انتگرال جز به جز + آموزش فرمول و نمونه سوال با جواب

انتگرال جز به جز، یک روش مخصوص برای انتگرال‌گیری از ضرب دو تابع متفاوت است. این روش، معمولا برای توابعی مورد استفاده قرار می‌گیرد که فرمول مستقیمی برای به دست آوردن انتگرال آن‌ها وجود ندارد. به عنوان مثال، فرمول انتگرال توابع مثلثاتی وارون، با استفاده از انتگرال گیری جز به جز به دست می‌آید. در این مقاله، به معرفی انتگرال جز به جز و روش‌های مختلف آن نظیر انتگرال جز به جز جدولی و بازگشتی به همراه حل چندین مثال از توابع مختلف نظیر توابع مثلثاتی، لگاریتمی، نمایی، مثلثاتی وارون و غیره می‌پردازیم.

انتگرال جز به جز چیست ؟

«انتگرال جز به جز» (Integration by Parts)، روشی است که به منظور انتگرال‌گیری از ضرب دو یا چند تابع متفاوت مورد استفاده قرار می‌گیرد.

فرمول کلی انتگرال جز به جز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول، تغییر متغیرهای زیر را در نظر بگیرید:

$$f ( x ) = u$$

$$g ( x ) = v$$

$$f ' ( x ) = d u$$

$$g ' ( x ) = d v$$

بر اساس این تغییر متغیرها، فرمول انتگرال جز به جز به شکل زیر درمی‌آید:

$$\int u d v = u v - \int v d u$$

u و v می‌توانند هر تابعی باشند. البته مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از توابع مختلف با یکدیگر تفاوت دارند. بنابراین، ممکن است در یک مسئله، با دو تابعی رو به رو شوید که به دست آوردن مشتق یکی از آن‌ها، ساده‌تر از به دست آوردن مشتق دیگری بوده و تعیین انتگرال یکی از آن‌ها، ساده‌تر از تعیین انتگرال دیگری باشد.

بنابراین، نکته مهم در حل تمرین‌های مربوط به مبحث انتگرال جز به جز، انتخاب درست تابع u و v به منظور جلوگیری از پیچیدگی محاسبات است. در این مقاله، با مشاهده و حل مثال‌های متنوع، به مرور این مهارت را کسب خواهید کرد.

مثال ۱: محاسبه انتگرال ایکس سینوس ایکس

انتگرال $$x \sin ( x )$$ را به دست بیاورید.

$$x \sin ( x )$$، ضرب متغیر x در تابع sin(x) را نمایش می‌دهد. بنابراین، برای انتگرال‌‌گیری از آن، می‌توانیم فرمول انتگرال جز به جز را مورد استفاده قرار دهیم. این فرمول، عبارت است از:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

نکته مهم در استفاده از این فرمول، انتخاب صحیح توابع f(x) و g'(x)، با توجه به سهولت مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری آن‌ها است. در این مثال، مشتق‌گیری از x، ساده‌تر از مشتق‌گیری از sin(x) بوده و انتگرال‌گیری از sin(x)، نسبتا ساده‌تر از انتگرال‌گیری از x است.

بنابراین، در صورت انتخاب x به عنوان f(x) و sin(x) به عنوان g'(x)، انتگرال‌گیری جز به جز با راحتی بیشتری انجام خواهد شد. تغییر متغیرهای مذکور عبارت هستند از:

$$f ( x) = x$$

$$g ' ( x ) = \sin ( x )$$

برای به دست آوردن f'(x)، از x مشتق می‌گیریم:

$$f ' ( x) = ۱$$

به منظور تعیین g'(x)، انتگرال سینوس را به دست می‌آوریم:

$$g ( x ) = - \cos ( x )$$

تغییر متغیرها را درون فرمول انتکرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int x \sin ( x ) d x = - x \cos ( x ) - \int - ۱ \times \cos ( x ) d x$$

$$\int x \sin ( x ) d x = - x \cos ( x ) + \int\cos ( x ) d x$$

انتگرال cos(x) برابر با sin(x) است. بنابراین:

$$\int x \sin ( x ) d x = - x \cos ( x ) + \sin ( x )$$

$$\int x \sin ( x ) d x = \sin ( x ) - x \cos ( x )$$

به این ترتیب، انتگرال حاصل‌ضرب x در sin(x) را به دست آوردیم. اگر در ابتدای حل مسئله، sin(x) را به عنوان f(x) و x را به عنوان g'(x) در نظر می‌گرفتیم، مراحل حل بسیار پیچیده می‌شد. برای درک این موضوع، مثال را با این تغییر متغیر حل کنید. در بخش بعدی، به معرفی یک قانون کلی برای انتخاب صحیح تغییر متغیر در انتگرال جز به جز می‌پردازیم.

