {\frac{t}{4}} \right)\,dt}}\\ & = 4\left( {3t + 5} \right)\sin \left( {\frac{t}{4}} \right) + 48\cos \left( {\frac{t}{4}} \right) + c\end{align*}$$

اگر دقت کنید متوجه می‌شوید که مقادیر ثابت را از انتگرال خارج کردیم که این یک کار رایج در ساده کردن انتگرال است.

مثال دوم انتگرال جز به جز

انتگرال زیر را به روش جز به جز حساب می‌کنیم.

$$\int{{{w^2}\sin \left( {10w} \right)\,dw}}$$

پاسخ:

در انتگرال جز به جز مثلثاتی فوق تغییر متغیرها را به صورت زیر انجام داده‌ایم:

$$\begin{align*}u & = {w^2} & \hspace{0.5in}dv & = \sin \left( {10w} \right)\,dw\\ du & = 2w\,dw & \hspace{0.5in}v & = - \frac{1}{{10}}\cos \left( {10w} \right)\end{align*}$$

انتگرال به شکل ساده‌تر زیر تبدیل می‌شود:

$$\int{{{w^2}\sin \left( {10w} \right)\,dw}} = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{1}{5}\int{{w\cos \left( {10w} \right)\,dw}}$$

برخلاف مثال‌های قبلی، در اینجا عبارت دوم در سمت راست که شامل انتگرال است برای حل، نیاز به یک جز به جز دیگر دارد. پس تغییر متغیر برای آن به صورت زیر است:

$$\begin{align*}u & = w & \hspace{0.5in}dv & = \cos \left( {10w} \right)\,dw\\ du & = \,dw & \hspace{0.5in}v & = \frac{1}{{10}}\sin \left( {10w} \right)\end{align*}$$

بنابراین انتگرال جز به جز مثلثاتی به شکل زیر تبدیل می‌شود:

$$\begin{align*}\int{{{w^2}\sin \left( {10w} \right)\,dw}} & = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{1}{5}\left( {\frac{w}{{10}}\sin \left( {10w} \right) - \frac{1}{{10}}\int{{\sin \left( {10w} \right)\,dw}}} \right)\\ & = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{1}{5}\left( {\frac{w}{{10}}\sin \left( {10w} \right) + \frac{1}{{100}}\cos \left( {10w} \right)} \right) + c\\ & = - \frac{{{w^2}}}{{10}}\cos \left( {10w} \right) + \frac{w}{{50}}\sin \left( {10w} \right) + \frac{1}{{500}}\cos \left( {10w} \right) + c\end{align*}$$

باید مراقب ضریب $$\frac{1}{5}$$ باشید، یکی از اشتباهات رایج فراموش کردن ضریب ثابت پشت انتگرال است که باید پس از حل انتگرال در آن ضرب کرد.

مثال سوم انتگرال جز به جز

می‌خواهیم انتگرال زیر را به دو روش جز به جز و جانشینی حل کنیم.

$$\int{{x\sqrt {x + 1} \,dx}}$$

پاسخ:

برای حل این انتگرال به روش جز به جز، تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

$$\begin{align*}u & = x & \hspace{0.5in}dv & = \sqrt {x + 1} \,dx\\ du & = dx & \hspace{0.5in}v & = \frac{2}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}$$

در نتیجه انتگرال به شکل زیر می‌شود:

$$\begin{align*}\int{{x\sqrt {x + 1} \,dx}} &= \frac{2}{3}x{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}\int{{{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}\,dx}}\\ & = \frac{2}{3}x{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{{15}}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{5}{2}}} + c\end{align*}$$

اکنون می‌خواهیم این انتگرال را به روش جانشینی حل کنیم که برای این منظور تغییر متغییر زیر را انجام می‌دهیم:

$$u = x + 1\hspace{0.5in}x = u - 1\hspace{0.5in}du = dx$$

بنابراین انتگرال به شکل زیر می‌شود:

$$\begin{align*}\int{{x\sqrt {x + 1} \,dx}} & = \int{{\left( {u - 1} \right)\sqrt u \,du}}\\ & = \int{{{u^{\frac{3}{2}}} - {u^{\frac{1}{2}}}\,du}}\\ & = \frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} + c\\ & = \frac{2}{5}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{3}{\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} + c\end{align*}$$

در مثال فوق انتگرال یک عبارت را با دو روش حل کردیم اما به دو جواب ظاهرا متفاومت رسیدیم. برای بررسی این موضوع ابتدا لازم است که نکته زیر را یادآوری کنیم:

$$\,\,f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,f\left( x \right) = g\left( x \right) + c$$

به این معنا که اگر مشتق دو تابع با هم برابر باشد آنگاه انتگرال آن‌ها فقط با یک مقدار ثابت تفاوت خواهد داشت. این نکته را در این مثال مورد بررسی قرار می‌دهیم.

$$f'\left( x \right) = g'\left( x \right) = x\sqrt {x + 1}$$

اکنون با انتگرال‌گیری توابع $$f(x)$$ و $$g(x)$$ را حساب می‌کنیم.

