انتگرال جز به جز جدولی – آموزش روش تشکیل جدول با مثال

روش جز به جز یک شیوه خلاقانه برای حل انتگرال‌های نسبتا پیچیده است. در این روش از یک قسمت از عبارت درون انتگرال مشتق و از بقیه عبارت انتگرال می‌گیریم. برای ساده‌تر شدن این کار می‌توانیم از یک جدول استفاده کنیم تا محاسبات را بهتر انجام دهیم که به اصطلاح به آن انتگرال جدولی نیز می‌گویند. در این مطلب از مجله فرادرس به بررسی روش محاسبه انتگرال جز به جز جدولی می‌پردازیم که یک روش جالب برای حل انتگرال‌ است. اگر به این موضوع علاقه‌مند هستید این مطلب را تا آخر مطالعه کنید.

معرفی انتگرال

انتگرال عکس عمل مشتق است که گاهی به آن ضدمشتق یا پادمشتق نیز می‌گویند که به صورت زیر تعریف می‌شود:

$$\int \acute{f(x)}dx=f(x)$$

معرفی روش جز به جز

انتگرال به روش جز به جز که برخی آن را روش بازگشتی نیز می‌نامند، یک روش راحت و خلاقانه برای حل انتگرال‌های نسبتا پیچیده که معمولا به شکل حاصلضرب دو یا سه تابع هستند. انتگرال جز به جز را برای راحتی می‌توان به شکل یک جدول نوشت تا محاسبات مشتق و انتگرال را به صورت آسان‌تری انجام دهیم که در ادامه به صورت کامل آن را توضیح خواهیم داد.

برای تعریف روش جز به جز ابتدا از قضیه حاصلضرب مشتق شروع می‌کنیم:

$${\left( {f\,g} \right)^\prime } = f'\,g + f\,g'$$

حال از هر دو طرف رابطه انتگرال می‌گیریم:

$$\int{{{{\left( {f\,g} \right)}^\prime }\,dx}} = \int{{f'\,g + f\,g'\,dx}}$$

انتگرال در سمت چپ عبارت فوق راحت است چون از قبل می‌دانیم که انتگرال عکس عمل مشتق است. سمت راست عبارت را جدا می‌کنیم.

$$fg = \int{{f'\,g\,dx}} + \int{{f\,g'\,dx}}$$

اکنون رابطه بالا را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\int{{f\,g'\,dx}} = fg - \int{{f'\,g\,dx}}$$

به خاطر سپردن و استفاده از فرمول فوق کار راحتی نیست به همین دلیل تغییر متغیرهای زیر را در این رابطه انجام می‌دهیم:

$$\begin{align*}u = f\left( x \right)\hspace{0.5in}v = g\left( x \right) \\ du = f'\left( x \right)\,dx\hspace{0.5in}dv = g'\left( x \right)\,dx\end{align*}$$

در زیر فرمول ساده انتگرال به روش جز به جز آمده است:

$$\int{{u\,dv}} = uv - \int{{v\,du}}$$

برای استفاده از این فرمول باید در هر انتگرال مقادیر $$u$$ و $$dv$$ را شناسایی کنیم و بعد می‌توانیم $$v$$ و $$du$$ را حساب کنیم سپس در فرمول بالا قرار دهیم. توجه داشته باشید که محاسبه $$v$$ بسیار راحت است و فقط کافی است تا از $$dv$$ انتگرال بگیریم.

$$v = \int{{dv}}$$

شناسایی درست مقادیر $$u$$ و $$dv$$ بسیار حائز اهمیت است اگر این مقادیر را درست انتخاب کرده باشیم آنگاه فرمول انتگرال جز به جز باید انتگرال‌های ساده برای محاسبه تولید کند ولی اگر انتخاب این دو مقدار را اشتباه انجام دهیم می‌توانیم دوباره از ابتدا انتخاب خود را تغییر دهیم.

شرایط و نحوه استفاده از روش جز به جز در انتگرال

در روش جز به جز ابتدا باید به سه سوال زیر پاسخ دهیم:

1. کدام انتگرال‌ها با روش جز به جز قابل حل هستند؟
2. کدام بخش از تابع را $$u$$ انتخاب کنیم؟
3. چند بار از روش جز به جز باید استفاده کرد؟

به کمک دسته‌بندی و نکات زیر می‌توانیم به این سوالات پاسخ دهیم.