کاربرد انتگرال جز به جز چیست ؟

انتگرال‌گیری جز به جز، برای توابع یا عبارت‌هایی مورد استفاده قرار می‌گیرد که فرمول مستقیمی برای تعیین انتگرال آن‌ها وجود ندارد. این روش، معمولا در انتگرال‌گیری از حاصل‌ضرب دو یا چند تابع متفاوت نظیر توابع لگاریتمی، مثلثاتی، مثلثاتی معکوس، جبری و نمایی کاربرد دارد.

انتخاب توابع برای جایگذاری آن‌ها در فرمول انتگرال جز به جز، از اهمیت بالایی برخوردار است. برای درک این موضوع، فرمول‌های زیر را در نظر بگیرید:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int u d v = u v - \int v d u$$

در این فرمول‌ها، f(x) یا u، اولین تابع را نمایش می‌دهد. اولویت انتخاب تابع اول، به صورت زیر است:

1. تابع لگاریتمی
2. تابع معکوس مثلثاتی
3. تابع جبری
4. تابع مثلثاتی
5. تابع نمایی

به عنوان مثال، اگر عبارت درون انتگرال، حاصل‌ضرب یک تابع لگاریتمی در یک تابع معکوس مثلثاتی باشد، باید تابع لگاریتمی را به عنوان f(x) یا u و تابع معکوس مثلثاتی را به عنوان g'(x) یا dv در نظر بگیریم. به همین ترتیب، اگر عبارت درون انتگرال، حاصل‌ضرب یک تابع جبری در یک تابع مثلثاتی باشد (مانند مثال ۱ این مقاله)، تابع جبری را به عنوان f(x) یا u و تابع مثلثاتی را به عنوان g'(x) یا dv انتخاب می‌کنیم. در بخش‌های بعدی، به حل تمرین و مثال در مورد تمام توابع بالا خواهیم پرداخت.

مثال ۲: محاسبه انتگرال جز به جز لگاریتمی

با استفاده از انتگرال‌گیری جز به جز، رابطه زیر را اثبات کنید:

$$\int \log ( x ) d x = x \log ( x ) - x + C$$

عبارت $$\log ( x)$$ را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب عدد ۱ در log(x) نوشت:

$$\log ( x ) = ۱ \times \log ( x )$$

عدد ۱، یک تابع جبری و log(x)، یک تابع لگاریتمی است. مطابق با فرمول انتگرال جز به جز داریم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

برای انتخاب تابع اول در فرمول انتگرال جز به جز، توابع لگاریتمی نسبت به توابع جبری اولویت دارند. بنابراین:

$$f ( x ) = \log ( x )$$

$$g ' ( x ) = ۱$$

مشتق تابع اول (مشتق log(x)) برابر است با:

$$f ' ( x ) = \frac { ۱ } { x }$$

انتگرال تابع دوم (انتگرال عدد ۱) نیز برابر است با:

$$g ( x ) = x$$

تغییر متغیرها را درون رابطه اصلی انتگرال‌گیری جز به جز قرار می‌هیم:

$$\int \left ( \log ( x ) \times ۱ \right ) d x = \log ( x ) \times x - \int ( \frac { ۱ } { x } \times x ) d x$$

$$\int \log ( x ) d x = x \log ( x ) - \int ۱ d x$$

$$\int \log ( x ) d x = x \log ( x ) - x + C$$

به این ترتیب، فرمول انتگرال لگاریتم ایکس با استفاده از روش انتگرال‌گیری جز به جز اثبات می‌شود.

انتگرال جز به جز جدولی

انتگرال‌گیری جدولی، یکی از روش‌های سریع انتگرال‌گیری جز به جز است. در این روش، یکی از توابع باید تا رسیدن به صفر، مشتق‌پذیر باشد.

علاوه بر این، باید امکان انتگرال‌گیری مجدد از تابع دیگر در هر مرحله وجود داشته باشد. به عنوان مثال، تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$x ^ ۳ \sin ( x )$$

برای به دست آوردن انتگرال این تابع توسط روش جز به جز جدولی، ابتدا جدولی با چهار ستون ایجاد می‌کنیم. در ستون اول این جدول، تابع مشتق‌پذیر (تا صفر) را قرار می‌دهیم. در ستون دوم، تابع انتگرال‌پذیر را می‌نویسیم. ستون سوم، علامت - یا + را وارد می‌کنیم. نحوه تعیین مقادیر ستون چهارم را در ادامه توضیح می‌دهیم.

علامت ردیف اول، همواره منفی (-) و عبارت ردیف اول، همواره ۰ است. در ردیف‌های بعدی، از تابع مشتق‌پذیر، مشتق گرفته و از تابع انتگرال‌پذیر، انتگرال می‌گیریم. پس از این کار، علامت ردیف را تغییر می‌دهیم. سپس، عبارت تابع مشتق‌پذیر در ردیف قبلی را در انتگرال ردیف فعلی و علامت ردیف ضرب می‌کنیم. حاصل این ضرب را در ستون چهارم می‌نویسیم.

