معادله ریکاتی — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس اصول معادلات دیفرانسیل توضیح داده شد. در این مطلب قصد داریم تا معادله‌ دیفرانسیلی خاص تحت عنوان معادله ریکاتی را توضیح دهیم. در ادامه مطلب، روش حل این‌گونه از معادلات را نیز ارائه خواهیم داد.

شکل عمومی معادله ریکاتی

معادله ریکاتی، معادله دیفرانسیلی غیرخطی و از مرتبه ۱ محسوب می‌شود. شکل عمومی چنین معادله‌ای به صورت زیر است.

$$\large { y ^ {\prime} = a \left ( x \right ) y + b \left ( x \right ) { y ^ 2 } }+ { c \left ( x \right ) }$$

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل + حل سوالات کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

در عبارت فوق،‌ توابع $$a ( x ) , b ( x ) , c ( x )$$، پیوسته هستند. معادله ریکاتی در بسیاری از مسائل ریاضی، برای نمونه در نگاشت همدیس و همچنین فیزیک کاربرد دارد.

حل معادله ریکاتی

اگر پاسخ خصوصی معادله ریکاتی برابر با $$y _ 1$$ باشد. در این صورت پاسخ عمومی آن به صورت زیر قابل بیان است.

$$\large y = { y _ 1 } + u$$

با قرار دادن پاسخ فوق در معادله اصلی، داریم:

$$\large { { \left ( { { y _ 1 } + u } \right ) ^ \prime } } = { a \left ( x \right ) \left ( { { y _ 1 } + u } \right ) } + { b \left ( x \right ) { \left ( { { y _ 1 } + u } \right) ^ 2 } } + { c \left ( x \right ) }$$
$$\large { \underline { { y _ 1 } ^ \prime } + u’ } = { \underline { a \left ( x \right ) { y _ 1 } } + a \left ( x \right ) u } + { \underline { b \left ( x \right ) y _ 1 ^ 2 } + 2 b \left ( x \right ) { y _ 1 } u } + { b \left ( x \right ) { u ^ 2 } } + { \underline { c \left ( x \right ) } }$$

فیلم آموزش حل معادلات دیفرانسیل با متمتیکا Mathematica در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به اینکه $$y _ 1$$ برابر با پاسخ خصوصی این معادله در نظر گرفته شده، بنابراین عباراتی که زیر آن خط کشیده شده، از سمت چپ و راست معادله فوق می‌توانند حذف شوند. در نتیجه به معادله دیفرانسیلی بر حسب u می‌رسیم که در ادامه ارائه شده است.

$$\large { u ^ { \prime } = b \left ( x \right ) { u ^ 2 } } + { \left [ { 2 b \left ( x \right ) { y _ 1 } + a \left ( x \right ) } \right ] u }$$

معادله فوق، نوعی معادله دیفرانسیل برنولی محسوب می‌شود. با استفاده از تغییر متغیر $$\large z = { \large \frac { 1 } { u } \normalsize }$$، معادله بالا به معادله‌ای خطی از مرتبه اول تبدیل شده که می‌توان از آن انتگرال گرفت.

بنابراین تاکنون معلوم شد که با مشخص بودن پاسخ خصوصی معادله ریکاتی، می‌توان پاسخ عمومی معادله را تعیین کرد. توجه داشته باشید که الگوریتم مشخصی به منظور یافتن پاسخ خصوصی وجود ندارد. در حقیقت شکل پاسخ خصوصی وابستگی شدیدی به $$b \left ( x \right )$$، $$a \left ( x \right )$$ و $$c \left ( x \right )$$ دارد. بسیاری از این موارد خاص را می‌توان با استفاده از انتگرال‌گیری بدست آورد. در ادامه نحوه بدست آوردن پاسخ معادله ریکاتی در دو حالت خاص توضیح داده شده است.

حالت اول: ضرایب a,b,c ثابت

اگر ضرایب در معادله ریکاتی ثابت باشند، می‌توان آن‌ها را به صورت معادله‌ای جداپذیر نوشت. در ادامه نحوه جدا کردن yها و xها و نهایتا انتگرال مورد نیاز به منظور بدست آوردن پاسخ انتگرال ذکر شده است.

$$\large { y ^ { \prime } = a y + b { y ^ 2 } + c , \; \; } \Rightarrow { \frac { { d y } } { { d x } } = a y + b { y ^ 2 } + c , \; \; } \Rightarrow { \int { \frac { { d y } } { { a y + b { y ^ 2 } + c } } } = \int { d x } }$$

این انتگرال به ازای هر مقدار ثابت a,b,c قابل محاسبه است. در مطلب انتگرال توابع کسری، نحوه محاسبه انتگرال این گونه از توابع ذکر شده است.