• دسته اول: شامل توابع لگاریتمی، معکوس مثلثاتی و معکوس هایپربولیک
• دسته دوم: توابع چندجمله‌ای
• دسته سوم: توابع نمایی، مثلثاتی و هایپربولیک که پیش‌تر نیز راجع به توابع هایپربولیک در مجله فرادرس صحبت شده است و می‌توانید مطلب مربوط به آن را مطالعه کنید.

با توجه دسته‌بندی فوق تعداد دفعات استفاده از روش جز به جز در انتگرال‌گیری به شرح زیر است:

• انتگرال‌گیری از توابع دسته اول را یکبار انجام می‌دهیم.
• انتگرال‌گیری از حاصل‌ضرب توابع دسته دوم در اول را یکبار انجام می‌دهیم.
• انتگرال‌گیری از حاصل‌ضرب توابع دسته دوم در سوم را به تعداد بالاترین درجه چندجمله‌ای انجام می‌دهیم.
• انتگرال‌گیری از حاصل‌ضرب توابع دسته سوم را دوبار انجام می‌دهیم.
• انتگرال‌گیری از توابع $$\sec$$ با توان فرد را یکبار انجام می‌دهیم.

نکته: در کلیه موارد $$u$$ را از دسته پایین‌تر انتخاب می‌کنیم.

برای سادگی استفاده از روش جز به جز مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ را در جدولی مانند زیر انجام می‌دهیم:

در ادامه مثال‌های را برای هر دسته‌بندی ارائه کرده‌ایم.

انتگرال شامل توابع لگاریتمی، معکوس مثلثاتی و معکوس هایپربولیک

در این قسمت مثال‌هایی برای انتگرال‌هایی که شامل توابع لگاریتمی، معکوس مثلثاتی و معکوس هایپربولیک هستند و حاصل ضرب آن‌ها در یکدیگر ارائه می‌شوند. همان‌طور که قبلا گفته شد، برای حل این گونه موارد یکبار استفاده از روش جز به جز کافی است.

مثال اول انتگرال جز به جز جدولی

می‌خواهیم انتگرال $$\int x\ln x\,dx$$ را به روش جز به جز حل کنیم.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب خواهیم کرد:

$$u=lnx$$

$$dv=x\,dx$$

بنابراین برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده می‌کنیم.

عملیات جدول فوق را می‌توانیم به صورت خطی نیز بنویسیم.

$$\int x\ln x\,dx={x^2\ln x\over 2}-\int {x^2\over2}{1\over x}\,dx$$

انتگرال در سمت راست معادله بالا بسیار ساده است. بنابراین جواب نهایی به صورت زیر خواهد بود:

$$\int x\ln x\,dx= {x^2\ln x\over 2}-\int {x\over2}\,dx={x^2\ln x\over 2}-{x^2\over4}+C.$$

مثال دوم انتگرال جز به جز جدولی

انتگرال $$\displaystyle \int \arctan x \,dx$$ را با استفاده از روش جز به جز محاسبه کنید.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=\arctan x$$

$$dv=dx.$$

درنتیجه $$du$$ و $$v$$ به صورت زیر خواهند شد:

$$du=1/(1+x^2)\,dx$$

$$v=x$$

برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده خواهیم کرد.

اگر جدول فوق را به صورت خطی بنویسیم خواهیم داشت:

$$\int \arctan x \,dx = x\arctan x - \int \frac x{1+x^2}\,dx.$$

انتگرال به وجود آمده در سمت راست را با روش جانشینی حل می‌کنیم و در آن $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=1+x^2$$

$$du=2x\,dx$$

شکل کلی انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$\int \arctan x \,dx = x\arctan x - \frac12\int \frac 1{u}\,du.$$

جواب جمله انتگرالی در سمت راست به صورت $$\ln|u|+C$$ است و زمانی که آن را به متغیر اصلی برگردانی به شکل $$\ln(1+x^2)+C$$ می‌شود. بنابراین جواب نهایی انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$\int \arctan x\ dx = x\arctan x - \ln(1+x^2) + C.$$