به همین ترتیب، مشتق‌گیری از دو ستون اول و انتگرال‌گیری از ستون دوم را ادامه می‌دهیم.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، ستون آخر ردیف سوم، حاصل‌ضرب عبارت ستون اول ردیف قبلی ($$۳ x ^ ۲$$) در عبارت ستون دوم ردیف فعلی ($$- \sin ( x)$$) و علامت ردیف فعلی (-) است. به این ترتیب، ردیف چهارم به صورت زیر خواهد بود.

تابع مشتق‌پذیر، هنوز صفر نشده است. بنابراین، مراحل قبلی را ادامه می‌دهیم.

پس از صفر شدن تابع مشتق‌پذیر، فرآیند مشتق‌گیری را متوقف می‌کنیم. با جمع عبارت‌های ستون چهارم، انتگرال مورد نظر به دست می‌آید. برای این مثال، داریم:

$$\int x ^ ۳ \sin ( x ) d x = - x ^ ۳ \cos ( x ) + ۳ x ^ ۲ \sin ( x ) + ۶ x \cos ( x ) - ۶ \sin ( x )$$

انتگرال جز به جز بازگشتی

هنگام انتگرال‌گیری جز به جز، برخی از توابع ساده نشده و از درون انتگرال خارج نمی‌شوند. این توابع، با ادامه انتگرال‌گیری و تکرار فرآیندها، به شکل‌های مختلف درمی‌آیند یا حتی بدون تغییر باقی می‌مانند. در این شرایط، از انتگرال جز به جز با روش بازگشتی استفاده می‌شود.

به عنوان مثال، انتگرال سینوس به توان دو را در نظر بگیرید:

$$\int \sin ^ ۲ ( x ) d x$$

برای محاسبه انتگرال، می‌توانیم از روش بازگشتی استفاده کنیم. به این منظور، تابع سینوس به دو را به صورت ضرب دو تابع سینوس می‌نویسیم:

$$\int \sin ( x ) .\sin ( x ) d x$$

یکی از سینوس‌ها را برابر با f(x) و دیگری را برابر با g'(x) در نظر می‌گیریم:

$$f ( x ) = \sin ( x )$$

$$g ' ( x ) = \sin ( x )$$

مشتق سینوس، برابر با کسینوس است:

$$f ' ( x ) = \cos ( x )$$

انتگرال سینوس، با منفی کسینوس برابری می‌کند:

$$g ( x) = - \cos ( x )$$

این پارامترها را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int \sin ( x ) .\sin ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) - \int - \cos ( x ) . \cos ( x ) d x$$

$$\int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int \cos ( x ) . \cos ( x ) d x$$

$$\int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int \cos ^ ۲ ( x ) d x$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در جواب انتگرال جز به جز، به یک انتگرال دیگر رسیدیم. اگر بخواهیم حل مسئله را با تکرار انتگرال جز به جز انجام دهیم، به یک حلقه بی‌نهایت برخورد می‌کنیم.

بنابراین، سعی می‌کنیم در صورت امکان، از انتگرال سمت راست به انتگرال سمت چپ برسیم. برای انجام این کار در این مثال، رابطه زیر را در نظر بگیرید:

$$\sin ^ ۲ ( x ) + \cos ^ ۲ ( x ) = ۱$$

رابطه بالا را برحسب کسینوس بازنویسی می‌کنیم:

$$\cos ^ ۲ ( x ) = ۱ - \sin ^ ۲ ( x )$$

عبارت سمت چپ را در جواب انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int \left ( ۱ - \sin ^ ۲ ( x ) \right ) d x$$

$$\int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + \int ۱ d x - \int \sin ^ ۲ ( x ) d x$$

$$\int \sin ^ ۲ ( x ) d x = - \sin ( x ) \cos ( x ) + x - \int \sin ^ ۲ ( x ) d x$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در سمت راست معادله، به عبارتی مشابه عبارت سمت چپ معادله رسیدیم. این عبارت را برابر با I قرار می‌دهیم:

$$I = \int \sin ^ ۲ ( x ) d x$$

$$I = - \sin ( x ) \cos ( x ) + x - I$$

I را به سمت چپ می‌بریم:

$$۲ I = - \sin ( x ) \cos ( x ) + x$$

$$I = \frac { x - \sin ( x ) \cos ( x ) } { ۲ }$$

در نتیجه انتگرال انتگرال سینوس به توان دو برابر است با:

$$\int \sin ^ ۲ ( x ) d x = \frac { x - \sin ( x ) \cos ( x ) } { ۲ } + C$$

اثبات فرمول انتگرال جز به جز

رابطه انتگرال جز به جز، با استفاده از فرمول مشتق ضرب دو تابع اثبات می‌شود.