$$f\left( x \right) = \int{{f'\left( x \right)\,dx}}\hspace{0.5in}g\left( x \right) = \int{{g'\left( x \right)\,dx}}$$

حال دو مقدار بدست آمده از روش جز به جز و روش جانشینی را از یکدیگر کم می‌کنیم تا مطمئن شویم که این نکته درمورد این مثال صادق است:

$$\begin{array}{l}\left( {\frac{2}{3}x{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{{15}}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}}} \right) - \left( {\frac{2}{5}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{5}{2}}} - \frac{2}{3}{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)\\ \hspace{2.0in} = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( {\frac{2}{3}x - \frac{4}{{15}}\left( {x + 1} \right) - \frac{2}{5}\left( {x + 1} \right) + \frac{2}{3}} \right)\\ \hspace{2.0in} = {\left( {x + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\left( 0 \right)\\ \hspace{2.0in} = 0\end{array}$$

چون اختلاف دو جواب برابر صفر شد نتیجه می‌گیریم که هر دو جواب درست است. باید به این نکته توجه داشت که اختلاف دو مقدار همیشه صفر نمی‌شود بلکه گاهی‌اوقات برابر یک مقدار ثابت می‌شود.

در سوال‌های مانند مثال پنجم که بیش از یک روش برای حل وجود دارد، باید آن روشی را انتخاب کنید که فکر می‌کنید برای شما آسان‌تر است.

الگویی که تا به حال برای حل انتگرال جز به جز داشتیم این‌گونه بود که عبارت چند جمله‌ای را به عنوان $$u$$ و بقیه را به عنوان $$dv$$ انتخاب می‌کردیم اما این الگو همیشه صحیح نیست. به مثال زیر توجه کنید.

مثال چهارم انتگرال جز به جز

می‌خواهیم انتگرال زیر را به روش جز به جز حل کنیم.

$$\int{{\ln x\,dx}}$$

پاسخ:

برخلاف همه مثال‌هایی که تاکنون مطرح شد در اینجا هیچ چند جمله‌ای وجود ندارد و فقط یک لگاریتم داریم. اشتباه رایجی که درمورد چنین سوالاتی انجام می‌شود انتخاب نادرست $$u$$ و $$dv$$ به صورت زیر است:

$$u = 1\hspace{0.5in}dv = \ln x\,dx$$

که $$v$$ ناگزیر به شکل زیر می‌شود:

$$v = \int{{\ln x\,dx}}$$

این انتخاب نادرست دوباره به انتگرال اولیه بازمی‌گردد در نتیجه باید انتخاب را به گونه‌ای دیگر انجام دهیم. بنابراین تغییر متغیر را به شکل زیر انتخاب می‌کنیم:

$$\begin{align*}u & = \ln x & \hspace{0.5in} dv & = \,dx\\ du & = \frac{1}{x}dx & \hspace{0.5in}v & = x\end{align*}$$

پس انتگرال به شکل ساده زیر تبدیل می‌شود:

$$\begin{align*}\int{{\ln x\,dx}} & = x\ln x - \int{{\frac{1}{x}\,x\,dx}}\\ & = x\ln x - \int{{dx}}\\ & = x\ln x - x + c\end{align*}$$

مثال پنجم انتگرال جز به جز

انتگرال زیر را به روش جز به جز حساب کنید.

$$\int{{{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} \,dx}}$$

پاسخ:

در این مثال اگر تغییر متغیر را به صورت زیر انجام دهیم یک انتخاب نادرست خواهد بود؛

$$u = {x^5}\hspace{0.5in} dv = \sqrt {{x^3} + 1} \,dx$$

زیرا $$v$$ به صورت زیر می‌شود که همان انتگرال اولیه است:

$$v = \int{{\sqrt {{x^3} + 1} \,dx}}$$

حل این انتگرال به کمی ابتکار نیاز دارد. اگر $$x^2$$ را به همراه رادیکال داشته باشیم می‌توانیم به راحتی انتگرال را با یک تغییر متغیر حل کنیم برای این منظور می‌توانیم عبارت $$x^5$$ را به صورت $$x^3.x^2$$ بنویسیم. بنابراین تغییر متغیر به شکل زیر خواهد بود:

$$\begin{align*}u & = {x^3} & \hspace{0.5in}dv & = {x^2}\sqrt {{x^3} + 1} \,dx\\ du & = 3{x^2}dx & \hspace{0.5in}v & = \frac{2}{9}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}}\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم انتگرال را به سادگی حل کنیم.

$$\begin{align*}\int{{{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} \,dx}} & = \frac{2}{9}{x^3}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{3}\int{{{x^2}{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}\,dx}}\\ & = \frac{2}{9}{x^3}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{{45}}{\left( {{x^3} + 1} \right)^{\frac{5}{2}}} + c\end{align*}$$

در دو مثال اخیر با دو نمونه انتگرال که از الگوی رایج پیروی نمی‌کردند آشنا شدید. در مثال بعد با یکی دیگر از انواع انتگرال آشنا خواهید شد که حل آن کمی متفاوت است.