انتگرال شامل حاصل ضرب توابع چندجمله‌ای در توابع لگاریتمی، معکوس مثلثاتی و معکوس هایپربولیک

در اینجا مثال‌هایی برای انتگرال‌هایی که شامل حاصل ضرب توابع چندجمله‌ای در توابع لگاریتمی، معکوس مثلثاتی و معکوس هایپربولیک هستند ارائه می‌کنیم. مطابق آنچه که قبلا اشاره شد، برای حل این گونه موارد یکبار استفاده از روش جز به جز کافی است.

مثال اول انتگرال جز به جز جدولی

می‌خواهیم انتگرال معین  $$\displaystyle \int_1^2 x^2 \ln x \,dx$$ را به روش جز به جز حل کنیم.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب خواهیم کرد:

$$u=lnx$$

$$dv=x^2dx$$

در ادامه برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده کردیم.

درنتیجه اگر جدول فوق را به صورت خطی بنویسیم خواهیم داشت:

$$\int_1^2 x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}3\ln x - \int_1^2 \frac{x^3}{3}\,\frac 1x\,dx$$

با ساده‌سازی و اعمال حدود به رابطه فوق، شکل انتگرال به صورت زیر خواهد شد:

$$\int_1^2 x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}3\ln x\bigg|_1^2 - \int_1^2 \frac{x^3}{3}\,\frac 1x\,dx \\= \frac{x^3}3\ln x\bigg|_1^2 - \int_1^2 \frac{x^2}{3}\,dx \\$$

حاصل انتگرال در سمت راست نیز به شکل زیر است:

$$\frac{x^3}{9}$$

بنابراین پاسخ انتگرال با جمع کردن جملات و اعمال حدود به صورت زیر می‌شود:

$$\frac{x^3}3\ln x\bigg|_1^2 - \frac{x^3}{9}\bigg|_1^2\\ = \left(\frac{x^3}3\ln x - \frac{x^3}{9}\right)\bigg|_1^2\\ = \left(\frac83\ln 2 - \frac89\right)-\left(\frac13\ln 1 - \frac19\right) \\ = \frac83\ln 2 - \frac79 \\ \approx 1.07.$$

مثال دوم انتگرال جز به جز جدولی

می‌خواهیم انتگرال $$\displaystyle \int \ln x\,dx$$ را به روش جز به جز حل کنیم.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب خواهیم کرد:

$$u=(x+2)$$

$$dv= e^{x} \,dx$$

در مرحله بعد برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده خواهیم کرد.

می‌توانیم جدول فوق را به صورت خطی بنویسیم.

$$(x + 2)e^x - \int e^x dx$$

می‌دانیم $$\int e^x dx=e^x$$ درنتیجه پس از ساده‌سازی عبارت به شکل زیر می‌شود:

$$\displaystyle \int \ln x\,dx = (x + 2)e^x - e^x + c = e^x(x + 2 - 1) + c=(x + 1)e^x + c$$

انتگرال شامل حاصل ضرب توابع چندجمله‌ای در توابع نمایی، مثلثاتی و هایپربولیک

در این قسمت مثال‌هایی برای انتگرال‌هایی که شامل حاصل ضرب توابع چندجمله‌ای در توابع نمایی، مثلثاتی و هایپربولیک هستند مطرح می‌شود. همان‌طور که قبلا گفته شد، به تعداد بالاترین درجه چندجمله‌ای باید از روش جز به جز استفاده کرد.

مثال اول انتگرال جز به جز جدولی

می‌خواهیم انتگرال $$\displaystyle \int x\cos{x}\ dx$$ را به روش جز به جز حل کنیم.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب کردیم:

$$u=x$$

$$dv=\cos{x}\ dx$$

در ادامه برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده کردیم.

اگر جدول فوق را به صورت خطی بنویسیم خواهیم داشت:

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x \,dx.$$

$$\int x\cos x\ dx = x\sin x + \cos x + C.$$

مثال دوم انتگرال جز به جز جدولی

حاصل انتگرال $$\displaystyle \int x e^x\,dx$$ را با استفاده از روش جز به جز بدست آورید.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=x$$

$$dv=e^x\,dx$$

در مرحله بعد برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده می‌کنیم.