مشتق ضرب دو تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\frac { d } { d x } [ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x )$$

به عبارت دیگر، مشتق ضرب دو تابع، برابر با حاصل‌ضرب تابع اول در مشتق تابع دوم به علاوه حاصل‌ضرب مشتق تابع اول در تابع دوم است. انتگرال جز به جز نیز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

برای اثبات انتگرال جز به جز، دو تابع u و v را در نظر می‌گیریم. حاصل‌ضرب این دو تابع را برابر با y قرار می‌دهیم:

$$y = u v$$

اکنون، می‌خواهیم با توجه به فرمول مشتق ضرب دو تابع، از y بر حسب x مشتق بگیریم. به این ترتیب، خواهیم داشت:

$$f ( x ) = u$$

$$g ( x ) = v$$

$$f ' ( x ) = \frac { d } { d x } u$$

$$g ' ( x ) = \frac { d } { d x } v$$

بنابراین داریم:

$$\frac { d }{ d x } y = f ( x ) g' ( x ) + g ( x ) f' ( x )$$

$$\frac { d }{ d x } uv = u ( \frac { d } { d x } v ) + v ( \frac { d } { d x } u )$$

عبارت‌های بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$u ( \frac { d v }{ d x } ) = \frac { d } { d x } ( u v ) - v ( \frac { d u } { d x } )$$

اکنون، از دو طرف معادله، انتگرال می‌گیریم:

$$\int u ( \frac { d v }{ d x } ) ( d x ) = \int \frac { d } { d x } ( u v ) ( d x ) - \int v ( \frac { d u } { d x } ) ( d x )$$

در تمام عبارت‌های داخل انتگرال، dx با dx ساده می‌شود:

$$\int u d v = \int u v - \int v d u$$

$$\int u d v = u v - \int v d u$$

اکنون به جای توابع u و v، معادل اصلی آن‌ها را می‌نویسیم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

در نتیجه، فرمول انتگرال جز به جز اثبات می‌شود.

اثبات فرمول انتگرال جز به جز به روش تصویری

در این بخش، قصد داریم فرمول انتگرال جز به جز را به صورت تصویری اثبات کنیم. به این منظور، معادله پارامتری زیر را در نظر بگیرید:

$$( x , y ) = \left ( f ( t ) , g ( t ) \right )$$

فرض کنید تابع بالا، یک به یک و انتگرال‌پذیر است.

تصویر زیر، نمودار این تابع را نمایش می‌دهد. ناحیه قرمز، مساحت زیر منحنی نسبت به محور x و ناحیه آبی، مساحت زیر منحنی نسبت به محور y است.

فرمول انتگرالی مساحت ناحیه قرمز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A _ ۱ = \int _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } y ( x ) d x$$

فرمول انتگرالی مساحت ناحیه آبی نیز به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A _ ۲ = \int _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ } x ( y ) d y$$

انتگرال جز به جز تابع پارامتری (x, y)، مجموع نواحی آبی و قرمز است. از روی شکل، می‌توان مشاهده کرد که جمع این دو ناحیه، از تفاضل مساحت مستطیل بزرگ (x_۲y_۲) و مساحت مستطیل کوچک (x_۱y_۱) به دست می‌آید:

$$A _ ۱ + A _ ۲ = x . y ( x ) | _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } = y . x ( y ) | _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ }$$

$$\int _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ } x ( y ) d y + \int _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } y ( x ) d x = x . y ( x ) | _ { x _ ۱ } ^ { x _ ۲ } = y . x ( y ) | _ { y _ ۱ } ^ { y _ ۲ }$$

رابطه بالا را بر حسب t می‌نویسیم:

$$\int _ { t _ ۱ } ^ { t _ ۲ } x ( t ) d y ( t ) + \int _ { t _ ۱ } ^ { t_ ۲ } y ( t ) d x ( t ) = x ( t ) y ( t ) | _ { t _ ۱ } ^ { t _ ۲ }$$

رابطه بالا را به صورت نامعین بازنویسی می‌کنیم:

$$\int x d y + \int y d x = x y$$

با مرتب کردن عبارت‌های بالا، به فرمول انتگرال جز به جز می‌رسیم:

$$\int x d y = x y - \int y d x$$

حل تمرین انتگرال جز به جز

در این بخش، برای آشنایی بیشتر با روش‌های انتگرال گیری جز به جز و درک بهتر نحوه استفاده از آن‌ها، به حل چندین مثال متنوع می‌پردازیم.

تمرین ۱: انتگرال جز به جز مثلثاتی

انتگرال عبارت $$x ^ ۲ \cos ( ۳ x )$$ را تعیین کنید.