مثال ششم انتگرال جز به جز

می‌خواهیم انتگرال جز به جز مثلثاتی زیر را حل کنیم.

$$\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }}$$

پاسخ:

تا اینجا ما همیشه $$u$$ را طوری انتخاب می‌کردیم که با مشتق‌گیری حذف شود یا حداقل انتگرال را به شکل ساده‌تری تبدیل کند اما در این مورد فرقی نمی‌کند که کدام عبارت را به عنوان $$u$$ انتخاب کنیم چون به هرترتیب با مشتق‌گیری حذف نمی‌شود. بنابراین ما این مثال را با دو انتخاب متفاوت حل می‌کنیم.

در انتخاب اول تغییر متغیر را به صورت زیر انجام می‌دهیم:

$$\begin{align*}u & = \cos \theta & \hspace{0.5in}dv & = {{\bf{e}}^\theta }\,d\theta \\ du & = - \sin \theta \,d\theta & \hspace{0.5in}v & = {{\bf{e}}^\theta }\end{align*}$$

انتگرال به شکل زیر تبدیل خواهد شد:

$$\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = {{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + \int{{{{\bf{e}}^\theta }\sin \theta \,d\theta }}$$

انتگرال اولیه دوباره در سمت راست عبارت فوق ظاهر شد.

این‌بار در انتخاب دوم تغییر متغیر را به شکل زیر انجام می‌دهیم:

$$\begin{align*}u & = \sin \theta & \hspace{0.5in}dv & = {{\bf{e}}^\theta }\,d\theta \\ du & = \cos \theta \,d\theta & \hspace{0.5in}v & = {{\bf{e}}^\theta }\end{align*}$$

انتگرال جز به جز مثلثاتی به شکل زیر تبدیل خواهد شد:

$$\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = {{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + {{\bf{e}}^\theta }\sin \theta - \int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }}$$

این‌بار هم انتگرال اولیه در سمت راست عبارت فوق ظاهر شد اما با این تفاوت که یک منفی در پشت آن وجود دارد و می‌توانیم آن را به سمت چپ عبارت ببریم.

$$2\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = {{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + {{\bf{e}}^\theta }\sin \theta$$

و در آخر کافی است تا طرفین را بر دو تقسیم کنیم و در سمت چپ ثابت c را قرار دهیم.

$$\int{{{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta \,d\theta }} = \frac{1}{2}\left( {{{\bf{e}}^\theta }\cos \theta + {{\bf{e}}^\theta }\sin \theta } \right) + c$$

حل انتگرال‌هایی مانند مثال فوق بیشتر مهارت جبر بود تا حل انتگرال. در مثال بعدی یک تکنیک جامع‌تر برای حل انتگرال با روش جز به جز مطرح خوهد شد.

مثال هفتم انتگرال جز به جز

انتگرال جز به جز مثلثاتی زیر را حل می‌کنیم.

$$\displaystyle \int{{4x\cos \left( {2 - 3x} \right)\,dx}}$$

پاسخ:

قدم اول در حل این مثال انتخاب صحیح $$u$$ و $$dv$$ است به طوری که وقتی $$v$$ و $$du$$ را حساب کردیم و از فرمول انتگرال جز به جز استفاده کردیم یک عبارت ساده شده برای انتگرال‌گیری تولید کرده باشد. با این توضیح انتخاب ما برای تغییر متغیر به شکل زیر است:

$$u = 4x\hspace{0.5in}dv = \cos \left( {2 - 3x} \right)\,dx$$

گام دوم این است که $$du$$ را از طریق مشتق گرفتن از $$u$$ و $$v$$ را از طریق انتگرال گرفتن از $$dv$$ حساب کنیم.

$$\begin{align*}u & = 4x & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = 4dx\\ dv & = \cos \left( {2 - 3x} \right)\,dx & \hspace{0.25in} & \to & \hspace{0.25in}v & = - \frac{1}{3}\sin \left( {2 - 3x} \right)\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم $$u$$ و $$v$$ و $$du$$ و $$dv$$ را در رابطه جز به جز قرار دهیم و انتگرال را محاسبه کنیم.

$$\begin{align*}\int{{4x\cos \left( {2 - 3x} \right)\,dx}} & = \left( {4x} \right)\left( { - \frac{1}{3}\sin \left( {2 - 3x} \right)} \right) - \int{{ - \frac{4}{3}\sin \left( {2 - 3x} \right)\,dx}}\\ & = - \frac{4}{3}x\sin \left( {2 - 3x} \right) + \frac{4}{3}\int{{\sin \left( {2 - 3x} \right)\,dx}}\end{align*}$$

در سمت راست رابطه فوق یک انتگرال دیگر ظاهر شد و با محاسبه آن به جواب نهایی زیر می‌رسیم:

$$\int{{4x\cos \left( {2 - 3x} \right)\,dx}} = \require{bbox} { - \frac{4}{3}x\sin \left( {2 - 3x} \right) + \frac{4}{9}\cos \left( {2 - 3x} \right) + c}$$

مثال هشتم انتگرال جز به جز

انتگرال زیر را به روش جز به جز حل کنید.

$$\displaystyle \int{{\left( {3t + {t^2}} \right)\sin \left( {2t} \right)\,dt}}$$

پاسخ:

