شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
پیشتر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به تابع توضیح داده شد. همچنین در مطلبی جداگانه، نحوه بدست آوردن ماکزیمم و مینیمم تابع را توضیح دادیم. همانطور که در این مطالب نیز توضیح داده شد، ماکزیمم یا مینیمم تابع در محلی رخ میدهد که مشتق اول آن برابر با صفر باشد. شاید این سوال در ذهن شما شکل گرفته باشد، که مشتق دوم یک تابع نشان دهنده چه مفهومی است؟ با استفاده از مشتق دوم میتوان نقطه عطف تابع را یافت. در این مطلب قصد داریم تا این مفهوم را شرح دهیم.
این تابع میتواند دارای مشتقِ f′(x0) بینهایت یا محدودی در نقطه x0 نیز باشد. اگر با گذشت تابع از نقطه x0 جهت تقعر تابع عوض شود، در این صورت نقطه مذکور، نقطه عطف نامیده میشود. در شکل زیر نمونهای از تغییر خمیدگی در یک تابع فرضی نشان داده شده است.
نکته جالب در مورد نقطه عطف این است که خطوط عمود و مماس بر منحنی تابع در این نقطه به یکدیگر عمود هستند. در شکل زیر این دو خط برای یک تابع فرضی ترسیم شده است.
شرط لازم برای یک نقطه عطف
اگر x0 نقطه عطف تابع f(x) باشد و این تابع در نقطه x0 مشتقپذیر باشد، در این صورت مشتق دوم تابع در این نقطه برابر با صفر خواهد بود. بنابراین میتوان گفت در نقطه عطف، رابطه زیر برقرار است.
به منظور اثبات گزاره فوق، فرض کنید مشتق تابع f در نقطه x0 غیر صفر باشد (f′′(x0)=0). در این صورت بازهای همچون δ اطراف x0 وجود دارد که در آن تابع f(x) علامتش را حفظ میکند. بنابراین در قالب ریاضیات، گزاره زیر را میتوان بیان کرد:
f′′(x0)<0orf′′(x0)<0∀x∈(x0–δ,x0+δ)
عبارت فوق نشان میدهد که در بازه (x0−δ,x0+δ) تقعر تابع مطلقا پایین (f′′(x)<0) یا به سمت بالا (f′′(x)>0) است. بنابراین نقطه مذکور، نقطه عطف نخواهد بود. بنابراین فرض غیر صفر بودن مشتق دوم اشتباه است.
شرط کافی اول برای نقطه عطف
اگر تابع f(x) در نقطه x0 دارای مشتق بوده و مشتق دوم تابع در بازه δ اطراف نقطه x0 تغییر علامت بدهد، در این صورت نقطه x0، نقطه عطف محسوب میشود.
شرط کافی دوم برای نقطه عطف
فرض کنید مشتق دوم یک تابع در نقطهای برابر با صفر باشد (f′′(x0)=0). در این صورت اگر مشتق سوم f′′′(x0)=0 غیر صفر باشد، x0، نقطه عطف خواهد بود.
مثال ۱
نقاط عطف تابع زیر را بیابید.
f(x) = x4–12x3+48x2+12x+1
در ابتدا مشتق اول و دوم تابع را به صورت زیر بدست میآوریم.
بنابراین بینهایت نقطه میتوان یافت که مشتق آنها برابر با صفر است. اما در بازه [0,2π] تنها دو نقطه زیر هستند که مشتق دوم به ازای آنها برابر با صفر است.
x1=arcsin25–1≈0,66,x2=π–arcsin25–1≈2,48
نمودار شکل زیر نقاط بدست آمده و تابع f را نشان میدهند. همانطور که در بالا نیز بدست آمد، مشتق دوم تابع به صورت زیر است.
f′′(x)=esinx(cos2x–sinx)=esinx(–sin2x–sinx+1)
تابع فوق به ازای عبور از دو ریشه x1,x2 تغییر علامت میدهند. بنابراین هر دوی آنها را میتوان به عنوان نقاط عطف در نظر گرفت.
بر اساس رای ۵۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
«مجید عوضزاده»، فارغ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آنها تولید محتوا میکند.
سلام ممنون از توضیحات خوبتون. چیزی به اسم نقطه عطف مایل داریم؟ میشه توضیح بفرمایید؟
علی
این جایی که نوشته:
در این صورت اگر مشتق چهارم f′′′(x0)≠0 غیر صفر باشد، x0، نقطه عطف خواهد بود.
مشتق سوم نیست؟
مهدیه یوسفی
با سلام،
متن اصلاح شدُ
با تشکر از همزاهی شما با مجله فرادرس
ferfereh
زمانیکه مماس چپ وراست درامتدادهم نباشن عطف نیست
FATEMEH
سلام
ببخشید یه سوال داشتم،چه زمانی تقعر تابع در یک نقطه عوض میشه ولی اون نقطه نقطه عطف نیست؟
رحیم شریفی
توی توضیح درس جواب سوال شما داده شده.تابع باید در نقطه مورد نظر مشتق پدیر باشد یا پیوسته باشد.اگر در نقطه ای که تقعر عوض میشود پیوستگی نداشته باشیم و تابع در اون نقطه مشتق پذیر نباشد.اون نقطه نقطه عطف محسوب نمی شود. مثل تابع کتانژانت هایپر بولیک در نقطه ایکس بابر صفر
شما در حال مطالعه نسخه آفلاین یکی از مطالب «مجله فرادرس» هستید. لطفاً توجه داشته باشید، ممکن است برخی از قابلیتهای تعاملی مطالب، مانند امکان پاسخ به پرسشهای چهار گزینهای و مشاهده جواب صحیح آنها، نمایش نتیجه آزمونها، پاسخ تشریحی سوالات، پخش فایلهای صوتی و تصویری و غیره، در این نسخه در دسترس نباشند. برای دسترسی به نسخه آنلاین مطلب، استفاده از کلیه امکانات آن و داشتن تجربه کاربری بهتر اینجا کلیک کنید.
سلام ممنون از توضیحات خوبتون. چیزی به اسم نقطه عطف مایل داریم؟ میشه توضیح بفرمایید؟
این جایی که نوشته:
در این صورت اگر مشتق چهارم f′′′(x0)≠0 غیر صفر باشد، x0، نقطه عطف خواهد بود.
مشتق سوم نیست؟
با سلام،
متن اصلاح شدُ
با تشکر از همزاهی شما با مجله فرادرس
زمانیکه مماس چپ وراست درامتدادهم نباشن عطف نیست
سلام
ببخشید یه سوال داشتم،چه زمانی تقعر تابع در یک نقطه عوض میشه ولی اون نقطه نقطه عطف نیست؟
توی توضیح درس جواب سوال شما داده شده.تابع باید در نقطه مورد نظر مشتق پدیر باشد یا پیوسته باشد.اگر در نقطه ای که تقعر عوض میشود پیوستگی نداشته باشیم و تابع در اون نقطه مشتق پذیر نباشد.اون نقطه نقطه عطف محسوب نمی شود. مثل تابع کتانژانت هایپر بولیک در نقطه ایکس بابر صفر