عبارت مورد سوال، از یک تابع چند جمله‌ای و یک تابع مثلثاتی تشکیل می‌شود. برای حل این تمرین، دو روش متداول وجود دارد. روش اول، قرار دادن توابع بالا در فرمول انتگرال جز به جز ساده است. روش دوم، استفاده از جدول توابع است. در ادامه، انتگرال مورد سوال را به هر دو روش حل می‌کنیم.

روش اول: استفاده از فرمول کلی انتگرال جز به جز

در انتگرال‌گیری جز به جز، توابع چندجمله‌ای نسبت به توابع مثلثاتی اولویت دارند. بنابراین، داریم:

$$f ( x ) = x ^ ۲$$

$$g ' ( x ) = \cos ( ۳ x )$$

با توجه به توابع انتخابی، باید از تابع اول مشتق گرفته و از تابع دوم، انتگرال بگیریم. مشتق تابع $$x ^ ۲$$ برابر است با:

$$f ' ( x ) = ۲ x$$

تابع $$\cos ( ۳ x )$$، کسینوس زاویه x با ضریب ثابت ۳ را نمایش می‌دهد. انتگرال این تابع از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\int \cos ( a x + b) d x = \frac { \sin (a x + b ) } { a }$$

$$\int \cos ( ۳ x + ۰ ) d x = \frac { \sin ( ۳ x + ۰ ) } { ۳ }$$

$$\int \cos ( ۳ x) d x = \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ }$$

بنابراین:

$$g ( x ) = \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ }$$

توابع انتخابی را به همراه مشتق و انتگرال‌شان، درون رابطه انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = x ^ ۲ . \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \int ۲ x. \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } d x$$

این رابطه را ساده و مرتب می‌کنیم:

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \frac { ۲ } { ۳ } \int x. \sin ( ۳ x ) d x$$

در طرف راست معادله، یک انتگرال داریم که به روش جز به جز قابل حل است. توابع اول و دوم این انتگرال را h(x) و i'(x) در نظر می‌گیریم:

$$h ( x ) = x$$

$$i ' ( x ) = \sin ( ۳ x )$$

با گرفتن مشتق از تابع اول و انتگرال از تابع دوم، خواهیم داشت:

$$h ' ( x ) = ۱$$

$$i ( x ) = - \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ }$$

 این توابع را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int h ( x ) i ' ( x ) d x = h ( x ) i ( x ) - \int h ' ( x ) i ( x) d x$$

$$\int x \sin ( ۳ x ) d x = - x . \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ } - \int - \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ } d x$$

$$\int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \int \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۳ } d x$$

$$\int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { ۱ }{ ۳ } \int \cos ( ۳ x ) d x$$

انتگرال $$\cos ( ۳ x )$$ را در مراحل قبلی به دست آوردیم. جواب این انتگرال را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$\int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { ۱ }{ ۳ } \left ( \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } \right )$$

$$\int x \sin ( ۳ x ) d x = - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۹ }$$

جواب انتگرال بالا را در انتگرال پایین جایگذاری می‌کنیم:

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \frac { ۲ } { ۳ } \int x. \sin ( ۳ x ) d x + C$$

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } - \frac { ۲ } { ۳ } \left ( - \frac { x \cos ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۹ } \right ) + C$$

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۳ } + \frac { ۲ x \cos ( ۳ x ) } { ۹ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C$$

از تمام عبارت‌ها، مخرج مشترک می‌گیریم:

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + \frac { ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C$$

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) - ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C$$

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ( ۹ x ^ ۲ - ۲ ) \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C$$

به این ترتیب، از حاصل‌ضرب یک تابع مثلثاتی در یک تابع چندجمله‌ای، انتگرال گرفتیم. روند انتگرال‌گیری در این روش، مقداری طولانی بود. این موضوع، احتمال خطا در محاسبات را افزایش می‌دهد. به همین دلیل، برای حل مثال‌های مشابه، استفاده از روش دوم را پیشنهاد می‌کنیم.

روش دوم: استفاده از انتگرال جز به جز جدولی

در انتگرال‌گیری به روش جز به جز، ابتدا جدولی با ستون‌های زیر را ایجاد می‌کنیم.

تابع مشتق‌پذیر، باید به گونه‌ای باشد که پس از چند بار مشتق‌گیری، به عدد ۰ برسد. تابع $$x ^ ۲$$، شرط مورد نیاز برای قرارگیری در این ستون را دارد.

بنابراین، تابع $$\cos ( ۳ x )$$ در ستون دوم قرار می‌گیرد. علامت ردیف اول، منفی (-) و عبارت ردیف اول، صفر (۰) خواهد بود.

برای نوشتن ردیف دوم، از ستون اول ردیف اول، مشتق گرفته و از ستون دوم ردیف اول، انتگرال می‌گیریم. سپس، علامت ردیف آن‌ها را به مثبت (+) تغییر می‌دهیم. برای آشنایی با مشتق کسینوس، سینوس و دیگر توابع مثلثاتی، مطالعه مطلب «مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده» را به شما پیشنهاد می‌کنیم.