عملیات جدول فوق را می‌توانیم به صورت خطی نیز بنویسیم.

$$\int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx.$$

$$\int xe^x\ dx = xe^x - e^x + C.$$

مثال سوم انتگرال جز به جز جدولی

می‌خواهیم انتگرال $$\displaystyle \int x^2\cos x \,dx$$ را به روش جز به جز حل کنیم.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب خواهیم کرد:

$$u=x^2$$

$$dv=\cos{x}\ dx$$

بنابراین برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده می‌کنیم.

اگر جدول فوق را به صورت خطی بنویسیم خواهیم داشت:

$$\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - \int 2x\sin x\,dx.$$

در این مثال، انتگرال در سمت راست معادله نیاز به جز به جز دیگری دارد درنتیجه $$u$$ و $$dv$$ در آن را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=2x$$

$$dv=\sin x\,dx.$$

بنابراین جدول مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ را به صورت زیر می‌نویسیم:

عملیات جدول فوق را می‌توانیم به صورت خطی نیز بنویسیم و با جمله اول در سمت راست معادله قبلی جمع می‌کنیم.

$$\int x^2\cos x\ dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C.$$

مثال چهارم انتگرال جز به جز جدولی

انتگرال جز به جز مثلثاتی زیر را حل می‌کنیم.

$$\displaystyle \int{{{y^6}\cos \left( {3y} \right)\,dy}}$$

پاسخ:

طبق معمول باید ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را مشخص کنیم. که در اینجا $$y^6$$ را به عنوان $$u$$ و $$\cos \left( {3y} \right)$$ را به عنوان $$dv$$ انتخاب می‌کنیم. چون برای حل این مثال باید چندین بار روش جز به جز را انجام دهیم از جدول زیر برای نمایش مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ و سپس ضرب آن‌ها در یکدیگر استفاده کرده‌ایم.

بنابراین پاسخ انتگرال جز به جز فوق به شکل زیر خواهد بود:

$$\begin{align*}\int{{{y^6}\cos \left( {3y} \right)\,dy}} & = \left( {{y^6}} \right)\left( {\frac{1}{3}\sin \left( {3y} \right)} \right) - \left( {6{y^5}} \right)\left( { - \frac{1}{9}\cos \left( {3y} \right)} \right) + \left( {30{y^4}} \right)\left( { - \frac{1}{{27}}\sin \left( {3y} \right)} \right)\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \left( {120{y^3}} \right)\left( {\frac{1}{{81}}\cos \left( {3y} \right)} \right) + \left( {360{y^2}} \right)\left( {\frac{1}{{243}}\sin \left( {3y} \right)} \right)\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \left( {720y} \right)\left( { - \frac{1}{{729}}\cos \left( {3y} \right)} \right) + \left( {720} \right)\left( { - \frac{1}{{2187}}\sin \left( {3y} \right)} \right) + c\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{\begin{align*} & \frac{1}{3}{y^6}\sin \left( {3y} \right) + \frac{2}{3}{y^5}\cos \left( {3y} \right) - \frac{{10}}{9}{y^4}\sin \left( {3y} \right) - \frac{{40}}{{27}}{y^3}\cos \left( {3y} \right)\\ & \hspace{0.5in} + \frac{{40}}{{27}}{y^2}\sin \left( {3y} \right) + \frac{{80}}{{81}}y\cos \left( {3y} \right) - \frac{{80}}{{243}}\sin \left( {3y} \right) + c\end{align*}}\end{align*}$$

مثال پنجم انتگرال جز به جز جدولی

انتگرال $$\int x^2\sin x\,dx$$ را با استفاده از روش جز به جز محاسبه کنید.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=x^2$$

$$dv=\sin x\,dx$$

سپس برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده خواهیم کرد.