حالت دوم: $$\large y ^ { \prime } = b { y ^ 2 } + c { x ^ n }$$

معادله‌ای ریکاتی به صورت $$y ^ { \prime } = b { y ^ 2 } + c { x ^ n }$$ را در نظر بگیرید. در این معادله ضریب (a(x در جمله خطی برابر با صفر و ضریب b نیز ثابت است. هم‌چنین تابع (c(x به صورت جمله‌ای توانی از مرتبه n در نظر گرفته شده است.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با میپل Maple در فرادرس

کلیک کنید

بنابراین جملات به صورت زیر هستند.

$$\large { a \left ( x \right ) \equiv 0, \; \; } \kern-0.3pt { b \left ( x \right) = b, \; \; } \kern0pt { c \left( x \right ) = c { x ^ n } }$$

در ابتدا بایستی بگوییم که اگر n=0 باشد، به حالت اول خواهیم رسید و معادله با استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها قابل حل خواهد بود. در حالت n=-2، معادله ریکاتی به معادله‌ای همگن تبدیل شده که با تغییر متغیر $$y = { \large \frac { 1 } { z } \normalsize }$$ می‌توان آن را حل کرد.

معادله دیفرانسیل ریکاتی را می‌توان در nهای زیر، با انتگرال‌گیری از توابعی ساده حل کرد.

$$\large { n = \frac { { 4 k } } { { 1 – 2 k } } \; \; } \kern-0.3pt { \text { , } \; \; } \kern0pt { k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots }$$

در ادامه مثال‌هایی ذکر شده که مطالعه آن‌ها توصیه می‌شود.

مثال ۱

پاسخ معادله دیفرانسیل $$y ^ { \prime } = y + { y ^ 2 } + 1$$ را بیابید.

همان‌طور که می‌بینید ضرایب موجود در این معادله ثابت بوده و پس از جداسازی متغیر های x و y می‌توان پاسخ را به صورت زیر یافت.

$$\large { {\frac{{dy}}{{dx}} = y + {y^2} + 1,\;\;}\Rightarrow {\int {\frac{{dy}}{{y + {y^2} + 1}}} = \int {dx} ,\;\;}}$$

با انتگرال‌گیری از طرفین رابطه فوق داریم:

$$\large { {{\frac{1}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\arctan \frac{{y + \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} }={ x + C,\;\;}}\Rightarrow {{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \frac{{2y + 1}}{{\sqrt 3 }} }={ x + C}}}$$

مثال 2

پاسخ معادله ریکاتی زیر را بیابید.

$$\large y ^ { \prime } + { y ^ 2 } = { \frac { 2 } { { { x ^ 2 } } } \normalsize }$$

با توجه به تابع سمت راست معادله، شکل پاسخ خصوصی را می‌توان مطابق با رابطه زیر در نظر گرفت.

$$\large { y = \frac { c } { x } ,\; \; } \Rightarrow { y ^ { \prime } = – \frac {c } { { { x ^ 2 } } } }$$

با قرار دادن رابطه فوق در معادله اصلی، معادله زیر به منظور یافتن c بدست می‌آید.

$$\large { - \frac { c } { { { x ^ 2 } } } + { \left( {\frac { c } { x } } \right ) ^ 2 } = \frac { 2 }{ { { x ^ 2 } } } \; \; \; } \kern0pt { \Rightarrow \;\; – \frac { c } { { { x ^ 2 } } } + \frac { { { c ^ 2 } } } { { { x ^ 2 } } } = \frac { 2 }{ { { x ^ 2 } } } }$$

با حل معادله فوق، مقادیر زیر برای c بدست می‌آیند.

$$\large { { c ^ 2 } – c – 2 = 0, \; \; } \Rightarrow { D = 1 – 4 \cdot \left ( { – 2 } \right ) = 9, \; \; } \Rightarrow { { c _ { 1 , 2 } } = \frac { { 1 \pm 3 } } { 2 } = – 1,2}$$

فرض کنید مقدار c=2 انتخاب شود (دیگر مقدار c نیز قابل قبول است). در این صورت پاسخ خصوصی نیز به شکل زیر در می‌آید.

$$\large y= \frac {2}{x}$$

با توجه به روش‌ حل بیان شده، پاسخ کلی معادله را می‌توان به صورت زیر در نظر گرفت.