در انتگرال جز به جز مثلثاتی فوق باید $$u$$ و $$dv$$ را به طور صحیح انتخاب کنیم تا وقتی که $$v$$ و $$du$$ را حساب کردیم یک انتگرال ساده‌تر و قابل حل داشته باشیم برای این منظور در این مثال $$u$$ و $$dv$$ به شکل زیر تعیین شده‌اند:

$$u = 3t + {t^2}\hspace{0.5in}dv = \sin \left( {2t} \right)\,dt$$

حالا می‌توانیم $$v$$ را از طریق انتگرال گرفتن از $$dv$$ و $$du$$ را از طریق مشتق گرفتن از $$u$$ حساب کنیم.

$$\begin{align*}u & = 3t + {t^2} & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = \left( {3 + 2t} \right)dt\\ dv & = \sin \left( {2t} \right)\,dt & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = - \frac{1}{2}\cos \left( {2t} \right)\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم با استفاده از $$u$$ و $$v$$ و $$du$$ و $$dv$$ و رابطه انتگرال جز به جز، بک رابطه ساده‌تر تولید کنیم.

$$\int{{\left( {3t + {t^2}} \right)\sin \left( {2t} \right)\,dt}} = - \frac{1}{2}\left( {3t + {t^2}} \right)\cos \left( {2t} \right) + \frac{1}{2}\int{{\left( {3 + 2t} \right)\cos \left( {2t} \right)\,dt}}$$

با اینکه انتگرال کمی ساده شده ولی هنوز باید با دیگر روش جز به جز را روی جمله انتگرالی در سمت راست اجرا کرد تا ساده‌تر شود. اگر توجه کنید با یک‌بار روش جز به جز یک مرتبه از توان t در انتگرال کاسته شده است پس در مسیر درستی پیش می‌رویم.

تغییر متغیرهای جدید برای جمله انتگرالی به صورت زیر است:

$$\begin{align*}u & = 3 + 2t & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = 2dt\\ dv & = \cos \left( {2t} \right)\,dt & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = \frac{1}{2}\sin \left( {2t} \right)\end{align*}$$

در مرحله آخر کافی است تا انتگرال در قسمت قبل را با این تغییر متغیر جدید با روش جز به جز حل کنیم.

$$\begin{align*}\int{{\left( {3t + {t^2}} \right)\sin \left( {2t} \right)\,dt}} & = - \frac{1}{2}\left( {3t + {t^2}} \right)\cos \left( {2t} \right) + \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\left( {3 + 2t} \right)\sin \left( {2t} \right) - \int{{\sin \left( {2t} \right)\,dt}}} \right]\\ & = - \frac{1}{2}\left( {3t + {t^2}} \right)\cos \left( {2t} \right) + \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2}\left( {3 + 2t} \right)\sin \left( {2t} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {2t} \right)} \right] + c\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{1}{2}\left( {3t + {t^2}} \right)\cos \left( {2t} \right) + \frac{1}{4}\left( {3 + 2t} \right)\sin \left( {2t} \right) + \frac{1}{4}\cos \left( {2t} \right) + c}}\end{align*}$$

مثال نهم انتگرال جز به جز

انتگرال جز به جز مثلثاتی زیر را حل می‌کنیم.

$$\displaystyle \int{{6{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{8}{w}} \right)\,dw}}$$

پاسخ:

مرحله اول انتخاب صحیح $$u$$ و $$dv$$ است. توجه کنید که اگر ما در این مثال معکوس تانژانت را به عنوان $$dv$$ انتخاب کنیم تنها راهی که برای محاسبه $$v$$ وجود دارد انتگرال گرفتن از خود $$dv$$ است که می‌بایست جواب را از قبل بدانیم تا بتوانیم به آن پاسخ دهیم، در نتیجه این شیوه نادرست خواهد بود. بنابراین تنها راه درست انتخاب معکوس تانژانت به عنوان $$u$$ می‌تواند باشد.

پس تغییر متغیر به شکل زیر است:

$$u = 6{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{8}{w}} \right)\hspace{0.5in}dv = \,dw$$

در مرحله بعد $$du$$ را از طریق مشتق گرفتن از $$u$$ و $$v$$ را از طریق انتگرال گرفتن از $$dv$$ حساب می‌کنیم.

$$\begin{align*}u & = 6{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{8}{w}} \right) & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = 6\frac{{ - \frac{8}{{{w^2}}}}}{{1 + {{\left( {\frac{8}{w}} \right)}^2}}}dw = 6\frac{{ - \frac{8}{{{w^2}}}}}{{1 + \frac{{64}}{{{w^2}}}}}dw\\ dv & = \,dw & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = w\end{align*}$$

برای تکمیل سوال باید عبارت $$du$$ را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$du = \frac{{ - 48}}{{{w^2} + 64}}dw$$

اکنون می‌توانیم $$u$$ و $$v$$ و $$du$$ و $$dv$$ را در رابطه جز به جز قرار دهیم و انتگرال را محاسبه کنیم.

$$\int{{6{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{8}{w}} \right)\,dw}} = 6w\tan ^{ - 1}\left( {\frac{8}{w}} \right) + 48\int{{\frac{w}{{{w^2} + 64}}\,dw}}$$