ستون چهارم، از ضرب تابع انتگرال‌پذیر ردیف فعلی در تابع مشتق‌پذیری ردیف قبلی و علامت این ردیف به دست می‌آید.

برای ردیف سوم نیز مراحل قبل را تکرار می‌کنیم.

مشتق ستون اول، هنوز به ۰ نرسیده است. بنابراین، روند مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری را ادامه می‌دهیم.

با رسیدن مشتق ستون اول به عدد صفر، فرآیند اضافه کردن ردیف‌های جدول پایان می‌یابد. اکنون، تمام عبارت‌های ستون چهارم را با هم جمع کرده و آن‌ها را ساده می‌کنیم:

$$x ^ ۲ . \frac { \sin ( ۳ x ) } { ۳ } + ۲ x . \frac { \cos ( ۳ x ) } { ۹ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) }{ ۲۷ }$$

$$\frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ } + \frac { ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } - \frac { ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ }$$

$$\frac { ۹ x ^ ۲ \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) - ۲ \sin ( ۳ x ) } { ۲۷ }$$

$$\frac { ( ۹ x ^ ۲ - ۲ ) \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ }$$

به این ترتیب، انتگرال $$x ^ ۲ \cos ( ۳ x )$$ را سریع‌تر از روش اول به دست آوردیم.

$$\int x ^ ۲ \cos ( ۳ x ) d x = \frac { ( ۹ x ^ ۲ - ۲ ) \sin ( ۳ x ) + ۶ x \cos ( ۳ x ) } { ۲۷ } + C$$

تمرین ۲: انتگرال جز به جز بازگشتی

انتگرال $$e ^ x . \sin ( x ) dx$$ را به دست بیاورید.

$$e ^ x . \sin ( x ) dx$$، حاصل‌ضرب تابع نمایی $$e ^ x$$ در تابع مثلثاتی $$\sin ( x )$$ است. به منظور انتگرال‌گیری جز به جز از این عبارت، باید تابع f(x) و g'(x) را مشخص کنیم. برای انتخاب f(x)، توابع مثلثاتی نسبت به توابع نمایی اولویت دارند. بنابراین:

$$f ( x ) = \sin ( x )$$

$$g ' ( x ) = e ^ x$$

$$f ' ( x ) = \cos( x )$$

$$g ( x ) = e ^ x$$

تغییر متغیرها را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int \sin ( x ) e ^ x d x = \sin ( x ) e ^ x - \int \cos ( x ) e ^ x d x$$

عبارت $$e ^ x$$، با ادامه انتگرال‌گیری از درون انتگرال خارج نخواهد شد. بنابراین، باید به نحوی از انتگرال سمت راست، به انتگرال سمت چپ برسم. انتگرال سمت چپ را برابر با I و انتگرال سمت راست را برابر با J در نظر می‌گیریم:

$$I = \sin ( x ) e ^ x - J$$

به عبارت دیگر:

$$I = \int \sin ( x ) e ^ x d x$$

$$J = \int \cos ( x ) e ^ x d x$$

تغییر متغیرهای انتگرال جز به جز را این بار برای J انجام می‌دهیم:

$$f ( x ) = \cos ( x )$$

$$g ' ( x ) = e ^ x$$

$$f ' ( x ) = - \sin ( x )$$

$$g ( x ) = e ^ x$$

انتگرال جز به جز را با توجه به این تغییر متغیرها می‌نویسیم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int \cos ( x ) e ^ x d x = \cos ( x ) e ^ x - \int - \sin ( x ) e ^ x d x$$

$$J = \cos ( x ) e ^ x + \int \sin ( x ) e ^ x d x$$

در مراحل قبل فرض کردیم که $$\int \sin ( x ) e ^ x d x$$ برابر با I است. بنابراین:

$$J = \cos ( x ) e ^ x + I$$

به جای پارامتر J در فرمول I، طرف راست رابطه بالا را جایگزین می‌کنیم:

$$I = \sin ( x ) e ^ x - J$$

$$I = \sin ( x ) e ^ x - ( \cos ( x ) e ^ x + I )$$

$$I = \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x - I$$

عبارت I در سمت راست را به سمت چپ معادله می‌بریم:

$$I + I = \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x$$

$$۲ I = \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x$$

$$I = \frac { \sin ( x ) e ^ x - \cos ( x ) e ^ x } { ۲ }$$

از $$e ^ x$$ فاکتور می‌گیریم:

$$I = \frac { e ^ x \left ( \sin ( x ) - \cos ( x ) \right ) } { ۲ }$$

در نتیجه:

$$\int e ^ x \sin ( x ) d x = \frac { e ^ x \left ( \sin ( x ) - \cos ( x ) \right ) } { ۲ } + C$$

انتگرال بازگشتی، امکان بیرون آمدن از حلقه‌های بی‌نهایت انتگرال‌گیری را فراهم می‌کند.