$$\large { y = z + \frac { 2 } { x } , \; \; } \Rightarrow { y ^ { \prime } = z ^ { \prime } – \frac { 2 } { { { x ^ 2 } } } }$$

با قرار دادن پاسخ در نظر گرفته شده در معادله اصلی داریم:

$$ \large \require {cancel}<br /> { {z ’ – \frac { 2 } { { { x ^ 2 } } } } + { { \left ( { z + \frac { 2 } { x } } \right ) ^ 2 } } = { \frac { 2 }{ { { x ^ 2 } } } , \; \; } } \Rightarrow<br /> { { z ’ – \cancel { \frac { 2 } { { { x ^ 2 } } } } + { z ^ 2 } } + { \frac { 4 } { x } z + \cancel { \frac { 4 }{ { { x ^ 2 } } } } } = { \cancel { \frac { 2 } { { { x ^ 2 } } } } , \; \; } }\Rightarrow<br /> { z ’ + \frac { 4 } { x } z = – { z ^ 2 } } $$

همان‌طور که می‌بینید، رابطه‌ بالا، معادله برنولی را با m=2 نشان می‌دهد. با اعمال یک تغییر متغیر دیگر خواهیم داشت.

$$\large { v = { z ^ { 1 – m } } = \frac { 1 } { z } \; \; } \Rightarrow { v ^ { \prime } = – \frac { { z ^ {\prime} } } { { { z ^ 2 } } } }$$

معادله ۱ را می‌توان به شکل زیر بر حسب v بیان کرد.

$$\large { \frac { { z ’ } } { { { z ^ 2 } } } + \frac { { 4 z } } { { x { z ^ 2 } } } = – 1 \;\; } \Rightarrow { – \frac { { z ’ } } { { { z ^ 2 } } } – \frac { 4 } { { x z } } = 1 \; \; } \Rightarrow { v ’ – \frac { 4 } { x } v = 1 }$$

معادله بالا را می‌توان با استفاده از روش فاکتور انتگرال‌گیری بدست آورد. فاکتور انتگرال (u) برابر است با:

$$\large {u = {e^{\int {\left( { – \frac{4}{x}} \right)dx} }} } = {{e^{ – 4\int {\frac{{dx}}{x}} }} } = {{e^{ – 4\ln \left| x \right|}} } = { { e ^ { \ln \frac { 1 } { { { { \left| x \right|}^4}}}}} } = {\frac{1}{{{{\left| x \right|}^4}}} } = { \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } }$$

بنابراین تابع v نیز به صورت زیر بدست می‌آید.

$$\large {v = \frac{{\int {u\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{u\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {\frac{1}{{{x^4}}} \cdot 1dx} + C}}{{\frac{1}{{{x^4}}}}} } = {\frac{{\int {{x^{ – 4}}dx} + C}}{{\frac{1}{{{x^4}}}}} } = {\left( { – \frac{1}{3}{x^{ – 3}} + C} \right){x^4} } = { – \frac{x}{3} + C{x^4}.}$$

از طرفی v و z معکوس یکدیگر هستند. نهایتا تابع z نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large {\frac{1}{z} = – \frac{x}{3} + C{x^4} \;\;}\Rightarrow {z = \frac{1}{{ – \frac{x}{3} + C{x^4}}} }={ – \frac{3}{{x + 3C{x^4}}} } = { – \frac{3}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}} }$$

با بدست آوردن پاسخ خصوصی و تابع z، حاصل y نیز برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

$$\large { y = z + \frac { 2 } { x } } = { – \frac { 3 } { { x \left ( { 1 + 3 C { x ^ 3 } } \right ) } } + \frac { 2 } { x } } = {\frac{{ – 3 + 2\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}} } = {\frac{{ – 3 + 2 + 6C{x^3}}}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}} } = {\frac{{6C{x^3} – 1}}{{x\left( {1 + 3C{x^3}} \right)}} }$$

نهایتا پاسخ معادله برابر است با:

$$\boxed {\large y = \frac{{2{C_1}{x^3} – 1}}{{x\left( {1 + { C _ 1 } { x ^ 3 } } \right ) } } }$$

مثال 3

پاسخ عمومی معادله زیر را بیابید.