جمله انتگرالی در سمت راست را با یک جانشینی ساده به صورت $$u = 64 + {w^2}$$ می‌توانیم حل کنیم.

$$\int{{6{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{8}{w}} \right)\,dw}} = \require{bbox} {6w\tan ^{ - 1}\left( {\frac{8}{w}} \right) + 24\ln \left| {{w^2} + 64} \right| + c}$$

مثال دهم انتگرال جز به جز

می‌خواهیم انتگرال زیر را به روش جز به جز حل کنیم.

$$\displaystyle \int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}}$$

پاسخ:

در انتگرال جز به جز مثلثاتی فوق نیاز داریم تا $$u$$ و $$dv$$ را به طور صحیح انتخاب کنیم اما در این مثال تفاوتی ندارد که تابع نمایی را کدام یک انتخاب کنیم، این وضعیت درمورد تابع کسینوس نیز صادق است. این شرایط نادر اتفاق می‌افتد. در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به دلخواه انتخاب کردیم:

$$u = \cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\hspace{0.5in}dv = {{\bf{e}}^{2z}}\,dz$$

حالا می‌توانیم $$v$$ را از طریق انتگرال گرفتن از $$dv$$ و $$du$$ را از طریق مشتق گرفتن از $$u$$ حساب کنیم.

$$\begin{align*}u & = \cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = - \frac{1}{4}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right)dz\\ dv & = \,{{\bf{e}}^{2z}}dz & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم $$u$$ و $$v$$ و $$du$$ و $$dv$$ را در رابطه جز به جز قرار دهیم و انتگرال را محاسبه کنیم.

$$\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}} = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) + \frac{1}{8}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}}$$

برای حل جمله انتگرالی در سمت راست معادله نیاز است تا با دیگر از روش جز به جز استفاده کنیم که برای این منظور تغییر متغیرهای جدید به شکل زیر انجام می‌دهیم:

$$\begin{align*}u & = \sin \left( {\frac{1}{4}z} \right) & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = \frac{1}{4}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)dz\\ dv & = \,{{\bf{e}}^{2z}}dz & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\end{align*}$$

ضمن انتگرال گرفتن باید با جمله معادله قبلی نیز آن را جمع کنیم.

$$\begin{align*}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}} & = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) + \frac{1}{8}\left[ {\frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right) - \frac{1}{8}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}}} \right]\\ & = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) + \frac{1}{{16}}{{\bf{e}}^{2z}}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right) - \frac{1}{{64}}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}}\end{align*}$$

برای ادامه باید کمی با عبارات جبری کار کنید تا انتگرال‌های یکسان در همان طرف به وجود بیاید.

$$\begin{align*}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}} & = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) + \frac{1}{{16}}{{\bf{e}}^{2z}}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right) - \frac{1}{{64}}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}}\\ \int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}} + \frac{1}{{64}}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}} & = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) + \frac{1}{{16}}{{\bf{e}}^{2z}}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right)\\ \frac{{65}}{{64}}\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}} & = \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) + \frac{1}{{16}}{{\bf{e}}^{2z}}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right)\end{align*}$$

درآخر باید دو طرف معادله را در $$\frac{64}{65}$$ ضرب کنیم تا ضریب انتگرال در سمت چپ از بین برود.

$$\int{{{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right)\,dz}} = \require{bbox} {\frac{{32}}{{65}}{{\bf{e}}^{2z}}\cos \left( {\frac{1}{4}z} \right) + \frac{4}{{65}}{{\bf{e}}^{2z}}\sin \left( {\frac{1}{4}z} \right) + c}$$

مثال یازدهم انتگرال جز به جز

انتگرال جز به جز مثلثاتی زیر را حل می‌کنیم.

$$\displaystyle \int_{0}^{\pi }{{{x^2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}}$$

پاسخ:

این یک انتگرال معین است و مرحله اول انتخاب صحیح $$u$$ و $$dv$$ است. به طوری که وقتی $$v$$ و $$du$$ را محاسه کردیم و از فرمول انتگرال جز به جز استفاده کردیم یک عبارت ساده شده برای انتگرال‌گیری تولید کرده باشد. با این توضیح انتخاب ما برای تغییر متغیر به شکل زیر است:

$$u = {x^2}\hspace{0.5in}dv = \cos \left( {4x} \right)\,dx$$

انتگرال جدید در سمت راست رابطه فوق را باید با دیگر روش جز به جز را روی آن اجرا کرد تا ساده‌تر شود. اگر توجه کنید با یک‌بار روش جز به جز یک مرتبه از توان x در انتگرال کاسته شده است پس در مسیر درستی پیش می‌رویم. بنابراین تغییر متغیر برای این انتگرال به شکل زیر است:

$$\begin{align*}u & = x & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = dx\\ dv & = \sin \left( {4x} \right)\,dx & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = - \frac{1}{4}\cos \left( {4x} \right)\end{align*}$$

حال با انتخاب $$u$$ و $$dv$$ جدید و استفاده از روش جز به جز می‌توانیم انتگرال را حل کنیم.