می‌توانیم عملیات جدول فوق را به صورت خطی نیز بنویسیم.

$$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx$$

برای حل انتگرال به وجود آمده در سمت چپ باید یکبار دیگر از روش جز به جز استفاده کنیم. بدین منظور $$u$$ و $$dv$$ جدید را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=2x$$

$$dv=\cos x\,dx$$

در مرحله بعد از جدول زیر برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ استفاده می‌کنیم.

در آخر با جواب مرحله قبلی به صورت زیر جمع می‌کنیم:

$$\eqalign{ \int x^2\sin x\,dx&=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx\cr &=-x^2\cos x+ 2x\sin x - \int 2\sin x\,dx\cr &=-x^2\cos x+ 2x\sin x + 2\cos x + C.\cr}$$

مثال ششم انتگرال جز به جز

انتگرال زیر را می‌خواهیم به روش جز به جز حل کنیم.

$$\displaystyle \int{{\left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}}$$

پاسخ:

در مثال نیز باید ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را تعیین کنیم که در اینجا $$( 4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3)$$ را به عنوان $$u$$ و $${e}^{ - x}$$ را به عنوان $$dv$$ انتخاب کردیم. چون برای حل این مثال باید چندین بار روش جز به جز را انجام دهیم از جدول زیر برای نمایش مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ و سپس ضرب آن‌ها در یکدیگر استفاده می‌کنیم.

بنابراین جواب انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$\begin{align*}\int{{\left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right){{\bf{e}}^{ - x}}\,dx}} & = \left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right)\left( { - {{\bf{e}}^{ - x}}} \right) - \left( {12{x^2} - 18x + 7} \right)\left( {{{\bf{e}}^{ - x}}} \right)\\ & \hspace{0.5in} + \left( {24x - 18} \right)\left( { - {{\bf{e}}^{ - x}}} \right) - \left( {24} \right)\left( {{{\bf{e}}^{ - x}}} \right) + c\\ & = - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {4{x^3} - 9{x^2} + 7x + 3} \right) - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {12{x^2} - 18x + 7} \right)\\ & \hspace{0.5in} - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {24x - 18} \right) - 24{{\bf{e}}^{ - x}} + c\\ & = \require{bbox} \bbox[2pt,border:1px solid black]{{ - {{\bf{e}}^{ - x}}\left( {4{x^3} + 3{x^2} + 13x + 16} \right)+c}}\end{align*}$$

مثال هفتم انتگرال جز به جز جدولی

می‌خواهیم انتگرال $$\int{{{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}\,dx}}$$ را به روش جز به جز حل کنیم.

پاسخ:

در مثال نیز باید ابتدا $$u$$ و $$dv$$ را تعیین کنیم که در اینجا $$x^4$$ را به عنوان $$u$$ و $${{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}$$ را به عنوان $$dv$$ انتخاب کردیم. چون برای حل این مثال باید چندین بار روش جز به جز را انجام دهیم از جدول زیر برای نمایش مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ و سپس ضرب آن‌ها در یکدیگر استفاده می‌کنیم.

درنهایت ضرب‌ها را به صورت خطی نوشته و ساده‌سازی انجام می‌دهیم.

$$\begin{align*}\int{{{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}\,dx}} & = \left( {{x^4}} \right)\left( {2{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) - \left( {4{x^3}} \right)\left( {4{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) + \left( {12{x^2}} \right)\left( {8{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) - \left( {24x} \right)\left( {16{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right) + \left( {24} \right)\left( {32{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}}} \right)\\ & = 2{x^4}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} - 16{x^3}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + 96{x^2}{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} - 384x{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + 768{{\bf{e}}^{\frac{x}{2}}} + c\end{align*}$$

انتگرال شامل توابع چندجمله‌ای

انتگرال‌هایی که شامل حاصل ضرب توابع چندجمله‌ای در یکدیگر هستند با دوبار استفاده از روش جز به جز قابل محاسبه هستند. در این قسمت مثالی ارائه خواهد شد.

مثال اول انتگرال جز به جز جدولی

حاصل انتگرال $$\displaystyle \int e^x\cos x \,dx$$ را با استفاده از روش جز به جز بدست آورید.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=e^x$$

$$dv=\cos x \,dx.$$

در ادامه برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده کردیم و یکبار جز به جز را انجام دادیم.