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد در فرادرس

کلیک کنید

$$\large { x ^ 3 } y ^ { \prime } + { x ^ 2 } y - { y ^ 2 } = 2 { x ^ 4 }$$

معادله فوق در ظاهر شباهتی به معادله ریکاتی ندارد. از این رو می‌توان با تقسیم کردن تمامی جملات آن به $${ x ^ 3 }$$ به معادله ریکاتی دست یافت. بنابراین می‌توان گفت:

$$\large { { x ^ 3 } y ’ + { x ^ 2 } y – { y ^ 2 } = 2 { x ^ 4 } \; \; } \Rightarrow { y ’ + \frac { y } { x } – \frac { { { y ^ 2 } } } { { { x ^ 3 } } } = 2 x }$$

معادله فوق در قالب معادله ریکاتی است. از این رو برای حل آن در ابتدا بایستی یکی از پاسخ‌های خصوصی آن را بیابیم. با توجه به ترم‌های موجود در معادله، می‌توان تابع $${y_1} = c{x^2}$$ را بعنوان پاسخ خصوصی حدس زد. با جایگذاری این پاسخ در معادله اصلی داریم:

$$\large { { { \left ( { c { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } + \frac { { c { x ^ 2 } } } { x } } - { \frac { { { { \left ( { c { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } { { { x ^ 3 } } } = 2x,\;\;}}\Rightarrow {2cx + cx – {c^2}x = 2x,\;\;}\Rightarrow {3c – {c^2} = 2,\;\;}\Rightarrow {{c^2} – 3c + 2 = 0 }$$

با حل معادله بالا مقادیر c برابرند با:

$$\large { D = 9 – 4 \cdot 2 = 1 \;\;}\Rightarrow { { c _ { 1 , 2 } } = \frac { { 3 \pm \sqrt 1 } } { 2 } = 1,2 }$$

هر دوی این مقادیر قابل قبول هستند. با این حال به منظور راحتی کار مقدار c=1 را در این مثال بررسی می‌کنیم (y₁=x²). با این فرض پاسخ کلی معادله را می‌توان به شکل زیر در نظر گرفت.

$$\large { y = { y _ 1 } + u } = { { x ^ 2 } + u }$$

با جایگذاری پاسخ بالا در معادله اصلی، معادله دیفرانسیل مربوط به (u(x به‌ صورت زیر بدست می‌آید.

$$\begin{align*} \large {{{\left( {{x^2} + u} \right)^\prime } + \frac{{{x^2} + u}}{x} }-{ \frac{{{{\left( {{x^2} + u} \right)}^2}}}{{{x^3}}} }={ 2x \;\;}} \\ \Rightarrow {{\cancel{2x} + u’ + x }+{ \frac{u}{x} }-{ \frac{{{x^4} + 2u{x^2} }+{ {u^2}}}{{{x^3}}} }-{ \cancel{2x} }={ 0 \;\;}} \\ \Rightarrow {{u’ + \cancel{x} + \frac{u}{x} }-{ \cancel{x} }-{ \frac{{2u}}{x} }-{ \frac{{{u^2}}}{{{x^3}}} }={ 0 \;\;}}\Rightarrow {u’ – \frac{u}{x} = \frac{{{u^2}}}{{{x^3}}} } \end{align*}$$

در مرحله بعد، فاکتور انتگرال‌گیری برابر خواهد بود با:

$$\large {v\left( x \right) = {e^{\int {\frac{1}{x}dx} }} } = {{e^{\ln \left| x \right|}} }={ \left| x \right| }$$

با در نظر گرفتن $$v \left ( x \right ) = x$$ به عنوان فاکتور انتگرال‌گیری، تابع z نیز برابر خواهد بود با:

$$\large {z = \frac{{\int {v\left( x \right)f\left( x \right)dx} + C}}{{v\left( x \right)}} } = {\frac{{\int {x \cdot \left( { – \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx} + C}}{x} } = {\frac{{ – \int {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} + C}}{x} } = {\frac{{\frac{1}{x} + C}}{x} } = {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{C}{x} } = {\frac{{Cx + 1}}{{{x^2}}} }$$

بنابراین تابع u به صورت زیر بدست می‌آید:

$$\large u\left( x \right) = \frac{1}{z} = \frac{{{x^2}}}{{Cx + 1}}$$

نهایتا پاسخ کلی معادله برابر با تابع زیر محاسبه می‌شود.

$$\boxed {\large {y = {y_1} + u }={ {x^2} + \frac{{{x^2}}}{{Cx + 1}} } = {\frac{{{x^2}\left( {Cx + 1} \right) + {x^2}}}{{Cx + 1}} } = {\frac{{C{x^3} + 2{x^2}}}{{Cx + 1}}}}$$