$$\begin{align*}\int{{{x^2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}} & = \frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) - \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{4}x\cos \left( {4x} \right) + \frac{1}{4}\int{{\cos \left( {4x} \right)\,dx}}} \right]\\ & = \frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) - \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{4}x\cos \left( {4x} \right) + \frac{1}{{16}}\sin \left( {4x} \right)} \right] + c\\ & = \frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) + \frac{1}{8}x\cos \left( {4x} \right) - \frac{1}{{32}}\sin \left( {4x} \right) + c\end{align*}$$

در آخر باید مقدار کران‌ها را در جواب نهایی لحاظ کرد.

$$\int_{0}^{\pi }{{{x^2}\cos \left( {4x} \right)\,dx}} = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^2}\sin \left( {4x} \right) + \frac{1}{8}x\cos \left( {4x} \right) - \frac{1}{{32}}\sin \left( {4x} \right)} \right)} \right|_0^\pi = {\frac{1}{8}\pi }$$

مثال دوازدهم انتگرال جز به جز

می‌خواهیم این انتگرال را به روش جز به جز حل کنیم.

$$\displaystyle \int{{{t^7}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt}}$$

پاسخ:

در انتگرال جز به جز مثلثاتی فوق ابتدا باید مقادیر $$u$$ و $$dv$$ را مشخص کنیم اگر مثال‌های این مطلب را تا اینجا مطالعه کرده باشید احتمالا $$t^7$$ را به عنوان $$u$$ و $$\sin(2t^4)$$ را به عنوان $$dv$$ انتخاب می‌کنید اما این انتخاب مشکل‌ساز است زیرا برای محاسبه $$v$$ باید انتگرال سینوس را حساب کنیم و چون آرگومان آن $$t^4$$ است این کار ممکن نیست. برای اینکه بتوانیم از سینوس انتگرال بگیریم یک $$t^3$$ در جلوی انتگرال نیاز داریم، این جانشینی در زیر نشان داده شده است:

$$\int{{{t^3}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt}} = \frac{1}{8}\int{{\sin \left( w \right)\,dw}} = - \frac{1}{8}\cos \left( {2{t^4}} \right) + c\hspace{0.25in}w = 2{t^4}$$

شاید این کار نادرست به نظر برسد اما این کار برای این انتگرال بخصوص مشکلی ندارد. بنابراین $$t^7$$ را به شکل $$t^4.t^3$$ می‌نویسیم.

$$\int{{{t^7}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt}} = \int{{{t^4}\,{t^3}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt}}$$

پس از این کار است که می‌توانیم $$u$$ و $$dv$$ را مشخص کنیم.

$$u = {t^4}\hspace{0.5in}dv = {t^3}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt$$

در مرحله بعد $$du$$ را از طریق مشتق گرفتن از $$u$$ و $$v$$ را از طریق انتگرال گرفتن از $$dv$$ حساب می‌کنیم.

$$\begin{align*}u & = {t^4} & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}du & = 4{t^3}dt\\ dv & = \,{t^3}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt & \hspace{0.5in} & \to & \hspace{0.25in}v & = - \frac{1}{8}\cos \left( {2{t^4}} \right)\end{align*}$$

اکنون می‌توانیم $$u$$ و $$v$$ و $$du$$ و $$dv$$ را در رابطه جز به جز قرار دهیم و انتگرال را محاسبه کنیم.

$$\int{{{t^7}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt}} = - \frac{1}{8}{t^4}\cos \left( {2{t^4}} \right) + \frac{1}{2}\int{{{t^3}\cos \left( {2{t^4}} \right)\,dt}}$$

انتگرالی که در سمت راست رابطه فوق وجود دارد با یک جانشینی قابل حل است. بنابراین خواهیم داشت:

$$\int{{{t^7}\sin \left( {2{t^4}} \right)\,dt}} = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - \frac{1}{8}{t^4}\cos \left( {2{t^4}} \right) + \frac{1}{{16}}\sin \left( {2{t^4}} \right) + c}}<br /> $$

باید توجه داشته باشید که الگوهایی که در حل مثال‌ها وجود دارند قانون نیستند و مانند همین مثال اخیر می‌توانند کاملا تغییر کنند.

انتگرال جز به جز مثلثاتی معین

انتگرال‌هایی که در آن‌ها حدود مشخص شده‌اند و به اصطلاح به آن‌ها معین می‌گویند.

مثال‌های انتگرال جز به جز مثلثاتی معین

در این قسمت مثال‌های متنوعی برای آشنایی بیشتر با انتگرال‌های معینی که تابع آن‌ها مثلثاتی است و به روش جز به جز حل می‌شوند ارائه شده است.

 مثال اول انتگرال جز به جز مثلثاتی معین

انتگرال داده شده را در حدود آن محاسبه کنید.

$$\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx$$

پاسخ:

برای حل انتگرال معین، ابتدا باید آن را مانند یک انتگرال نامعین حل کرد سپس حدود انتگرال را در جواب آن جایگذاری کرد.

ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را مشخص کنیم. که در اینجا $$x$$ را به عنوان $$u$$ و $$\sin xdx$$ را به عنوان $$dv$$ انتخاب می‌کنیم. سپس می‌توانیم مطابق فرمول ارائه شده انتگرال را با روش جز به جز حل کنیم.

$$\int x\sin x\,dx=-x\cos x-\int -\cos x\,dx=-x\cos x+\int \cos x\,dx=-x\cos x+\sin x+C.$$

اکنون باید حدود انتگرال اولیه را در جواب جایگذاری کنیم.

$${(-x\cos x+\sin x)} |_0^\pi=(-x\cos x)|_0^\pi+(\sin x)|_0^\pi=-\pi\cos\pi+\sin \pi=\pi$$

مثال دوم انتگرال جز به جز مثلثاتی معین

می‌خواهیم انتگرال $$\int_{0}^{\pi/3} \sec^3 x\,dx$$ را به روش جز به جز حساب کنیم.

پاسخ:

در این مثال نیز باید ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را مشخص کنیم.

$$u=\sec x$$

$$dv=\sec^2 x\,dx$$

در مرحله بعد انتگرال را با روش جز به جز حل می‌کنیم.

$$\eqalign{ \int\sec^3 x\,dx&=\sec x\tan x-\int \tan^2x\sec x\,dx\cr &=\sec x\tan x-\int (\sec^2x-1)\sec x\,dx\cr &=\sec x\tan x-\int \sec^3x\,dx +\int\sec x\,dx.\cr}$$

شاید به درستی پاسخ تردید کنید چون انتگرال در صورت سوال دوباره در جواب به وجود آمد اما با استفاده از کمی جبر می‌توانیم آن را ساده کنیم.

$$\eqalign{ \int\sec^3x\,dx&=\sec x\tan x-\int \sec^3x\,dx +\int\sec x\,dx\cr \int\sec^3x\,dx+\int \sec^3x\,dx&=\sec x\tan x +\int\sec x\,dx\cr 2\int\sec^3x\,dx&=\sec x\tan x +\int\sec x\,dx\cr \int\sec^3x\,dx&={\sec x\tan x\over2} +{1\over2}\int\sec x\,dx\cr &={\sec x\tan x\over2} +{\ln|\sec x+\tan x|\over2}+C.\cr}$$

اکنون باید حدود انتگرال اولیه را در جواب جایگذاری کنیم.

$$({\sec x\tan x\over2} +{\ln|\sec x+\tan x|\over2})|_0^{\pi/3}=\frac{2\sqrt{3}}{2}+\frac{\ln|2+\sqrt{3}|}{2}$$

مثال سوم انتگرال جز به جز مثلثاتی معین

انتگرال داده شده را در حدود آن محاسبه کنید.

$$\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx$$

پاسخ:

ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را مشخص کنیم.

$$u=x$$

$$dv = \cos(x) \ dx$$

سپس می‌توانیم مطابق فرمول ارائه شده انتگرال را با روش جز به جز حل کنیم.

$$\begin{aligned}\int x\cos(x) \, dx &= uv - \int v \, du \\&= x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx \\&= x \sin(x) + \cos(x) + C \quad \end{aligned}$$

حالا می‌توانیم حدود انتگرال را در آن جایگذاری کنیم.

$$( x \sin(x) + \cos(x) )|_{-\pi}^{+\pi}=-1-(-1)=0$$

انتگرال مثلثاتی با چندین بار جز به جز

گاهی اوقات توابعی وجود دارند که برای انتگرال گرفتن از آن‌ها باید چند بار روش جز به جز تکرار شود.

مثال‌های انتگرال جز به جز مثلثاتی نامعین

در این قسمت مثال‌های متنوعی برای آشنایی بیشتر با انتگرال‌های نامعینی که تابع آن‌ها مثلثاتی است و نیازمند چندبار روش جز به جز برای حل هستند، ارائه شده است.

مثال اول انتگرال جز به جز

می‌خواهیم انتگرال زیر را با روش جز به جز حل کنیم.

$$\int{{{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}\,dx}}$$

پاسخ:

در این نوع انتگرال‌ها که نیاز دارد عملیات جز به جز چندبار تکرار شود، $$u$$ و $$dv$$ را تعیین می‌کنیم و در جدولی مانند زیر درج می‌کنیم. ستون مربوط به $$u$$ را آنقدر مشتق می‌گیریم تا به عدد ثابت برسد و ستون مربوط به $$dv$$ را نیز به تعداد سطرهای ستون قبلی باید انتگرال بگیریم. در ستون سوم نیز علامت وجود دارد که همیشه از مثبت شروع می‌شود و یک‌به‌یک تغییر می‌کند.