تمرین ۳: انتگرال جز به جز تابع مثلثاتی معکوس

انتگرال معکوس تابع سینوس را به دست بیاورید.

یکی از روش‌های به دست آوردن انتگرال معکوس سینوس یا آرک‌سینوس، استفاده از فرمول انتگرال‌گیری جز به جز است.

برای این استفاده از این فرمول، ابتدا تابع سینوس معکوس را به صورت حاصل‌ضرب خودش در عدد ۱ می‌نویسیم:

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = \int \sin ^ { - ۱ } ( x ) \times ۱ d x$$

در انتگرال‌گیری جز به جز، توابع معکوس مثلثاتی نسبت به دیگر توابع یک یا چندجمله‌ای اولویت دارند. بنابراین، داریم:

$$f ( x ) = \sin ^ { - ۱ } ( x )$$

$$g ' ( x ) = ۱$$

به این ترتیب، باید از تابع f(x)، مشتق گرفته و از تابع g'(x)، انتگرال بگیریم. مشتق آرک‌سینوس عبارت است از:

$$f ' ( x ) = \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } }$$

انتگرال عدد ۱ نیز برابر است با:

$$g ( x ) = x$$

این عبارت‌ها را درون رابطه انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) \times ۱ d x = \sin ^ { - ۱ } ( x ) \times x - \int \frac { ۱ }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } \times x d x$$

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x )- \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x$$

اانتگرال سمت راست معادله بالا را در نظر بگیرید:

$$\int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x$$

بهترین روش برای حل این انتگرال، استفاده از تغییر متغیر است. به این منظور، عبارت $$۱ - x ^ ۲$$ را برابر با یک متغیر فرضی نظیر u قرار می‌دهیم:

$$u = ۱ - x ^ ۲$$

با مشتق‌گیری از u بر حسب x، خواهیم داشت:

$$\frac { d u } { d x } = - ۲ x$$

رابطه بالا را بر حسب dx بازنویسی می‌کنیم:

$$d x = - \frac { ۱ } { ۲ x } d u$$

اکنون، با توجه به تغییر متغیرهای صورت گرفته، انتگرال سمت راست معادله را به شکل زیر تغییر می‌دهیم:

$$\int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = \int \frac { x }{ \sqrt { u } } ( - \frac { ۱ } { ۲ x } ) d u$$

پس از ساده‌سازی عبارت‌های درون انتگرال، به رابطه زیر می‌رسیم:

$$\int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = - \frac { ۱ } { ۲ } \int \frac { ۱ }{ \sqrt { u } } d u$$

می‌توانیم انتگرال بالا را به صورت یک عبارت توانی بازنویسی کنیم:

$$- \frac { ۱ } { ۲ } \int \frac { ۱ }{ u ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } } d u$$

$$- \frac { ۱ } { ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u$$

انتگرال توابع توانی از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$\int u ^ { \mathrm { n } } \mathrm { d } u = \frac { u ^ { \mathrm { n } + ۱ } }{ \mathrm { n } + ۱ }$$

توان u برابر با منفی یک‌دوم است. بنابراین داریم:

$$\int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = \frac { u ^ { \mathrm { - \frac { ۱ } { ۲ } } + ۱ } }{ \mathrm { - \frac { ۱ } { ۲ } } + ۱ }$$

$$\int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = \frac { u ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } }{ \frac { ۱ } { ۲ } }$$

$$\int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = ۲ u ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }$$

$$\int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = ۲ \sqrt { u }$$

به این ترتیب، داریم:

$$- \frac { ۱ } { ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = - \frac { ۱ } { ۲ } \times ۲ \sqrt { u }$$

$$- \frac { ۱ } { ۲ } \int u ^ { - \frac { ۱ } { ۲ } } d u = - \sqrt { u }$$

$$\int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = - \sqrt { u }$$

اکنون به جای u، عبارت معادل آن بر حسب x را قرار می‌دهیم:

$$u = ۱ - x ^ ۲$$

$$- \sqrt { u } = - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ }$$

$$\int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x = - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ }$$

انتگرال سمت راست معادله اصلی را به دست آوردیم. جواب این انتگرال را درون معادله قرار می‌دهیم:

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x )- \int \frac { x }{ \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } } d x$$

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x )- ( - \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } )$$

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x ) + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ }$$

$$\int \sin ^ { - ۱ } ( x ) d x = x \sin ^ { - ۱ } ( x ) + \sqrt { ۱ - x ^ ۲ } + C$$

به این ترتیب، انتگرال سینوس وارون را با استفاده از انتگرال جز به جز به دست آوردیم.

تمرین ۴: انتگرال جز به جز تابع نمایی

انتگرال $$x e ^ { ۶ x }$$ را به دست بیاورید.