اگر جدول فوق را به صورت خطی بنویسیم خواهیم داشت:

$$\int e^x\cos x\ dx = e^x\sin x - \int e^x\sin x\,dx.$$

در این مثال نیز، انتگرال در سمت راست معادله نیاز به جز به جز دیگری دارد درنتیجه $$u$$ و $$dv$$ در آن را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=e^x$$

$$dv=\sin x \,dx.$$

سپس جدول مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ را به صورت زیر می‌نویسیم:

اکنون حاصل این انتگرال را با جمله اول سمت راست معادله قبلی جمع می‌کنیم.

$$\begin{align*} \int e^x\cos x\,dx &= e^x\sin x - \left(-e^x\cos x - \int -e^x\cos x\,dx\right)\\ &= e^x\sin x+ e^x\cos x - \int e^x\cos x\ dx.\end{align*}$$

به نظر می‌رسد انتگرال سمت راست همان انتگرال اولیه است که باید آن را به سمت چپ معادله ببریم و رابطه فوق را به شکل زیر بازنویسی کنیم:

$$2\int e^x\cos x\ dx = e^x\sin x + e^x\cos x \\$$

طرفین معادله را بر ۲ تقسیم می‌کنیم.

$$\int e^x\cos x\ dx = \frac{1}{2}\big(e^x\sin x + e^x\cos x\big)$$

با کمی ساده‌سازی و افزودن c به جواب معادله به شکل زیر خواهد شد:

$$\int e^x\cos x\ dx = \frac12e^x\left(\sin x + \cos x\right)+C.$$

انتگرال شامل توابع $$\sec$$ با توان فرد

یکبار استفاده از روش جز به جز برای حل اینگونه سوالات کافی است. به مثال زیر توجه کنید.

مثال اول انتگرال جز به جز جدولی

حاصل انتگرال $$\int\sec^3 x\,dx$$ را با استفاده از روش جز به جز بدست آورید.

پاسخ:

در این مثال $$u$$ و $$dv$$ را به صورت زیر انتخاب می‌کنیم:

$$u=\sec x$$

$$dv=\sec^2 x\,dx$$

در ادامه برای مشتق گرفتن از $$u$$ و انتگرال گرفتن از $$dv$$ از جدول زیر استفاده کردیم.

اگر جدول فوق را به صورت خطی بنویسیم خواهیم داشت:

$$\int\sec^3 x\,dx=\sec x\tan x-\int \tan^2x\sec x\,dx$$

با ساده‌سازی به شکل زیر می‌رسیم:

$$\eqalign{ \int\sec^3 x\,dx&=\sec x\tan x-\int \tan^2x\sec x\,dx\cr &=\sec x\tan x-\int (\sec^2x-1)\sec x\,dx\cr &=\sec x\tan x-\int \sec^3x\,dx +\int\sec x\,dx.\cr}$$

انتگرال $$\int\sec^3 x\,dx$$ که در سمت راست حاصل شده است را می‌توانیم به سمت چپ معادله ببریم و ساده کنیم.

$$\eqalign{ \int\sec^3x\,dx&=\sec x\tan x-\int \sec^3x\,dx +\int\sec x\,dx\cr \int\sec^3x\,dx+\int \sec^3x\,dx&=\sec x\tan x +\int\sec x\,dx\cr 2\int\sec^3x\,dx&=\sec x\tan x +\int\sec x\,dx\cr \int\sec^3x\,dx&={\sec x\tan x\over2} +{1\over2}\int\sec x\,dx\cr &={\sec x\tan x\over2} +{\ln|\sec x+\tan x|\over2}+C.\cr}$$

نتیجه‌گیری

انتگرال جز به جز یک روش جالب و کاربردی برای حل انتگرال‌های نسبتا پیچیده است. در انتگرال جز به جز جدولی، بخشی از انتگرال داده شده را مشتق و بخشی دیگر را انتگرال می‌گیریم و آن‌ها را ضرب می‌کنیم. برای سادگی این کار مشتق‌ها و انتگرال‌ها را در یک جدول می‌نویسیم. در این مطلب از مجله فرادرس این روش را به همراه مثال‌های متنوع بررسی کردیم.