در نهایت پاسخ انتگرال به شکل زیر خواهد شد:

$$\begin{align*}\int{{{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}\,dx}} & = \left( {{x^4}} \right)\left( {2{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) - \left( {4{x^3}} \right)\left( {4{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) + \left( {12{x^2}} \right)\left( {8{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) - \left( {24x} \right)\left( {16{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) + \left( {24} \right)\left( {32{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right)\\ & = 2{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} - 16{x^3}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + 96{x^2}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} - 384x{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + 768{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + c\end{align*}$$

مثال دوم انتگرال جز به جز

انتگرال جز به جز مثلثاتی زیر را حل می‌کنیم.

$$\displaystyle \int{{{y^6}\cos \left( {3y} \right)\,dy}}$$

پاسخ:

طبق معمول باید ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را مشخص کنیم. که در اینجا $$y^6$$ را به عنوان $$u$$ و $$\cos \left( {3y} \right)$$ را به عنوان $$dv$$ انتخاب می‌کنیم. چون برای حل این مثال باید چندین بار روش جز به جز را انجام دهیم از جدول زیر برای نمایش مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ و سپس ضرب آن‌ها در یکدیگر استفاده کرده‌ایم.

$$\begin{array}{rrr} {{y}^{6}} & \cos \left( 3y \right) & + \\ 6{{y}^{5}} & \displaystyle \frac{1}{3}\sin \left( 3y \right) & - \\ 30{{y}^{4}} & \displaystyle -\frac{1}{9}\cos \left( 3y \right) & + \\ 120{{y}^{3}} & \displaystyle -\frac{1}{27}\sin \left( 3y \right) & - \\ 360{{y}^{2}} & \displaystyle \frac{1}{81}\cos \left( 3y \right) & + \\ 720y & \displaystyle \frac{1}{243}\sin \left( 3y \right) & - \\ 720 & \displaystyle -\frac{1}{729}\cos \left( 3y \right) & + \\ 0 & \displaystyle -\frac{1}{2187}\sin \left( 3y \right) & - \\\end{array}$$

بنابراین پاسخ انتگرال جز به جز مثلثاتی فوق به شکل زیر خواهد بود:

$$\begin{align*}\int{{{y^6}\cos \left( {3y} \right)\,dy}} & = \left( {{y^6}} \right)\left( {\frac{1}{3}\sin \left( {3y} \right)} \right) - \left( {6{y^5}} \right)\left( { - \frac{1}{9}\cos \left( {3y} \right)} \right) + \left( {30{y^4}} \right)\left( { - \frac{1}{{27}}\sin \left( {3y} \right)} \right)\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \left( {120{y^3}} \right)\left( {\frac{1}{{81}}\cos \left( {3y} \right)} \right) + \left( {360{y^2}} \right)\left( {\frac{1}{{243}}\sin \left( {3y} \right)} \right)\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \left( {720y} \right)\left( { - \frac{1}{{729}}\cos \left( {3y} \right)} \right) + \left( {720} \right)\left( { - \frac{1}{{2187}}\sin \left( {3y} \right)} \right) + c\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*} & \frac{1}{3}{y^6}\sin \left( {3y} \right) + \frac{2}{3}{y^5}\cos \left( {3y} \right) - \frac{{10}}{9}{y^4}\sin \left( {3y} \right) - \frac{{40}}{{27}}{y^3}\cos \left( {3y} \right)\\ & \hspace{0.5in} + \frac{{40}}{{27}}{y^2}\sin \left( {3y} \right) + \frac{{80}}{{81}}y\cos \left( {3y} \right) - \frac{{80}}{{243}}\sin \left( {3y} \right) + c\end{align*}}\end{align*}$$

مثال سوم انتگرال جز به جز

انتگرال زیر را می‌خواهیم به روش جز به جز حل کنیم.

$$\displaystyle \int{{\left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}}$$

پاسخ:

در مثال نیز باید ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را تعیین کنیم که در اینجا $$( 4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3)$$ را به عنوان $$u$$ و $${e}^{ - x}$$ را به عنوان $$dv$$ انتخاب کردیم. چون برای حل این مثال باید چندین بار روش جز به جز را انجام دهیم از جدول زیر برای نمایش مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ و سپس ضرب آن‌ها در یکدیگر استفاده می‌کنیم.

$$\begin{array}{rrr} 4{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+7x+3 & {{\mathbf{e}}^{-x}} & + \\ 12{{x}^{2}}-18x+7 & -{{\mathbf{e}}^{-x}} & - \\ 24x-18 & {{\mathbf{e}}^{-x}} & + \\ 24 & -{{\mathbf{e}}^{-x}} & - \\ 0 & {{\mathbf{e}}^{-x}} & + \\\end{array}$$

بنابراین جواب انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$\begin{align*}\int{{\left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}} & = \left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right)\left( { - {{\bf{e}}^{ - x}}} \right) - \left( {12{x^2} - 18x + 7} \right)\left( {{{\bf{e}}^{ - x}}} \right)\\ & \hspace{0.5in} + \left( {24x - 18} \right)\left( { - {{\bf{e}}^{ - x}}} \right) - \left( {24} \right)\left( {{{\bf{e}}^{ - x}}} \right) + c\\ & = - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right) - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {12{x^2} - 18x + 7} \right)\\ & \hspace{0.5in} - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {24x - 18} \right) - 24{{\bf{e}}^{ - x}} + c\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 13x + 16} \right)+c}}\end{align*}$$

تمرین انتگرال جز به جز مثلثاتی

اکنون که با حل انتگرال‌های شامل توابع مثلثاتی با استفاده از روش جز به جز آشنا شدید، در این قسمت می‌توانید آموخنه‌های خود را بسنجید.