برای انتگرال‌گیری از عبارت مورد سوال، می‌توانیم از رابطه انتگرال جز به جز معمولی یا روش انتگرال گیری جدولی استفاده کنیم. به دلیل ساده بودن تابع مشتق‌پذیر (x)، فرمول کلی انتگرال جز به جز را به کار می‌گیریم.

$$x e ^ { ۶ x }$$، حاصل‌ضرب یک تابع جبری ($$x$$) در یک تابع نمایی ($$e ^ { ۶ x }$$) است. در انتگرال جز به جز، توابع جبری نسبت به توابع نمایی اولویت دارند. بنابراین، برای تغییر متغیر خواهیم داشت:

$$f ( x ) = x$$

$$g ' ( x ) = e ^ { ۶ x }$$

از تابع f(x) مشتق و از تابع g'(x)، انتگرال می‌گیریم:

$$f ' ( x ) = ۱$$

$$g ( x ) = \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x }$$

تغییر متغیرها را درون فرمول انتگرال جز به جز قرار می‌دهیم:

$$\int f ( x ) g ' ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) - \int f ' ( x ) g ( x) d x$$

$$\int x e ^ { ۶ x } d x = x \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \int ۱ \times \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } d x$$

$$\int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \int \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } d x$$

$$\int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \frac { ۱ } { ۶ } \int e ^ { ۶ x } d x$$

$$\int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \frac { ۱ } { ۶ } ( \frac { ۱ } { ۶ } e ^ { ۶ x } ) + C$$

$$\int x e ^ { ۶ x } d x = \frac { x } { ۶ } e ^ { ۶ x } - \frac { ۱ } { ۳۶ } e ^ { ۶ x } + C$$

سوالات متداول در رابطه با انتگرال جز به جز

در این بخش، به برخی از پرتکرارترین سوالات در رابطه با انتگرال جز به جز به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

انتگرال جز به جز چه کاربردی دارد ؟

کاردبرد اصلی انتگرال جز به جز، به دست آوردن انتگرال توابعی است که فرمول مشخصی برای انتگرال‌گیری از آن‌ها وجود ندارد.

انتگرال ضرب دو تابع متفاوت چگونه بدست می آید ؟

انتگرال ضرب دو تابع متفاوت، معمولا با استفاده از انتگرال‌گیری جز به جز به دست می‌آید.

انتگرال گیری جز به جز چگونه انجام می شود ؟

انتگرال‌گیری جز به جز با در نظر گرفتن تابع مشتق‌پذیر (تابع اول) به عنوان f(x) یا u، در نظر گرفتن تابع انتگرال‌پذیر (تابع دوم) به عنوان g'(x) یا dv و قرار دادن این توابع به همراه مشتق و انتگرال‌شان در یک فرمول مخصوص انجام می‌شود.

انتخاب تابع اول و دوم انتگرال جز به جز چگونه انجام می شود ؟

در انتگرال جز به جز، تابعی که مشتق‌گیری از آن ساده‌تر است، به عنوان تابع اول و تابعی که انتگرال‌گیری از آن ساده‌تر است، به عنوان تابع دوم انتخاب می‌شود.

اولویت توابع در انتگرال گیری جز به جز چگونه است ؟

هنگام انتخاب توابع اول در فرمول انتگرال جز به جز، اولویت توابع به ترتیب با تابع لگاریتمی، تابع معکوس مثلثاتی، تابع جبری، تابع مثلثاتی و تابع نمایی است.

انتگرال جز به جز جدولی چیست ؟

انتگرال جز به جز جدولی، روشی برای انتگرال‌گیری ساده و سریع از توابعی است که انتگرال‌گیری از آن‌ها به روش معمولی، به صرف زمان نسبتا زیاد و دقت بالا نیاز دارد.

شرط اصلی استفاده از انتگرال جز به جز جدولی چیست ؟

برای انتگرال‌گیری به روش جدولی، یکی از توابع باید تا رسیدن به ۰ مشتق‌پذیر باشد. شرط دیگر استفاده از این روش، انتگرال‌پذیر بودن تابع دیگر است.

انتگرال جز به جز بازگشتی چیست ؟

اگر در حین انتگرال‌گیری جز به جز، عبارت طرف چپ معادله (انتگرال مورد نظر) در طرف راست نیز ظاهر شود، می‌توان با بردن انتگرال‌ها به یک سمت، جواب مسئله را به دست آورد. به این روش انتگرال‌گیری، انتگرال جز به جز بازگشتی می‌گویند.

انتگرال جز به جز بازگشتی برای چه توابعی مناسب است ؟

انتگرال‌گیری جز به جز بازگشتی، برای توابعی مناسب است که انتگرال آن‌ها در جواب‌شان ظاهر می‌شود. به عنوان مثال، این روش کاربرد خوبی در انتگرال‌گیری از توابع مثلثاتی دارد.